沈曉鵬， 胡雪平， 劉 艷， 劉永強， 陳超云， 苑會領

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所， 上海 201109）

1 引言

中國空間站包括核心艙、實驗艙Ⅰ和實驗艙Ⅱ3 個艙段，采用水平對稱的T 形構型作為空間站三艙組合體基本拓撲結構。 三艙構型采用先對接再轉位的方式完成組建，并將轉位機構組建作為主份方案［1］。 轉位機構選用平面轉位機構來實現(xiàn)。 平面轉位機構具有2 個旋轉自由度，2 個旋轉關節(jié)軸線平行，制動時2 個關節(jié)會發(fā)生動力學耦合［2］。

轉位機構的轉位對象為實驗艙，其轉動慣量達106kgm2量級，比中國常規(guī)飛行器轉動慣量高1～2 個數(shù)量級。 在實驗艙轉位到位后轉位機構的電機停止轉動，但是艙體由于存在大慣性不能馬上停止運動，因此需要對艙體進行制動。 艙體制動產生的力矩會反作用于轉位機構關節(jié)上，過大的反作用沖擊將會造成轉位機構關節(jié)傳動鏈以及結構件破壞，因此轉位機構在關節(jié)傳動鏈中設置了彈簧阻尼緩沖裝置來進行制動。 在理想狀態(tài)下，平面轉位機構模型可以簡化為兩自由度彈簧阻尼扭振系統(tǒng)，但是實際產品由于傳動鏈摩擦和間隙的存在，使得制動過程呈現(xiàn)出非線性特性。對轉位機構制動過程關節(jié)特性進行研究，對于轉位機構的系統(tǒng)參數(shù)和關節(jié)性能設計有著重要意義。

近些年來，不少研究人員開展了間隙系統(tǒng)的理論研究。 時培明等［3］建立了旋轉機械含間隙強非線性扭振系統(tǒng)的動力學方程，利用數(shù)值模擬的方法得到系統(tǒng)在強非線性項參數(shù)變化下的分岔行為。 周鵬等［4］建立了干摩擦下含雙側塑性約束的雙自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型，并利用數(shù)值迭代方法求解和分析系統(tǒng)的復雜動力學行為。 張艷龍等［5］研究了在非光滑因素間隙及摩擦作用下的強非線性系統(tǒng)動力學行為，探討摩擦誘導振動及其他關鍵參數(shù)對系統(tǒng)動力學特性的影響。 Cone 等［6］從一類軸承模型中簡化出含間隙及摩擦的單自由度碰撞振動系統(tǒng)，進行動力學分析發(fā)現(xiàn)黏著的存在。 師建國等［7］建立了含對稱間隙的軋輥橫向碰撞振動模型，采用四-五階Runge-Kutta 法進行了數(shù)值求解，研究了軋輥與導板間的非線性振動特性。

本文在以上研究成果的基礎上將轉位機構制動過程簡化為理想的兩自由度彈簧阻尼扭振模型，并在理想模型基礎上增加了摩擦阻尼和傳動間隙因素，得到了更為真實的動力學模型，通過對模型進行動力學響應數(shù)值分析，獲得了關節(jié)的時域動態(tài)響應圖，分析出摩擦阻尼和傳動間隙對轉位制動過程的影響，并與試驗結果進行對比，以期為轉位機構的工程研制提供理論參考。

2 制動過程動力學模型

轉位機構是將實驗艙Ⅰ和實驗艙Ⅱ從核心艙的軸向對接口轉位至相應的側向停泊口。 平面轉位機構的轉臂安裝于實驗艙上，主要由肩關節(jié)、腕關節(jié)、捕獲連接機構和臂桿等組成。 核心艙上安裝有轉位機構基座。 轉位前，轉臂通過捕獲連接機構與基座建立剛性連接。 實驗艙的轉位過程通過肩關節(jié)和腕關節(jié)的交替轉動來實現(xiàn)。 轉位機構組成及布局如圖1 所示。

圖1 轉位機構組成及布局Fig.1 Composition and layout of transfer mechanism

由于轉位機構的臂桿結構剛度高于關節(jié)剛度2 個數(shù)量級，可將臂桿視為剛體。 平面轉位機構的肩關節(jié)和腕關節(jié)回轉軸線平行，可以將其簡化為肩關節(jié)和腕關節(jié)兩自由度的串聯(lián)彈簧阻尼扭振模型。 轉位機構制動過程簡化模型如圖2 所示。

圖2 轉位機構制動過程簡化模型Fig.2 Simplified braking model of transfer mechanism

轉位過程中核心艙的姿控發(fā)動機為關閉狀態(tài)。 如果核心艙控制力矩陀螺（Control Moment Gyro，CMG）工作，核心艙將由于控制力矩的作用保持姿態(tài)不變，僅會產生空間位置的變化。 轉位機構制動動力學的研究僅關注關節(jié)的角位移響應情況，因此可將受CMG 控制的核心艙視為固定狀態(tài)（同時約束姿態(tài)和位置變化），在不影響關節(jié)角位移動態(tài)響應結果的情況下可以使問題得以簡化。

將不受CMG 控制自由狀態(tài)的核心艙假定為固定狀態(tài)來進行動力學等效，則轉位過程中實驗艙的等效質量只有原質量的1／2 ～1／3［8］。 如果核心艙固定狀態(tài)下轉位實驗艙的質量等于原質量大小，則該狀態(tài)下轉位機構制動過程的負載質量大于核心艙自由狀態(tài)，因此核心艙受控下轉位機構制動載荷大于核心艙自由狀態(tài)，這里選取更惡劣的核心艙受控工況進行制動動力學分析。

將轉臂的零部件等效到腕關節(jié)處的集中轉動慣量為J1，將實驗艙等效到肩關節(jié)處的集中轉動慣量為J2，腕關節(jié)傳動鏈等效到末端的剛度為k1，粘性阻尼為c1，肩關節(jié)傳動鏈等效到末端的剛度為k2，粘性阻尼為c2，廣義坐標θ1和θ2分別為腕關節(jié)和肩關節(jié)相對于運動停止前平衡位置的角位移，其為時間t的函數(shù)。 轉位機構制動過程動力學模型如圖3 所示。

圖3 轉位機構制動動力學模型Fig.3 Braking dynamics model of transfer mechanism

根據達朗貝爾原理，對轉位機構制動過程建立動力學方程為公式（1）所示。

式中：［J］為慣量矩陣，［C］為阻尼矩陣，［K］為剛度矩陣，｛θ¨｝為關節(jié)的角加速度矩陣，｛θ·｝為關節(jié)的角速度矩陣，｛θ｝為關節(jié)的角位移矩陣，｛M｝為激勵力矩矩陣。

由于轉位過程實驗艙姿控發(fā)動機關閉，不會對實驗艙產生激勵力矩，因此｛M｝＝0，帶入系統(tǒng)參量則動力學方程（1）改寫為式（2）。

3 數(shù)值計算分析

3.1 理想狀態(tài)的時域動態(tài)響應

不考慮關節(jié)傳動鏈摩擦和間隙的理想狀態(tài)下，動力學方程（2）為二階常系數(shù)線性微分方程組，可以求得方程的解析解［9］。 由于轉位動力學模型為兩自由度系統(tǒng)，因此在自由振動時存在ω1和ω2兩個固有頻率。 當系統(tǒng)按照頻率ω1振動時，J1和J2的振幅比記為r1；當按照頻率ω2振動時，J1和J2的振幅比記為r2，則振型矩陣如式（3）所示。

由于轉位機構肩關節(jié)和腕關節(jié)采用模塊化設計，兩者參數(shù)相同，有k1＝k2，c1＝c2。 令系數(shù)如式（4）所示。

則方程（1）中的矩陣［C］、［J］和［K］滿足式（5）的比例阻尼要求。

式中：α和β為比例常數(shù)。

將式（5）帶入方程（1）得式（6）。

由于振型矩陣對慣量、剛度和阻尼矩陣具有正交性［10］，因此通過坐標變換的方式可將方程（6）解耦，使其解耦的主坐標記為｛q｝。

定義線性坐標變換，如式（7）所示。

式（7）兩邊分別對時間求一次導數(shù)和二次導數(shù)，得式（8）、式（9）。

式中：J′1和J′2為主慣量，C′1和C′2為主阻尼，K′1和K′2為主剛度。

方程（11）已將坐標變換后的兩關節(jié)角位移解耦，為兩個獨立方程，其中的q1和q2可通過單自由度阻尼振動微分方程求得解析解［11］，如式（12）所示。

式中：ζ為阻尼比，ωn為圓頻率，q0＝q（t＝0），＝q·（t＝0）。

｛q｝解析解求得后，可通過式（7）求得｛θ｝的解析解。

根據工程實踐結果，選取如下轉位過程中的慣性參數(shù)和關節(jié)參數(shù)進行分析：J1＝100 kgm2，J2＝1×106kgm2，c1＝c2＝2×105Nms／rad，k1＝k2＝2×104Nm／rad，ω＝0.006 rad／s。

轉位過程中存在腕關節(jié)轉動和肩關節(jié)轉動2 種情況。 腕關節(jié)轉動時，J1以角速度ω繞腕關節(jié)轉動，同時帶動J2也以ω的角速度繞腕關節(jié)轉動；肩關節(jié)轉動時，腕關節(jié)保持不動，僅J2以角速度ω繞肩關節(jié)轉動。

因此，得到腕關節(jié)轉動停止后的動力學方程初始條件為：θ1（0）＝0，（0）＝0.006 rad／s，θ2（0）＝0，（0）＝0.006 rad／s。 肩關節(jié)轉動停止后的動力學方程的初始條件為：θ1（0）＝0，

通過｛θ｝的解析解，可得到腕關節(jié)和肩關節(jié)角位移隨時間變化的動態(tài)響應曲線。 圖4為腕關節(jié)轉動停止后的兩關節(jié)角位移動態(tài)響應曲線，圖5 為肩關節(jié)轉動停止后的兩關節(jié)角位移動態(tài)響應曲線。 從曲線可以看出，腕關節(jié)和肩關節(jié)轉動停止后關節(jié)動態(tài)響應表現(xiàn)為欠阻尼振動形式。

圖4 理想狀態(tài)下腕關節(jié)轉動停止后的關節(jié)動態(tài)響應曲線Fig.4 Dynamic response curve of wrist joint after rotational stop under ideal condition

圖5 理想狀態(tài)下肩關節(jié)轉動停止后的關節(jié)動態(tài)響應曲線Fig.5 Dynamic response curve of shoulder joint after rotational stop under ideal condition

同時可以看出腕關節(jié)轉動停止后和肩關節(jié)轉動停止后的角位移響應幾乎一致。 這是由于平面運動剛體的動能［12］如式（13）所示。

式中：Jp為剛體對于瞬時軸的轉動慣量。

由于J1大小僅為J2的萬分之一，制動時需要緩沖的動能主要來自于J2，因此腕關節(jié)是否存在初始角速度對制動后的角位移響應影響可忽略。

肩關節(jié)轉動停止后θ1最大振幅為0.0164 rad，θ2最大振幅為0.0328 rad，兩者角位移在141 s 后衰減至零。 由于肩關節(jié)和腕關節(jié)在動力學系統(tǒng)中為串聯(lián)形式，因此肩關節(jié)角位移θ2等于腕關節(jié)角位移θ1疊加上J2相對于J1的角位移變化量。

3.2 考慮摩擦和間隙的時域動態(tài)響應

3.2.1 僅考慮摩擦的時域動態(tài)響應

轉位過程中實際產品的傳動鏈是存在摩擦的。 考慮將傳動鏈中的摩擦等效為關節(jié)末端的摩擦阻尼T， 其方向總與關節(jié)運動方向相反，大小為－Mfsgn（θ·），Mf為摩擦力矩，sgn 為符號函數(shù)。腕關節(jié)和肩關節(jié)處的摩擦阻尼矩陣記為｛T｝。 此狀態(tài)下粘性阻尼和摩擦阻尼同時起作用，動力學方程如式（14）所示。

式（14）為非線性微分方程，采用龍格－庫塔方法［13］對系統(tǒng)動態(tài)響應進行數(shù)值計算。 根據同類產品研制經驗，取摩擦力矩Mf＝20 Nm 來進行分析。

以肩關節(jié)轉動停止后為例進行分析，得到腕關節(jié)和肩關節(jié)角位移隨時間變化的動態(tài)響應曲線，如圖6 所示。 由圖可知，考慮摩擦阻尼后腕關節(jié)角位移θ1最大振幅為0.0153 rad，肩關節(jié)角位移θ2最大振幅為0.0315 rad，兩關節(jié)角位移在112 s 后衰減至零。 通過與理想狀態(tài)下的制動過程對比，考慮摩擦阻尼后對最大振幅影響較小，θ1與θ2最大振幅分別減小了7%和4%。 考慮摩擦阻尼后對穩(wěn)定時間影響較大，時間縮短了21%。由上分析可知，真實產品傳動鏈由于存在摩擦阻尼，其制動過程中穩(wěn)定時間將比理想狀態(tài)下計算結果縮短。

圖6 考慮摩擦阻尼情況下肩關節(jié)轉動停止后的關節(jié)動態(tài)響應曲線Fig.6 Dynamic response curve of shoulder joint after rotational stop under friction damping

3.2.2 同時考慮摩擦和間隙的時域動態(tài)響應

由于轉位機構關節(jié)采用齒輪傳動，因此關節(jié)傳動鏈必然存在齒輪空程。 將空程折算至關節(jié)傳動鏈末端為間隙2b，則腕關節(jié)和肩關節(jié)等效到傳動鏈末端的剛度k、粘性阻尼c和摩擦阻尼T為角位移θ的函數(shù)，三者整體呈現(xiàn)為非線性。 當角位移θ處于空程中時，k、c、T大小為零，當θ處于非空 程 段 時 呈 現(xiàn) 出 原 有 特 性， 如 式（15） ～（17）所示。

選取摩擦力矩Mf＝20 Nm，間隙b＝0.01 rad，通過數(shù)值計算方法來進行角位移動態(tài)響應分析。以肩關節(jié)轉動停止后為例進行分析，動態(tài)響應曲線如圖7 所示。 通過曲線可知，θ1最大振幅為0.027 rad，θ2最大振幅為0.053 rad，振幅相比無空程的情況變大是因為疊加了間隙量b。 穩(wěn)定后腕關節(jié)角位移θ1為－0.01 rad，穩(wěn)定后肩關節(jié)角位移θ2為－0.02 rad，說明腕關節(jié)和肩關節(jié)角位移最終穩(wěn)定在間隙內，即關節(jié)在制動結束后的定位精度不大于間隙量b。θ1和θ2的穩(wěn)定時間為178 s，間隙的存在使關節(jié)角位移穩(wěn)定時間增大59%，原因是關節(jié)運動在間隙中時無阻尼力矩和摩擦力矩的作用，動能無衰減。

圖7 考慮摩擦阻尼和0.01 rad 間隙情況下肩關節(jié)轉動停止后的關節(jié)動態(tài)響應曲線Fig.7 Dynamic response curve of shoulder joint after rotational stop under friction damping and 0.01 rad gap

選取摩擦力矩Mf＝20 Nm，間隙b＝0.015 rad，通過數(shù)值計算方法來進行角位移動態(tài)響應分析。以肩關節(jié)轉動停止后為例進行分析，動態(tài)響應曲線如圖8 所示。 通過曲線可知，θ1最大振幅為0.032 rad，θ2最大振幅為0.063 rad，振幅因間隙量的增大而變大。 穩(wěn)定后腕關節(jié)角位移θ1為－0.015 rad，穩(wěn)定后肩關節(jié)角位移θ2為－0.03 rad，說明腕關節(jié)和肩關節(jié)角位移最終也是穩(wěn)定在間隙內。θ1和θ2的穩(wěn)定時間為207 s，間隙的增大使關節(jié)角位移穩(wěn)定時間繼續(xù)增大16%，這是因為關節(jié)角位移在增大的間隙中的無阻尼運動時間延長導致。

圖8 考慮摩擦阻尼和0.015 rad 間隙情況下肩關節(jié)轉動停止后的關節(jié)動態(tài)響應曲線Fig.8 Dynamic response curve of shoulder joint after rotational stop under friction damping and 0.015 rad gap

考慮傳動鏈摩擦和間隙后，關節(jié)角位移動態(tài)響應曲線與理想狀態(tài)差異較大。 因此在轉位過程分析時，應該考慮摩擦和間隙對制動過程的影響，從而建立更為真實的動力學模型，以獲得更為合理、準確的分析結果。

4 試驗結果

對轉位機構樣機產品進行實測，得到穩(wěn)態(tài)下摩擦力矩為18 Nm，關節(jié)末端間隙為0.012 rad。 在轉位機構關節(jié)特性測試系統(tǒng)上進行制動動力學測試，如圖9 所示。 試驗工況為腕關節(jié)保持靜止，肩關節(jié)按照0.006 rad／s 角速度勻速轉動后斷電制動，肩關節(jié)停止時刻為T0，測試結果及與計算結果的對比如圖10 所示。 計算值與試驗值的趨勢一致性好，振幅的計算值與試驗值最大誤差為7%，定位精度的計算值與試驗值的最大誤差為8%，證明了本文所建立的動力學模型的合理性。

圖9 轉位機構制動動力學試驗Fig.9 Braking dynamic test of transfer mechanism

圖10 轉位機構制動動力學試驗值與計算值對比Fig.10 Comparison between experimental and calculated values of braking dynamics of transfer mechanism

5 結論

1）不考慮傳動鏈摩擦阻尼和間隙的理想狀態(tài)的轉位制動過程中，腕關節(jié)和肩關節(jié)轉動停止后角位移動態(tài)響應為欠阻尼振動形式，隨著時間變化逐漸衰減至零。

2）由于實驗艙的轉動慣量遠大于轉臂轉動慣量，腕關節(jié)轉動停止和肩關節(jié)轉動停止后的角位移響應幾乎一致，在進行轉位參數(shù)設計時可以只以肩關節(jié)轉動停止后的情況開展。

3）在考慮傳動鏈摩擦阻尼后的轉位制動過程中，摩擦阻尼對角位移響應的最大振幅影響較小，但對轉位到位后的穩(wěn)定時間影響較大，穩(wěn)定時間大幅降低。

4）在考慮傳動鏈間隙的制動過程中，剛度、粘性阻尼和摩擦力矩整體呈現(xiàn)為非線性，腕關節(jié)和肩關節(jié)角位移響應具有非線性特性。

5）轉位到位后的關節(jié)定位精度取決于關節(jié)的間隙量，間隙量應作為設計的重要控制量。

6）關節(jié)間隙的存在使得關節(jié)的穩(wěn)定時間大幅延長，轉位機構的設計不能忽略間隙的影響。