黃 偉

(湖北漢川一中 湖北 孝感 431600)

1 問(wèn)題的提出及緣由

拋體運(yùn)動(dòng)的形式及應(yīng)用很多,其中有一類關(guān)于射程的特殊問(wèn)題,以一定速率沿水平面斜上拋、沿斜面向上拋、沿斜面向下拋(忽略空氣阻力,重力加速度為g).

問(wèn)題1：當(dāng)射程最遠(yuǎn)時(shí),拋射方向需要滿足什么條件?

問(wèn)題2：當(dāng)射程一定時(shí),最小速度的拋射方向需要滿足什么條件?

問(wèn)題3：當(dāng)射程相等時(shí),兩次拋射方向需要滿足什么條件?

問(wèn)題4：當(dāng)射程最遠(yuǎn)時(shí),初速度方向與末速度方向有什么關(guān)系,有沒(méi)有一定的規(guī)律呢?

伽利略在1638 年出版的《關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話》這部著作中,有了慣性思想和對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)的研究,進(jìn)一步研究了拋體運(yùn)動(dòng),伽利略認(rèn)為拋體運(yùn)動(dòng)具有勻速運(yùn)動(dòng)和自然加速運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì).

在中學(xué)階段一般采用正交分解法分析拋體運(yùn)動(dòng),對(duì)于斜面上的斜拋運(yùn)動(dòng),若涉及復(fù)雜的三角函數(shù),采用正交分解法在兩個(gè)方向上多次分解往往會(huì)讓問(wèn)題變得比較復(fù)雜.而把拋體運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng),建立位移矢量三角形,利用正弦定理來(lái)求解,可以得到簡(jiǎn)單的表達(dá)式,無(wú)需多次分解,這也正是回到了伽利略對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)研究的思想,下面筆者具體展開(kāi)分析.

2 問(wèn)題分析

2.1 以沿斜面向上拋為例

2.1.1 數(shù)學(xué)分析

如圖1所示,小球從傾角為α的斜面上的O點(diǎn)向上拋,落于P點(diǎn),初速度v與斜面的夾角為θ.小球從O到P的運(yùn)動(dòng),可分解為沿初速度v方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng),如圖2所示建立位移矢量三角形.

圖1 沿斜面向上拋情境圖

圖2 位移矢量三角形

由正弦定理可得

(1)

取前一個(gè)等號(hào)化簡(jiǎn)得

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

由三角函數(shù)積化和差得

(4)

(5)

2.1.2 得出結(jié)論

(6)

(2)由式(5)可知,當(dāng)射程x一定時(shí),拋射方向?yàn)樨Q直向上方向與位移方向之間的角平分線時(shí),速度最小

(7)

(3)由式(4)可得,x相等時(shí)有兩個(gè)解θ1和θ2,滿足

2θ1+α+2θ2+α=π

(8)

(9)

如圖3所示,OO1為豎直向上方向和位移方向夾角的角平分線.

圖3 關(guān)于角平分線對(duì)稱拋

當(dāng)兩個(gè)拋射角滿足θ1+θ2=∠MOP時(shí),則

∠MOB=∠AOP=θ1∠BOO1=∠O1OA

即OO1也為兩個(gè)拋射方向的夾角∠BOA的角平分線,即兩個(gè)拋射方向關(guān)于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線OO1對(duì)稱時(shí),射程相等.

(4)如圖4所示,在上述圖2的分析基礎(chǔ)上,小球從傾角為α的斜面上由O點(diǎn)以初速度v拋至P點(diǎn),沿初速度方向與豎直方向建立位移矢量三角形OAP.同理,由運(yùn)動(dòng)的反演,在P點(diǎn)以vP將小球反向拋出,則落于O點(diǎn),同樣沿初速度方向與豎直方向建立位移矢量三角形PBO,由于BO與AP平行且相等,則四邊形ABOP為平行四邊形.當(dāng)拋射方向?yàn)樨Q直向上方向與位移方向之間的角平分線時(shí),此時(shí)平行四邊形ABOP為菱形,即拋出速度v與落點(diǎn)速度vP方向垂直,由上述本節(jié)的第(1)個(gè)小問(wèn)題的分析可知,拋射方向?yàn)樨Q直向上方向與位移方向之間的角平分線時(shí),射程最遠(yuǎn),可得:當(dāng)射程最遠(yuǎn)時(shí),初速度方向與末速度方向垂直.

圖4 初速度方向與末速度方向垂直

2.2 類推至沿水平面斜上拋和沿斜面向下拋

如圖5和圖6所示,OP2為水平面,即α=0,設(shè)傾斜面OP1的傾角α1為正值,則傾斜面OP3的傾角α3為負(fù)值,滿足對(duì)應(yīng)相同的位移矢量三角形關(guān)系.

圖5 沿不同面的最遠(yuǎn)射程圖

圖6 沿不同面的等射程圖

同理可得到:

當(dāng)射程x一定時(shí),拋射方向均為“豎直向上方向與位移方向之間的角平分線”時(shí),速度最小.同理可知,兩個(gè)拋射方向關(guān)于豎直向上方向與位移方向之間的角平分線OO1對(duì)稱時(shí),射程相等,且射程最遠(yuǎn)時(shí),初速度方向與末速度方向垂直.

2.3 利用幾何畫(huà)板模擬驗(yàn)證

以下是在幾何畫(huà)板中取重力加速度為g=10 m/s2,初速度v=4 m/s,拋射方向與x軸正方向成5°～85°每間隔5°所得到的17條拋物線組合圖像.由圖7可知,當(dāng)兩個(gè)拋射方向關(guān)于角平分線45°線方向?qū)ΨQ時(shí)射程相等,且沿角平分線45°線方向拋出至水平面射程最遠(yuǎn).

圖7 沿水平面斜上拋拋物線族

由圖8可知,當(dāng)兩個(gè)拋射方向關(guān)于角平分線60°線方向?qū)ΨQ時(shí)射程相等,且沿角平分線60°線方向拋出至傾角為30°的斜面上射程最遠(yuǎn).

圖8 沿斜面向上拋拋物線族

由圖9可知,當(dāng)兩個(gè)拋射方向關(guān)于角平分線40°線方向?qū)ΨQ時(shí)射程相等,且沿角平分線40°線方向拋出至與水平面成10°向下的斜面上射程最遠(yuǎn),具體射程也可以根據(jù)理論計(jì)算值與實(shí)際模擬值對(duì)比.

圖9 沿斜面向下拋拋物線族

3 得出結(jié)論

綜上可得,無(wú)論沿水平面斜上拋,還是沿斜面向上拋、向下拋,均滿足:

(3)當(dāng)兩個(gè)拋射方向關(guān)于“豎直向上方向與位移方向之間的角平分線”對(duì)稱時(shí),射程相等.

(4)當(dāng)射程最遠(yuǎn)時(shí),初速度方向與末速度方向垂直.

4 結(jié)束語(yǔ)

還有很多其他的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題也可以通過(guò)建立位移矢量三角形或速度矢量三角形求解,這里只是以拋體運(yùn)動(dòng)中一類特殊規(guī)律的位移矢量三角形探析為例.矢量三角形在運(yùn)動(dòng)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,正弦定理及三角函數(shù)的運(yùn)用,進(jìn)一步體現(xiàn)了高考物理能力要求中的應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力.