張志剛，常加冕，張鵬程

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 長(zhǎng)沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

0 引言

目前，多相電機(jī)由于其轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)小、功率器件容量要求低和控制容錯(cuò)率高等優(yōu)點(diǎn)在各種特殊場(chǎng)所得到了廣泛的運(yùn)用［1］。采用六相永磁同步電機(jī)的變流器驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可靠性受到各種元件的影響，如開關(guān)元件、電感器、電容器、連接器、電阻器和門極驅(qū)動(dòng)器。其中，電容器是決定整個(gè)變流器驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可靠性的主要因素之一，并且其故障率在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中占比約40%。故監(jiān)測(cè)電容器的使用壽命對(duì)提高整個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的可靠性具有重要意義［2］。

在直流環(huán)節(jié)電容器的使用壽命監(jiān)測(cè)過程中，電容紋波電流均方根（root mean square， RMS）值計(jì)算的準(zhǔn)確性是影響電容器選型和壽命監(jiān)測(cè)的重要因素［3］。實(shí)際上，逆變器采用不同的控制策略，直流電容器承受的諧波電流也不同［4］。電容器電流RMS值的計(jì)算方法已有較多文獻(xiàn)報(bào)道，可分為時(shí)域分析和諧波譜分析。在時(shí)域分析方法中，調(diào)制深度、電流幅值、相位角3 個(gè)參數(shù)共同決定電流均方根值。文獻(xiàn)［5］中電流RMS 值采用簡(jiǎn)單的解析表達(dá)式計(jì)算，與實(shí)際值相比可能存在5%左右的偏差。在頻域分析方法中，文獻(xiàn)［6］根據(jù)直流環(huán)節(jié)電容電流的諧波頻率分析計(jì)算電容器的電流RMS值，其中諧波分量是通過雙重傅里葉積分得到，此方法步驟簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］詳細(xì)分析了不同調(diào)制方式對(duì)電流RMS值的影響，并對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證?，F(xiàn)有文獻(xiàn)的計(jì)算方法精度低、過程復(fù)雜。為此，本文提出了一種直流環(huán)節(jié)電容電流RMS 值的計(jì)算方法。其首先分析了變流器調(diào)制對(duì)直流電容電流的影響；其次，通過對(duì)電容電流的頻譜分析，得到了雙重傅里葉積分的電流RMS 值計(jì)算式；同時(shí)，為了減少積分計(jì)算過程、提高計(jì)算精度，提出了一種改進(jìn)的多項(xiàng)式插值求積法Cotes；最后，通過搭建二電平六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型，采用空間矢量脈寬調(diào)制（SVPWM）算法，驗(yàn)證了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)拓?fù)浼皵?shù)學(xué)模型

1.1 六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

本文基于六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立電容器電流諧波分析模型。六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)由不控三相整流器（UBR）和并聯(lián)在直流環(huán)節(jié)上的2個(gè)逆變器組成，如圖1所示。假定六相永磁同步電機(jī)處于穩(wěn)態(tài)工作狀態(tài)，且逆變器采用規(guī)則對(duì)稱的SVPWM控制策略［5］。

圖1 六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig. 1 Topology of S-PMSM drive system

1.2 直流環(huán)節(jié)電容器電流諧波分析數(shù)學(xué)模型

二極管整流橋?yàn)樽匀粨Q相整流，在一個(gè)開關(guān)周期中，同一上下橋臂交替導(dǎo)電，各相導(dǎo)電角度差為120°。因此，輸出電流irec由直流分量Ir，dc和各次諧波分量irn的和組成，如式（1）所示。

直流電容器僅導(dǎo)通交流分量，因此電容器電流的RMS值ic，rms主要由整流輸出的諧波分量組成。直流環(huán)節(jié)電流諧波是由變流器在PWM信號(hào)的驅(qū)使下進(jìn)行高頻率開關(guān)而產(chǎn)生的。直流鏈路電流iinv由2個(gè)逆變器的輸入電流組成，包含交流分量iinv，ac和直流分量iinv，dc，如式（2）所示。

流入直流環(huán)節(jié)電容器的諧波電流與逆變器開關(guān)函數(shù)有密切關(guān)系。在時(shí)域中，各相的開關(guān)電流可用交流相電流與開關(guān)函數(shù)T（t）相乘表示，因此，iinv，ac可表示為

式中：i(u，v，w)(t)——上逆變器各相電流的瞬時(shí)值；i(r，s，t)(t)——下逆變器各相電流的瞬時(shí)值。

根據(jù)逆變器的開關(guān)特性，三相交流電流可以用基頻分量表示為

式中：I(U，V，W)、I(R，S，T)——各自相位中的電流幅值；ω1、ω2——上、下逆變器的角速度，ω1= 2πf1，ω2= 2πf2，其中f1和f2分別為上、下逆變器的角速度對(duì)應(yīng)的基本頻率；φ1、φ2——上、下逆變器相位角；τ——變量，取值為0、1和2，主要是為了區(qū)分U，V，W或R，S，T三相，使之互差120°。

如果開關(guān)函數(shù)T(t)歸一化為開關(guān)周期，基于SVPWM（空間矢量脈寬調(diào)制）開關(guān)狀態(tài)的時(shí)間定義如式（5）所示，其中，α1表示第一扇區(qū)或第二扇區(qū)中的時(shí)間函數(shù)［9-13］。

式中：ω——基頻角頻率；M——調(diào)制系數(shù)其中Uref為參考電壓矢量，Udc為直流母線電壓。

房丙午 男，1974年生于安徽樅陽.現(xiàn)為南京航空航天大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院博士研究生，副教授.主要研究方向軟件工程、軟件系統(tǒng)安全性分析.

2 基于頻域分析的直流環(huán)節(jié)電容器電流RMS值計(jì)算

根據(jù)Parseval 定理，時(shí)間信號(hào)的能量可以等于其頻譜的能量。因此，時(shí)間信號(hào)iinv，up，rms可以用上逆變器電流頻譜iinv，up(f)表示［13］。iinv，up(f)由式（4）中的3個(gè)相電流頻譜之和得到，如式（6）所示。

式中：IU（f）、IV（f）、IW（f）——各相位電流的頻譜幅值。

2.1 直流環(huán)節(jié)電容器電流RMS值雙重傅里葉分析

不同于對(duì)開關(guān)電流的頻域分析，開關(guān)電流的頻譜可以用雙重傅里葉積分表示。使用這種方法，逆變器開關(guān)電流的頻譜如式（7）所示。

式中：Uk、Vk、Wk—— 上逆變器的U 相、V 相和W 相相電壓；yu（r）、yd（r） —— 外積分的積分極限；xu（r）、xd（r）——內(nèi)積分的積分極限；m——載波指數(shù)變量，m∈N；n——頻譜邊帶指數(shù)變量，n∈N；y1=ω1t；x1=ωsw1t，其中，ωsw1為上逆變器的開關(guān)頻率；f——該頻域與上逆變器基頻、開關(guān)頻率之間的關(guān)系

開關(guān)電流的雙重傅里葉積分的上下限如表1所示。

表1 開關(guān)電流的雙重傅里葉積分的積分極限Tab.1 Integration limits for the double-Fourier integral of switch current

與iinv，up(f)的表示類似，下逆變器iinv，low(f′)的頻譜可由式（7）導(dǎo)出，結(jié)果如式（8）所示。

式中：Rk、Sk、Tk—— 下逆變器的R 相，S 相和T 相相電壓；y2=ω2t；x2=ωsw2t，其中ωsw2是下逆變器的開關(guān)頻率；f′——頻域與下逆變器基頻、開關(guān)頻率之間的關(guān)系

2.2 基于插值求積的電流RMS值計(jì)算

上述推導(dǎo)所得式（7）和式（8）為雙重傅里葉積分，計(jì)算量巨大且繁瑣，涉及許多未解積分。為了得到簡(jiǎn)化的計(jì)算表達(dá)式，對(duì)式（7） 和式（8）進(jìn)行插值求積。牛頓3/8法（即辛普森3/8法則）是近似確定函數(shù)不定積分的數(shù)值求積方法。在所考慮的區(qū)域內(nèi)，所需采樣點(diǎn)的位置在等距離間隔內(nèi)。然后對(duì)推導(dǎo)出的函數(shù)積分生成近似解。采用所提出的插值求積方法可以省去大量的積分計(jì)算過程，同時(shí)具有較高的計(jì)算精度。

應(yīng)用插值求積規(guī)則的結(jié)果如式（10）所示。

式中：C（y）——近似于原函數(shù)的函數(shù)；Qk——權(quán)重系數(shù)；sk——插值系數(shù)，sk描述了步長(zhǎng)的位置，如式（11）所示。

式中：Zk——固定采樣點(diǎn)。

2.3 采用改進(jìn)插值求積Cotes方法的電流RMS值計(jì)算

插值求積方法會(huì)根據(jù)采樣點(diǎn)的數(shù)量和權(quán)重系數(shù)的不同產(chǎn)生不同的效果。綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算復(fù)雜程度，本文提出了Cotes 方法，采取5 個(gè)采樣點(diǎn)?；贑otes方法的權(quán)重系數(shù)和采樣點(diǎn)結(jié)果如表2所示。

表2 Cotes 方法的采樣點(diǎn)和權(quán)重系數(shù)Tab. 2 Sampling points and weight coefficients of Cotes

3 系統(tǒng)仿真驗(yàn)證

通過實(shí)驗(yàn)和仿真驗(yàn)證本文所提出方法的有效性。所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均通過Matlab/Simulink 仿真平臺(tái)獲取，根據(jù)圖1系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)搭建的六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具體參數(shù)如表3所示。

表3 六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)Tab. 3 Parameters of S-PMSM drive system

逆變器控制開關(guān)頻率為4 kHz。將相電流視為理想余弦函數(shù)。輸入三相電壓幅值為326 V，基頻50 Hz。在上述建立的系統(tǒng)模型中，通過對(duì)比普通雙重傅里葉積分計(jì)算方式和牛頓3/8 法驗(yàn)證所提出Cotes 方法的計(jì)算精度和計(jì)算速度。

3.1 Cotes方法的計(jì)算精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的Cotes方法的準(zhǔn)確性，使用了3種不同的方法（牛頓 3/8 法， Matlab FFT 分析和Cotes方法）來計(jì)算直流環(huán)節(jié)電容電流的RMS 值。圖2 示出在1 到6 倍開關(guān)頻率下直流環(huán)節(jié)電容電流iinv，rms的RMS 值跟隨調(diào)制指數(shù)M的變化情況。對(duì)比3 種方法，通過圖2可以看出，在1到6倍開關(guān)頻率下，Cotes方法比牛頓 3/8 法具有更高的計(jì)算精度，其計(jì)算精度能提高約5%。

圖2 Cotes 方法的近似精度Fig. 2 The approximate accuracy of Cotes method

3.2 Cotes方法的計(jì)算速度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證Cotes方法的計(jì)算簡(jiǎn)化效果，進(jìn)行了計(jì)算速度的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。采用Cotes 方法和Matlab 雙重傅里葉計(jì)算方法分別對(duì)式（7）和式（8）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算。兩種計(jì)算方法的程序由DSP控制器（TMS320F2812）執(zhí)行，并通過插入斷點(diǎn)記錄執(zhí)行時(shí)間。Cotes方法的程序執(zhí)行時(shí)間約為4 ms， Matlab FFT方法的程序執(zhí)行時(shí)間約為8.3 ms?？梢钥闯?，Cotes方法計(jì)算速度要快50%左右。因此，所提出的Cotes方法更加簡(jiǎn)化。

4 結(jié)束語

針對(duì)六相永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，為解決傳統(tǒng)的直流環(huán)節(jié)電容電流RMS值計(jì)算繁瑣、涉及許多未解積分等問題，本文在直流環(huán)節(jié)電容器壽命的預(yù)測(cè)和在電容器體積選型設(shè)計(jì)過程中提供了更優(yōu)化的電流RMS值計(jì)算方案。該方案在所考慮的區(qū)域中，等距離步長(zhǎng)中分布5個(gè)采樣點(diǎn)，然后對(duì)推導(dǎo)出的函數(shù)積分，生成近似解。仿真結(jié)果表明，通過采用所提出的Cotes方法可以省去約50%的積分計(jì)算過程，計(jì)算精度提高約5%。同時(shí)，該方法可側(cè)面提高驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是高階時(shí)Cotes方法可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值的不穩(wěn)定，未來可著重研究Cotes 方法的誤差分析，進(jìn)一步提升該方法的計(jì)算精度。