梁明貴 楊振軍 邸 冰 張書敏

(河北師范大學物理學院 河北 石家莊 050024)

1 引言

雨過天晴,天空中可能會出現(xiàn)一道薄如綢帶的弧形彩色光譜,人們將這種自然現(xiàn)象稱之為“彩虹”.彩虹其實是一級虹,簡稱虹,除了一級虹,自然界中還存在二級虹、三級虹等高級虹,它們是太陽光在空氣中的水珠表面反射和折射的結果.然而,高級虹一般亮度都比較弱,人眼難以觀察到.因此,一般在自然界中觀察到的往往是一級虹和二級虹.二級虹通常又被稱為霓.根據(jù)虹與霓的反射和折射原理可以測量液滴折射率和尺寸[1-2],因此對虹與霓現(xiàn)象的研究具有實際意義.

從虹或霓的某個特殊觀測角觀測,它的亮度最大,也就能最清晰地觀測到,我們把這個觀測角叫做虹或霓的最佳觀測角.許多人對此做出了優(yōu)秀的研究工作[3-5],他們認為虹與霓的最佳觀測角就是觀測角對入射角的極值,由此確定了虹的觀測范圍是40°～42°,霓的觀測范圍是50°～53°.本文從波動光學的角度驗證了這個結論的合理性.選取任意某個波長的可見光,考慮到進入人眼的光能流越大則人感知到的亮度越大[6],利用MATLAB計算進入人眼的光能流最大時對應的觀測角,就是形成虹或霓時該波長光的最佳觀測角.對比最佳觀測角與觀測角的極值,得出它們在數(shù)值上相等,由此從理論上驗證了虹或霓觀測角的極值就是最佳觀測角.

2 虹與霓產生原理的簡要分析

將空氣中的水珠近似為球形,當太陽光照射到水珠的上半部分時,在水珠內部經過了一次反射,可能會形成虹,如圖1所示,α1為虹的觀測角.

圖1 形成虹的光路示意圖

由幾何關系和折射定律易得

(1)

當太陽光照射到水珠的下半部分時,在水珠內部經過兩次反射,可能會形成霓,如圖2所示,α2為霓的觀測角.

圖2 形成霓的光路示意圖

由幾何關系和折射定律易得

(2)

另外,可見光的波長在380～760 nm之間[7],并且水對可見光中波長較長的光波折射率較小.因此,結合式(1)和式(2)可知:當入射角θ一定時,虹的觀測范圍下限和上限可由波長較短的紫光和波長較長的紅光的觀測角給出,霓的觀測范圍下限和上限由此時的紅光和紫光的觀測角給出.因此,本文以波長為700 nm的紅光和波長約為400 nm的紫光為例進行分析,得出了虹與霓的觀測范圍.

3 最佳觀測角的理論計算方法

對于任意某個波長的太陽光,當人眼以某個特殊的觀測角觀測虹或霓現(xiàn)象時,光對人眼瞳孔的光能流最大,此時人感知到的光亮度最大[6],則觀測到的虹或霓現(xiàn)象最為明顯.我們可以認為這時的觀測角就是虹或霓現(xiàn)象中該波長光的最佳觀測角.因此,分析形成虹或霓的太陽光對瞳孔的光能流隨入射角的變化關系,即可得到虹或霓的最佳觀測角.

太陽光由一種介質(折射率為n1)進入另一種介質(折射率為n2)發(fā)生折射和反射時,設折射角和反射角分別為i1和i2.在光的電磁理論中,透射率是透射光束與入射光束的能量流之比,反射率是反射光束與入射光束的能量流之比.光在兩介質分界面上發(fā)生反射和折射時,其p分量(平行于入射面分量)和s分量(垂直于入射面分量)的反射率Rp、Rs和透射率Tp、Ts分別為[8]

(3)

(4)

(5)

(6)

先對虹進行分析.由于太陽光是自然光,假設其強度為I0,則入射光中p分量和s分量各占一半的能量,則圖1中的出射光束(C點之后的光束)強度I1為

(7)

式(7)中涉及的透射率和反射率可以將圖1中A、B、C3點的情況代入得到.由于θ、n、φ中只有兩個變量是獨立的,因此,可以將I1看作θ、n的函數(shù).

雨后空氣中水珠的半徑約1 mm,人眼瞳孔半徑約rm=2 mm,它們都遠小于虹的平均高度約h=2 000 m,所以可以將地面上觀測者的瞳孔視為一個半徑為rm的圓平面,并可以將水珠視為一個向四周不均勻發(fā)光的點光源.于是,圖3示意了水珠(點光源)發(fā)出的某條光束傳播到P點的情形.

圖3 水珠(點光源)對瞳孔光照的示意圖

圖3中,ψ是O點與水珠連線和P點與水珠連線的夾角,ψ與r、α1的關系是

(8)

于是,形成虹時,水珠(點光源)發(fā)出的光通過人眼的光能流可表示為

(9)

考慮到r?h導致cosψ≈1,將式(9)近似化為

(10)

對于霓,同理可得光能流Φ2(θ,n)的近似式為

(11)

在式(11)中,出射光束(圖2中D點之后的光束)的強度I2(θ,n)為

TsARsBRsCTsD)

(12)

在式(12)中涉及的透射率和反射率可以將圖2中A、B、C、D4點的情況代入得到.

4 驗證過程

4.1 虹的最佳觀測角

分別將nred=1.331 09和npur=1.343 75代入式(10)并用MATLAB繪制歸一化的Φ1-θ的圖像如圖4和圖5所示.

圖4 形成虹的700.0 nm紅光對人眼光能流的相對值隨入射角的變化圖

圖5 形成虹的404.7 nm紫光對人眼光能流的相對值隨入射角的變化圖

由圖4可見,對于紅光700.0 nm,當θ在59.48°附近時,Φ1的值會顯著增大,當θ=59.48°時Φ1取最大值.將θ=59.48°和nred=1.331 09代入式(1)得

α1mred=42.36°

(13)

由圖5可見,對于紫光404.7 nm,當θ=58.75°時Φ1取最大值.將θ=58.75°和npur=1.343 75代入式(1)得

α1mpur=40.54°

(14)

(15)

令其為零解得

(16)

再代入式(1)得到

(17)

分別將nred=1.331 09和npur=1.343 75代入式(17)得到相應觀測角α1對入射角θ的極值為

α′1mred=42.36°

(18)

α′1mpur=40.54°

(19)

對比式(13)和(18)、式(14)和(19)可知,α1mred=α′1mred,α1mpur=α1mpur.類似的,可以選取任意其他波長的可見光進行驗證,可以得到同樣的結論,因此,虹的最佳觀測角為觀測角對入射角的極值這一結論是合理的.另外,紅光的最佳觀測角可以給出虹的觀測范圍上限,紫光可以給出下限,所以,虹的觀測范圍是

40.54°≤α1≤42.36°

(20)

此結果與廣為人知的虹的觀測角范圍40°～42°相符.

4.2 霓的最佳觀測角

分別將nred=1.331 09和npur=1.343 75代入式(11)并用MATLAB繪制歸一化的Φ2-θ的圖像如圖6和圖7所示.

圖6 形成霓的700.0 nm紅光對人眼光能流的相對值隨入射角的變化圖

圖7 形成霓的404.7 nm紫光對人眼光能流的相對值隨入射角的變化圖

由圖6可見,對紅光700.0 nm,當θ=71.87°時Φ2取最大值.將θ=71.87°和nred=1.331 09代入式(2)得

α2mred=50.39°

(21)

由圖7可見,對紫光404.7 nm,當θ=71.47°時,Φ2取最大值.將θ=71.47°和npur=1.343 75代入式(2)得

α2mpur=53.67°

(22)

(23)

令其為零解得

(24)

再代入式(2)得到

(25)

分別將nred=1.331 09和npur=1.343 75代入式(25)得到相應觀測角α2對入射角θ的極值為

(26)

(27)

對比式(21)和(26)、式(22)和(27)可知,α2mred=α′2mred,α2mpur=α′2mpur.類似的,可以選取任意其他波長的可見光進行驗證,可以得到同樣的結論,因此,霓的最佳觀測角為觀測角對入射角的極值這一結論是合理的.另外,紅光可以給出霓的最佳觀測角的下限,紫光給出上限,所以,霓的觀測范圍是

50.39°≤α2≤53.67°

(28)

此結果與廣為人知的霓的觀測角范圍50°～53°相符.

5 討論

無論是虹還是霓,它們的最佳觀測角都在觀測角對入射角的極值處取到,我們對這個結果進行了簡要分析.圖8以太陽光中700.0 nm的紅光為例示意了虹與霓的觀測角α隨入射角θ的變化情況.

圖8 虹與霓觀測角和入射角的關系圖

圖8表明了觀測角在極值點附近隨入射角的變化最緩慢.結合圖3分析,當人以某個觀測角觀測虹或霓現(xiàn)象時,進入人眼的光束實際上是該觀測角附近小角度的光束,所以當觀測角取極值時,對應會有更多的入射光束經過一系列折射和反射進入人眼.即便水珠(點光源)向各個方向發(fā)出的每條光束攜帶的能量大小不同,但占主導地位的是范圍內光束的數(shù)量,而不是每條光束的能量.所以在觀測角取極值時,形成虹或霓的光束對人眼的光能流最大,使此時的虹或霓的現(xiàn)象最明顯.

6 結束語

本文在波動光學的理論下,對虹或霓現(xiàn)象,選取任意波長的光,利用MATLAB繪制了進入人眼的光能流和入射角的圖像,得出了光能流取最大值時對應的觀測角,即最佳觀測角.將最佳觀測角與觀測角對入射角的極值進行比較,得出了虹或霓最佳觀測角和觀測角的極值在數(shù)值上相等,從理論上驗證了虹或霓觀測角的極值就是最佳觀測角這一結論的合理性,并對這個結論進行了簡要討論.