田世超，杜 新，夏 強，陳 林，付秋軍

（空間物理重點實驗室，北京，100076）

0 引 言

隨著飛行器的設(shè)計優(yōu)化逐漸趨于精細化，采用高精度分析軟件進行數(shù)據(jù)分析已經(jīng)成為一種趨勢。但是受到硬件資源的限制，如果設(shè)計過程完全采用分析軟件計算，時間成本將是無法承受的，這一問題在氣動方面尤為嚴重。代理模型能夠根據(jù)有限數(shù)據(jù)點，按照一定策略實現(xiàn)對設(shè)計域的全局近似［1］，在此基礎(chǔ)上進行尋優(yōu)搜索，能夠使計算成本顯著降低。

鞏成［2］以后掠角、上反角以及迎角等為設(shè)計參數(shù)建立響應(yīng)面代理模型，進行變形翼的氣動外形優(yōu)化，獲得了較好的優(yōu)化效果；Unal［3］基于響應(yīng)面方法對具有翼身融合特點的單級入軌飛行器進行氣動布局優(yōu)化；馬洋等［4］對組合代理模型方法進行了對比研究，并應(yīng)用于飛行器的氣動性能預(yù)測。隨著對代理模型研究的逐漸深入，其應(yīng)用領(lǐng)域也不斷地得到擴展［5-7］。對于吸氣式飛行器，由于其氣動布局和超燃沖壓發(fā)動機具有高度耦合的特點［8］，分別針對氣動和動力模塊進行優(yōu)化顯然無法滿足設(shè)計要求，因此需要開展氣動/動力一體化設(shè)計。

本文針對吸氣式飛行器的氣動/動力耦合問題建立了基于徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）的代理模型，使用NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化方法開展基于代理模型的尋優(yōu)搜索，從設(shè)計可行性、結(jié)果準確性及時間成本方面對基于代理模型的優(yōu)化過程進行了評估。

主要優(yōu)化流程包括：幾何建模，氣動、動力學科建模，建立代理模型以及基于NSGA-Ⅱ方法的設(shè)計優(yōu)化。同時為驗證代理模型優(yōu)化的準確性，使用學科模型同步開展設(shè)計優(yōu)化，對比二者的優(yōu)化結(jié)果。

1 幾何建模

設(shè)計模型采用三級外壓加一級內(nèi)壓進氣道、等截面隔離段、微擴燃燒室以及線性擴張噴管?；诖碎_展模型參數(shù)化設(shè)計，梳理確定了11 個幾何參數(shù)，如表1所示，基于VB語言實現(xiàn)建模自動化［9-10］。

表1 幾何參數(shù)及含義Tab.1 Geometric parameters and meanings

2 學科建模

2.1 氣動分析

針對設(shè)計模型建立二維結(jié)構(gòu)網(wǎng)格（見圖1），采用VB 語言實現(xiàn)網(wǎng)格自適應(yīng)，網(wǎng)格數(shù)為100 000。以H=25 km，Ma=6，α=4°為設(shè)計點，采用Fluent 建立氣動分析模型進行氣動計算，選擇耦合求解器，來流為可壓縮理想氣體，邊界條件取為無限遠場條件，采用等溫、無滑移壁面，控制方程選擇Navier-Stokes 方程，湍流模型選擇k-ω剪切應(yīng)力輸運（SST），時間積分選擇隱式Roe-FDS格式。

圖1 設(shè)計模型網(wǎng)格Fig.1 Grid of design model

2.2 動力分析

根據(jù)設(shè)計點來流參數(shù)建立超燃沖壓發(fā)動機性能評估模型。按照設(shè)計要求，氣流經(jīng)進氣道楔角轉(zhuǎn)折后交于唇口位置，忽略附面層引起的溢流。根據(jù)斜激波理論［11］確定激波角，由幾何關(guān)系計算各級楔角尺寸以及喉道高度，同時確定波后氣流參數(shù)如下：

式中Pi，ρi，Mai為波前氣流參數(shù)；Pj，ρj，Maj為波后氣流參數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗公式［12］以及燃燒室入口條件計算隔離段長度：

θ為附面層動量厚度，考慮黏性阻力影響，建立等壓燃燒模型［13］，確定燃燒室出口氣流參數(shù)；選定噴管膨脹角，按照等熵膨脹理論計算出口氣流參數(shù)，由此確定發(fā)動機推力、比沖等性能參數(shù)：

3 建立代理模型

3.1 最優(yōu)拉丁超立方取樣

建立代理模型前須選擇合理的試驗設(shè)計方法對設(shè)計域進行取樣，最優(yōu)拉丁超立方方法（SLE-OLHD）［14］采用序列局部枚舉方法，以最小距離最大化（dmin）為最優(yōu)準則［15］，對傳統(tǒng)拉丁超立方方法進行改進，從而提高其空間填充的均衡性，使采樣點更均勻。

圖2為以2因子40水平為例，對兩種取樣策略進行對比的結(jié)果，可以看到使用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計獲得的樣本點更趨近于均勻分布。

圖2 最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計和拉丁超立方設(shè)計取樣對比Fig.2 Sampling comparison between optimal latin hypercube design and latin hypercube design

3.2 構(gòu)造方法

針對代理模型的構(gòu)造已提出多種方法［16-19］。龍騰等［20］對RBF、支持向量機（Support Vector Machine，SVM）以及克里金模型（Kriging，KRG）等6種常見代理模型的性能進行了評估。結(jié)果表明，RBF 以及KRG 方法的性能高于其他方法。但是從通用性以及軟件實現(xiàn)難度方面考慮，RBF方法更具優(yōu)勢，因此本文采用RBF方法構(gòu)造代理模型用于尋優(yōu)。

RBF函數(shù)具有較強的非線性映射能力，能夠以任意精度全局逼近任意一個非線性函數(shù)，其具體形式可以表述為

其核函數(shù)φ（||x-xi||）為

為驗證RBF方法的性能，采用最優(yōu)拉丁超立方方法生成300 個樣本點，然后使用RBF 方法進行擬合。圖3為基于徑向基函數(shù)方法的函數(shù)擬合測試。

圖3 基于徑向基函數(shù)方法的函數(shù)擬合測試Fig.3 Function fitting test based on radial basis function method

為驗證徑向基函數(shù)擬合效果進行檢驗，定義評估近似模型準確度的決定系數(shù)R2，其值越接近1，代理模型越能描述原函數(shù)的特點。

圖4為RBF方法擬合誤差。

隨機生成30 個樣本點進行模型評估，決定系數(shù)為0.963，擬合精度較高。但由圖4可以看到邊界區(qū)域的擬合效果很差，這與取樣點的選擇以及徑向基函數(shù)方法有一定關(guān)系，因此實際應(yīng)用中可適當擴大擬合區(qū)域范圍，保證實際計算域不處于邊緣位置，從而降低擬合誤差。

4 高速飛行器設(shè)計優(yōu)化

4.1 優(yōu)化變量及優(yōu)化目標

考慮到前體是氣動力的主要貢獻部件，同時其楔角配置對動力性能影響較大。這里以進氣道楔角θ1，θ2，θ3以及唇口轉(zhuǎn)折角θ4為優(yōu)化變量，采用最優(yōu)拉丁超立方方法進行采樣，流程如圖5所示。

圖5 基于代理模型的優(yōu)化流程Fig.5 Optimization process based on proxy model

鑒于RBF對邊緣的近似效果較差，適當放寬近似范圍。初始狀態(tài)生成100個樣本點并計算響應(yīng)值，以隱含層神經(jīng)元數(shù)最小為原則，建立基于徑向基函數(shù)代理模型并對模型進行準確度評估，若不滿足精度要求則追加樣本點重新擬合。

當樣本點達到200時，隨機生成20個樣本點進行評估，決定系數(shù)R2為0.964，滿足擬合精度要求，圖6為擬合過程的均方誤差變化，可以看到經(jīng)過200步計算，均方誤差降為2.91×10-24，代理模型生成完成。在此基礎(chǔ)上以最大升阻比以及最大比沖為優(yōu)化目標，進行尋優(yōu)搜索。采用NSGA-Ⅱ多目標優(yōu)化方法，種群規(guī)模為30，進化代數(shù)為10 代，交叉概率為0.85，變異概率為0.005，以此對代理模型以及原學科模型進行尋優(yōu)，獲取最優(yōu)解，并對比二者的優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化參數(shù)的初值及取值范圍如表2所示。

圖6 擬合過程的均方誤差變化Fig.6 Variation of mean square error in the fitting process

表2 優(yōu)化變量的初值及取值范圍Tab.2 The initial value and value range of the optimized variable

4.2 優(yōu)化結(jié)果

計算過程以工作站（2.60 GHz，2 處理器，128 GB）為平臺，單次計算耗時0.5 h，真實模型經(jīng)過300次尋優(yōu)，共計耗時150 h。

由于試驗設(shè)計氣動/動力計算不存在時間先后問題，可并行計算。同時針對4個設(shè)計方案開展氣動/動力計算，共計25 h完成。在此基礎(chǔ)上構(gòu)建RBF代理模型，利用NSGA-Ⅱ方法進行尋優(yōu)搜索，尋優(yōu)過程相對于氣動計算可忽略不計。

對于多目標優(yōu)化問題，最優(yōu)解不是單一的結(jié)果［21］，最終獲得的Pareto最優(yōu)解集如圖7所示。為便于對比，根據(jù)Brequet 航程公式以升阻比與比沖乘積最大為原則，確定最優(yōu)解，最終結(jié)果如表3所示。

圖7 升阻比與比沖最大的Pareto前沿Fig.7 Pareto frontier with the maximum lift-drag ratio and specific impulse

表3 優(yōu)化結(jié)果對比Tab.3 Comparison of optimization results

應(yīng)用代理模型的優(yōu)化結(jié)果進行氣動計算，靜壓分布如圖8 所示。由圖8 可以看到，前體三道斜激波交匯于唇口位置，經(jīng)唇口轉(zhuǎn)折后在隔離段形成斜激波串，在隔離段出口處氣流基本趨于穩(wěn)定，滿足設(shè)計要求。

從代理模型的優(yōu)化效果看，相對于初始設(shè)計方案，比沖提高了15.04%，升阻比提高了16.67%，優(yōu)化效果較為理想。

為驗證代理模型計算結(jié)果的準確性，將最終楔角配置方案應(yīng)用于真實模型重新計算。對比發(fā)現(xiàn)，相同楔角配置方案下，二者的計算結(jié)果差異較小，代理模型相對于真實模型計算的比沖和升阻比差異僅為2.03%和2.79%。

另一方面，對比真實模型與代理模型的尋優(yōu)結(jié)果，各級楔角差異均不超過10%，因此可以認為基于代理模型的設(shè)計優(yōu)化能夠獲得較為準確的結(jié)果。

在時間成本方面，代理模型則顯現(xiàn)出巨大優(yōu)勢，基于代理模型的尋優(yōu)過程僅用25 h完成，真實模型則用時150 h，是代理模型的6倍。

5 結(jié) 論

采用代理模型對氣動和動力分析過程進行近似，在此基礎(chǔ)上進行了高速飛行器一體化快速優(yōu)化，得到了飛行器氣動和動力的最優(yōu)解，初步結(jié)論如下：

a）從設(shè)計可行性方面分析，基于代理模型的設(shè)計優(yōu)化過程與真實模型優(yōu)化過程相似，僅增加了模型近似過程，其中所涉及的試驗設(shè)計以及構(gòu)造方法已較為成熟，因此基于徑向基代理模型的高速飛行器一體化優(yōu)化是可行的。同時這一方法也為其他學科耦合優(yōu)化問題提供了一定參考價值。

b）代理模型與真實模型的尋優(yōu)結(jié)果對比，優(yōu)化變量差異不超過10%。另外，將代理模型優(yōu)化結(jié)果應(yīng)用于真實模型驗證，性能差異不超過3%，因此可以認為基于徑向基函數(shù)的設(shè)計優(yōu)化過程可靠性較高，能夠獲得較為理想的優(yōu)化結(jié)果。

c）基于代理模型的尋優(yōu)搜索在節(jié)省時間成本方面具有較大優(yōu)勢，能夠在精度降低不多的情況下，大幅降低時間成本。對于高精度計算問題，可首先借助代理模型確定最優(yōu)解的大致范圍，然后使用真實模型進行精確計算，獲得最優(yōu)解。