李 靜,祿小敏,劉文蕊,李驛言

( 1. 蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院,蘭州 730070;2. 地理國(guó)情監(jiān)測(cè)技術(shù)應(yīng)用國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心,蘭州 730070;3. 甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730070 )

點(diǎn)群是地圖中至關(guān)重要的一類空間地物,成群分布的島嶼、湖泊、沙丘、散列的居民地及各種設(shè)施點(diǎn)等在小比例尺地圖中均以點(diǎn)群的形式呈現(xiàn)[1]。點(diǎn)群的分布具有一定的方向特征,點(diǎn)群分布方向的判斷和識(shí)別在地圖制圖綜合、空間推理、空間查詢、空間分析與規(guī)劃等領(lǐng)域具有重要意義[2]。

根據(jù)研究對(duì)象的不同,可以將已有的方向關(guān)系研究分為面向單目標(biāo)的空間方向關(guān)系研究和面向群組目標(biāo)的空間方向關(guān)系研究,前者成果較多且比較成熟,后者成果相對(duì)較少且多集中于群組目標(biāo)空間方向關(guān)系的定性描述。在已有的點(diǎn)群目標(biāo)空間方向關(guān)系研究中,文獻(xiàn)[3]基于凸殼理論計(jì)算點(diǎn)群目標(biāo)間的空間關(guān)系;文獻(xiàn)[4]利用點(diǎn)群目標(biāo)凸殼的最小外接矩形長(zhǎng)軸方向表達(dá)點(diǎn)群分布的主方向;文獻(xiàn)[5]在生成點(diǎn)群目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差橢圓的基礎(chǔ)上以長(zhǎng)軸方向作為點(diǎn)群的主要分布方向;文獻(xiàn)[6]利用點(diǎn)群目標(biāo)凸殼的直徑方向來表達(dá)點(diǎn)群分布的主方向;文獻(xiàn)[7]以主骨架線的分布方向表示點(diǎn)群目標(biāo)的分布方向。綜上所述,已有算法大都是在近似擬合點(diǎn)群外部形態(tài)的基礎(chǔ)上,以較長(zhǎng)軸方向代替點(diǎn)群的主方向。忽略分布密度對(duì)點(diǎn)群目標(biāo)空間方向關(guān)系的影響,計(jì)算所得方向會(huì)出現(xiàn)與實(shí)際分布方向不符的情形(見圖1)。

圖1 計(jì)算所得點(diǎn)群目標(biāo)主方向與實(shí)際不符的場(chǎng)景

依據(jù)點(diǎn)群分布密度構(gòu)建方向玫瑰圖,不僅能直觀地反映點(diǎn)群在各方向上的密度分布情況及主方向,亦可以對(duì)主方向進(jìn)行更為準(zhǔn)確的定量描述。為此,文中以點(diǎn)群為研究對(duì)象,基于其密度特征構(gòu)建方向玫瑰圖,在定性描述空間分布主方向的基礎(chǔ)上,利用統(tǒng)計(jì)加權(quán)算法并引入統(tǒng)計(jì)學(xué)中的置信區(qū)間,提出一種更加符合人類認(rèn)知的主方向定量描述方法。

1 算法流程

算法主要由3部分構(gòu)成:①依據(jù)密度分布狀況,構(gòu)建點(diǎn)群的方向玫瑰圖;②以方向玫瑰圖為基礎(chǔ),利用統(tǒng)計(jì)加權(quán)算法計(jì)算點(diǎn)群主方向;③引入置信區(qū)間,計(jì)算點(diǎn)群主方向分布范圍。其主要流程如圖2所示。

圖2 點(diǎn)群目標(biāo)分布主方向定量描述模型流程

2 點(diǎn)群目標(biāo)分布主方向定量描述模型

2.1 方向關(guān)系模型的選取

空間方向關(guān)系模型是描述和計(jì)算空間方向關(guān)系的有力工具。目前空間方向關(guān)系模型主要有基于投影的模型、方向Voronoi圖模型和錐形模型。

基于投影的模型是將空間目標(biāo)投影到特定的坐標(biāo)軸上,利用投影后目標(biāo)間的方向關(guān)系去近似表達(dá)原始目標(biāo)間的方向關(guān)系,將空間目標(biāo)投影到水平坐標(biāo)軸和垂直坐標(biāo)軸上,可將空間劃分為N、NE、E、SE、S、SW、W、NW、Same 9個(gè)矩形方向區(qū)域。該模型較好地顧及了空間參考目標(biāo)的形狀和大小,但方向劃分結(jié)果與人類認(rèn)知不符且未考慮目標(biāo)間距離對(duì)空間方向關(guān)系產(chǎn)生的影響[8]。方向Voronoi圖模型通過計(jì)算目標(biāo)間指向線法線的 Voronoi圖來描述目標(biāo)間精確的方向關(guān)系[9-11]。該模型描述空間方向關(guān)系精確,但基于方向Voronoi圖的模型可視域受限,當(dāng)可視域外的部分圖形發(fā)生變化時(shí)角度不能隨之改變,且模型復(fù)雜,計(jì)算過程繁瑣。錐形方向關(guān)系模型通過將空間參考點(diǎn)及其周圍的區(qū)域劃分成若干方向片,依據(jù)源目標(biāo)與若干方向片的“交”來確定方向關(guān)系[12]。該模型簡(jiǎn)單,對(duì)方向和距離的綜合判斷較準(zhǔn)確,由于該模型是將參考目標(biāo)抽象為一個(gè)點(diǎn),故更適合于表達(dá)點(diǎn)目標(biāo)間的方向關(guān)系。

錐形方向關(guān)系模型中,常用4方向、8方向、16方向來描述空間目標(biāo)間的方向關(guān)系。通過實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn),16方向錐形模型更能反映點(diǎn)群的密度分布和主方向,因此,文中選用16方向錐形模型來描述點(diǎn)群目標(biāo)的空間分布主方向。

2.2 方向玫瑰圖構(gòu)建

風(fēng)向玫瑰圖,因其外形酷似玫瑰而得名,也稱風(fēng)向頻率玫瑰圖,它是依據(jù)某地某一時(shí)間段內(nèi)風(fēng)向的統(tǒng)計(jì)狀況按一定比例繪制而成的風(fēng)向分布圖,多用16方位表示[13]。風(fēng)向玫瑰圖中,線段最長(zhǎng)者(外面到中心的距離最大)即為當(dāng)?shù)刂鲗?dǎo)風(fēng)向。如圖3所示,南方到中心的距離最大,故當(dāng)?shù)刂鲗?dǎo)風(fēng)向?yàn)槟巷L(fēng)。

圖3 風(fēng)向玫瑰圖

利用風(fēng)向玫瑰圖原理,在計(jì)算得到點(diǎn)群各方向分布密度的基礎(chǔ)上生成方向玫瑰圖,方向玫瑰圖可直觀地反映點(diǎn)群分布的主方向。點(diǎn)群方向玫瑰圖的構(gòu)建過程如下所述:

1)生成點(diǎn)群目標(biāo)的凸殼。生成點(diǎn)群目標(biāo)的約束Delaunay三角網(wǎng),利用動(dòng)態(tài)閾值“剝皮”法,將Delaunay三角網(wǎng)中外圍邊長(zhǎng)大于某一閾值的非特征邊依次刪除,最終得到的點(diǎn)群分布邊界即為點(diǎn)群目標(biāo)的凸殼。

2)構(gòu)建方向關(guān)系模型。找到點(diǎn)群目標(biāo)凸殼的質(zhì)心,以凸殼質(zhì)心為參考目標(biāo),將連續(xù)360°的方向描述離散到對(duì)應(yīng)的16方位,構(gòu)建16方向錐形模型。

3)計(jì)算方向密度,對(duì)密度進(jìn)行歸一化處理。如圖4所示,點(diǎn)群散落在16方向錐形模型的各個(gè)方向片上,統(tǒng)計(jì)落在各方向片上點(diǎn)的個(gè)數(shù),計(jì)算各方向片上點(diǎn)群的密度(各方向片上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與點(diǎn)群總個(gè)數(shù)的比值)。以落在某方向片內(nèi)的密度最大值為基準(zhǔn),對(duì)各方向上的密度值進(jìn)行歸一化,將歸一化后的各密度值描在坐標(biāo)軸上,使方向玫瑰圖各端點(diǎn)即歸一化后的各方向密度值均落在以質(zhì)心為原點(diǎn)、半徑為1的圓內(nèi)。如圖4所示,16方向錐形模型下,點(diǎn)群密度最大方向在南方,故以南方密度值為基準(zhǔn),對(duì)各個(gè)方向上的密度值進(jìn)行歸一化處理。

圖4 點(diǎn)群分布密度圖

4)生成方向玫瑰圖。順次連接相鄰方位的各端點(diǎn),連接生成的宛如玫瑰的閉合折線即為方向玫瑰圖。圖5即為圖4點(diǎn)群在顧及密度分布的基礎(chǔ)上生成的方向玫瑰圖。

圖5 方向玫瑰圖

如圖5所示,在方向玫瑰圖中,南方到中心的距離最大,故圖4的點(diǎn)群主要分布在南方。

2.3 點(diǎn)群目標(biāo)分布主方向定量計(jì)算

空間關(guān)系的定量描述是利用方位角、象限角等較精確地表達(dá)空間目標(biāo)的方向關(guān)系。方位角是指從坐標(biāo)北方向起,依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的夾角。本文借用方位角概念并規(guī)定:從直角坐標(biāo)系X軸正半軸起,依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的角度稱為方位角,取值范圍為0°～360°[14]。

2.3.1 點(diǎn)群主方向

點(diǎn)群的方向玫瑰圖由多邊形構(gòu)成,求點(diǎn)群分布的主方向即為求多邊形的主方向。目前,求多邊形主方向的方法主要有最長(zhǎng)邊法、加權(quán)平分線法、最小MBR方法、基于墻的均值法以及統(tǒng)計(jì)加權(quán)法[15]。最長(zhǎng)邊法以多邊形的最長(zhǎng)邊方向作為多邊形的主方向。加權(quán)平分線法通過計(jì)算多邊形中最長(zhǎng)直徑與次長(zhǎng)直徑兩條邊方向的加權(quán)平均值來表達(dá)多邊形的主方向。最小MBR方法以多邊形最小MBR中的較長(zhǎng)邊方向作為多邊形的主方向?；趬Φ木捣ㄍㄟ^計(jì)算每條邊方向角度與權(quán)重(即它的長(zhǎng)度)乘積之和的平均值來表達(dá)多邊形的主方向。統(tǒng)計(jì)加權(quán)法在測(cè)試一系列預(yù)選方向的基礎(chǔ)上計(jì)算每個(gè)預(yù)選方向的權(quán)重(多邊形每條邊在最大角度偏差系數(shù)內(nèi)對(duì)預(yù)選方向的貢獻(xiàn)之和),計(jì)算得到權(quán)重最大的預(yù)選方向即為多邊形的主方向[15-16]。

對(duì)點(diǎn)群而言,某方向上一定角度范圍內(nèi)的點(diǎn)會(huì)影響主方向的分布。統(tǒng)計(jì)加權(quán)法考慮多邊形每條邊在最大角度偏差系數(shù)內(nèi)對(duì)預(yù)選方向的影響及每條邊的長(zhǎng)度和角度,以此為基礎(chǔ)計(jì)算多邊形的主方向,不僅能較好地避免長(zhǎng)邊誤差的干擾,具有較高穩(wěn)定性,而且能顧及某方向周圍一定角度范圍內(nèi)的點(diǎn)對(duì)主方向的影響,故本文利用統(tǒng)計(jì)加權(quán)法求方向玫瑰圖多邊形的主方向。

如圖6所示,OB為預(yù)選方向,最大角度偏差系數(shù)為β,將多邊形的每條邊平移至以O(shè)為起點(diǎn)。若該邊在OA邊與OC邊之內(nèi),則對(duì)此預(yù)選方向有貢獻(xiàn),參與貢獻(xiàn)值的計(jì)算;若該邊方向等于預(yù)選方向,那么該邊的長(zhǎng)度即為貢獻(xiàn)值;若該邊的方向在最大偏離處,則對(duì)預(yù)選方向貢獻(xiàn)為0;在同方向與最大偏離方向之間,貢獻(xiàn)程度線性衰減。

圖6 統(tǒng)計(jì)加權(quán)法

(1)

式中:Ci為貢獻(xiàn)值;β為最大角度偏差系數(shù);γ為該邊與預(yù)選方向之間的夾角;li為邊長(zhǎng)。

基于統(tǒng)計(jì)加權(quán)法求點(diǎn)群分布主方向的算法步驟:

1)規(guī)定步長(zhǎng),測(cè)試預(yù)選方向。步長(zhǎng)為測(cè)試預(yù)選方向過程中的固定間隔角度,取值與結(jié)果精度相關(guān)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果的精度需要,本文以1°為固定步長(zhǎng),對(duì)0°～360°之間的一系列預(yù)選方向進(jìn)行測(cè)試。

2)確定角度偏差系數(shù)。角度偏差系數(shù)的取值β對(duì)主方向結(jié)果有一定影響,對(duì)其不斷進(jìn)行調(diào)整,使得多邊形主方向計(jì)算結(jié)果盡可能準(zhǔn)確,最終確定經(jīng)驗(yàn)值β= 30°。

3)計(jì)算各邊對(duì)預(yù)選方向的貢獻(xiàn)值。依據(jù)式(1)分別計(jì)算多邊形各邊在一定角度偏差內(nèi)對(duì)每個(gè)預(yù)選方向的貢獻(xiàn)值。

4)確定多邊形的主方向。統(tǒng)計(jì)加和多邊形各邊對(duì)每個(gè)預(yù)選方向的貢獻(xiàn)值,得到各預(yù)選方向的權(quán)重,對(duì)權(quán)重進(jìn)行升序排列,權(quán)重最大的預(yù)選方向即為主方向。

利用統(tǒng)計(jì)加權(quán)法計(jì)算得到圖5多邊形權(quán)重最大的預(yù)選方向?yàn)?71°,則圖4點(diǎn)群大致分布在約271°的方向上。

2.3.2 點(diǎn)群主方向分布范圍

為避免個(gè)別點(diǎn)分布對(duì)主方向計(jì)算結(jié)果帶來的偏差,采用方向分布范圍來代替單一角度值。顯著性水平α是估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間內(nèi)可能犯錯(cuò)誤的概率,是在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)事先確定的判斷標(biāo)準(zhǔn),最佳取值為0.05。置信區(qū)間是由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間,該區(qū)間可反映一定概率下此參數(shù)的真實(shí)值落在測(cè)量結(jié)果周圍的程度。引入顯著性水平與置信區(qū)間的概念,在得到主方向單一角度值的基礎(chǔ)上計(jì)算分布區(qū)間,能為點(diǎn)群分布主方向提供可接受的范圍。在顯著性水平α= 0.05下,計(jì)算得到圖4點(diǎn)群主方向的分布范圍為(256.42°～285.58°)。

3 實(shí)驗(yàn)與討論

為驗(yàn)證模型的適用性,選取兩組不同分布形態(tài)的點(diǎn)群進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。分別對(duì)兩組點(diǎn)群構(gòu)建16方向錐形模型,得到點(diǎn)群的分布密度圖及相應(yīng)的方向玫瑰圖。 由圖7可知,點(diǎn)群1主要分布在南方,點(diǎn)群2主要分布在西南方。

圖7 點(diǎn)群方向密度圖及對(duì)應(yīng)方向玫瑰圖

利用統(tǒng)計(jì)加權(quán)法分別計(jì)算點(diǎn)群1與點(diǎn)群2方向玫瑰圖各邊對(duì)各預(yù)選方向的貢獻(xiàn)值(見圖8),統(tǒng)計(jì)可得點(diǎn)群1與點(diǎn)群2方向玫瑰圖各邊對(duì)預(yù)選方向貢獻(xiàn)值最大的候選方向分別為272.00°、232.00°,故點(diǎn)群1與點(diǎn)群2的主方向分別為272.00°、232.00°。在顯著性水平α= 0. 05下,計(jì)算得到點(diǎn)群1與點(diǎn)群2分布的主方向范圍分別為(257.46°～286.54°)(219.24°～244.76°)。

圖8 點(diǎn)群主方向預(yù)選方向貢獻(xiàn)值

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本方法的合理性,將本方法與基于凸殼的最小外接矩形長(zhǎng)軸與水平軸的夾角方法、基于凸殼的直徑與水平線的夾角方法以及基于標(biāo)準(zhǔn)差橢圓的長(zhǎng)軸與X軸的夾角方法的方向計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果見表1。

表1 點(diǎn)群主方向計(jì)算方法及結(jié)果

由表1可知,基于凸殼的最小外接矩形長(zhǎng)軸與水平軸的夾角方法計(jì)算得到的點(diǎn)群1與點(diǎn)群2的主方向分別為23.05°、177.95°;基于標(biāo)準(zhǔn)差橢圓的長(zhǎng)軸與X軸的夾角方法計(jì)算得到的點(diǎn)群1與點(diǎn)群2的主方向分別為62.71°、146.70°;基于凸殼的直徑與水平線的夾角方法計(jì)算得到的點(diǎn)群1與點(diǎn)群2的主方向分別為53.10°、135.48°;本方法計(jì)算得到的點(diǎn)群1與點(diǎn)群2的主方向分別為272°、232°,主方向分布范圍分別為(257.46°～286.54°)(219.24°～244.76°)。

空間分布主方向的判斷與確定依賴于人類認(rèn)知,通過心理認(rèn)知實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的適用性。實(shí)驗(yàn)以問卷形式進(jìn)行,要求被調(diào)查者從表1的計(jì)算結(jié)果中分別選出點(diǎn)群1和點(diǎn)群2的主方向。因地圖學(xué)專業(yè)人員與其他人員對(duì)地圖認(rèn)知存在差異且對(duì)方向的敏感度不同,故實(shí)驗(yàn)將人群分為地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)與非地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)兩類。實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)為 566個(gè),有效樣本數(shù)為 563個(gè),其中,47%為地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)人員,53%為非地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)人員,人群認(rèn)知統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表2。

表2 點(diǎn)群主方向認(rèn)知結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

由表2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知,地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)人員與非地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)人員對(duì)本文點(diǎn)群1實(shí)驗(yàn)結(jié)果的認(rèn)同率分別為94.76%、93.58%,平均認(rèn)同率為94.17%,對(duì)本文點(diǎn)群2實(shí)驗(yàn)結(jié)果的認(rèn)同率分別為92.13%、88.51%,平均認(rèn)同率為90.32%。不論是地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)人員還是非地圖學(xué)相關(guān)專業(yè)人員,本結(jié)果的認(rèn)同率遠(yuǎn)高于其它方法的認(rèn)同率,利用本模型得到的定量計(jì)算結(jié)果更符合人們的空間認(rèn)知習(xí)慣。

由表1數(shù)據(jù)可知,本文計(jì)算結(jié)果與已有方法計(jì)算結(jié)果相差較大。已有方法計(jì)算得到的點(diǎn)群1的主方向均未超過90°且最大僅為62.71°,而本計(jì)算結(jié)果為272°,已有方法與本方法的計(jì)算結(jié)果最大可相差209.29°,差別明顯;已有方法計(jì)算得到的點(diǎn)群2的主方向計(jì)算結(jié)果均在90°～180°,而本計(jì)算結(jié)果為232°,已有方法與本方法的計(jì)算結(jié)果最大相差54.05°,計(jì)算結(jié)果仍存在較大差異。其原因如下:

1)已有的點(diǎn)群主方向計(jì)算方法利用凸殼、標(biāo)準(zhǔn)差橢圓等近似擬合點(diǎn)群的分布形態(tài),在此基礎(chǔ)上利用其直徑、長(zhǎng)軸代表點(diǎn)群分布主方向,沒有顧及個(gè)別奇異點(diǎn)對(duì)其分布形態(tài)及直徑、長(zhǎng)軸的影響;本算法在錐形模型基礎(chǔ)上構(gòu)建方向玫瑰圖判斷點(diǎn)群方向關(guān)系,較好地維持了點(diǎn)群原始分布形態(tài)。

2)點(diǎn)群內(nèi)部分布形態(tài)復(fù)雜,局部分布密度會(huì)影響點(diǎn)群的分布趨勢(shì),已有方法僅從點(diǎn)群整體分布出發(fā)來判斷主方向,未考慮密度對(duì)其主方向判斷的影響;本模型在構(gòu)建過程中充分顧及到了分布密度的影響,得到的主方向計(jì)算結(jié)果更加符合人類認(rèn)知。

4 結(jié) 論

本文綜合考慮點(diǎn)群目標(biāo)的分布形態(tài)及密度特征,借助16方向錐形模型構(gòu)建方向玫瑰圖,利用統(tǒng)計(jì)加權(quán)算法構(gòu)建點(diǎn)群目標(biāo)分布主方向的定量計(jì)算模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該模型較好地顧及了分布密度對(duì)點(diǎn)群目標(biāo)空間分布主方向的影響,實(shí)現(xiàn)了符合人類認(rèn)知的點(diǎn)群目標(biāo)空間分布主方向定量描述。