苗長偉

（1.中核勘察設(shè)計(jì)研究有限公司，河南 鄭州 450000）

城市地鐵隧道的開挖，破壞了原有應(yīng)力平衡，當(dāng)隧道上方荷載過大時(shí)會(huì)引發(fā)地表變形，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致地面坍塌，給國家和社會(huì)帶來巨大損失。在地鐵的建設(shè)和運(yùn)營過程中，對(duì)地表的監(jiān)測(cè)是非常重要的一道工序。在地鐵隧道施工前，沿地鐵方向布設(shè)縱橫觀測(cè)線。進(jìn)行多期觀測(cè)，通過測(cè)量數(shù)據(jù)求得地表變形值，建立多種預(yù)測(cè)模型，對(duì)比分析選擇最優(yōu)模型，進(jìn)行地表變形實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)地表臨界變形預(yù)警。國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究和分析，其中潘國榮提出了基于AR 而且運(yùn)用至CAR 對(duì)時(shí)間序列統(tǒng)一建模的新思路，最終證實(shí)了時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度較高，運(yùn)用范圍比較廣[1-7]。

本文以河南某市市民文化服務(wù)區(qū)地鐵8號(hào)線縱向線上Q16號(hào)觀測(cè)點(diǎn)為例，采用小波對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理。隨后建立灰色、時(shí)序以及兩者的結(jié)合模型，實(shí)驗(yàn)成果顯示組合模型預(yù)測(cè)精度最高，這對(duì)揭示地鐵隧道變形機(jī)理，實(shí)現(xiàn)地鐵的安全建設(shè)和運(yùn)營具有重大意義。

1 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的小波去噪處理

1.1 小波去噪原理

連續(xù)函數(shù)信號(hào)f(t)的小波變換公式如下[8-9]：

1.2 小波去噪評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

本文以均方根誤差(RMSE)以及信噪比(SNR)為評(píng)價(jià)模型指標(biāo)，其表達(dá)式如下：

1.3 小波閾值去噪處理

設(shè)一含包含誤差的一維信號(hào)模型公式：

式中，f(t)為低頻真實(shí)信號(hào)；e(t)為高頻噪聲；S(t)為含有噪聲的信號(hào)；t為等間隔時(shí)間；σ為噪聲水平。我們的目標(biāo)是將真實(shí)信息和誤差信息區(qū)分開，從而留取真實(shí)信息[10-12]。

本次測(cè)量工作高程基準(zhǔn)網(wǎng)布設(shè)了8個(gè)控制點(diǎn)，包括3個(gè)已知點(diǎn)。對(duì)地鐵隧道監(jiān)測(cè)工作使用精度0.6 mm的Trimble DINI03 電子自動(dòng)水準(zhǔn)儀，按照國家規(guī)定的二等水準(zhǔn)測(cè)量要求進(jìn)行高程測(cè)量工作[13-14]，采用往返測(cè)，若兩次測(cè)量數(shù)據(jù)均符合精度要求，則取其平均值作為觀測(cè)數(shù)據(jù)。2018年7月9日開始觀測(cè)，2018年9月26日結(jié)束觀測(cè)工作，期間每天觀測(cè)一次，獲取80期數(shù)據(jù)。以地鐵8號(hào)線縱向線上Q16號(hào)觀測(cè)點(diǎn)為例。建立了多種小波模型進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)db5小波1層分解降噪最佳。分別采用啟發(fā)式閾值（heursure）、固定閾值（sqtwolog）、無偏似然估計(jì)閾值（rigrsure）、極大極小閾值（minimaxi）結(jié)合db5 小波1 層分解進(jìn)行降噪處理，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明rigrsure均方根誤差RMSE最小，數(shù)值為0.009，信噪比（SNR）最高，值為76.962?，F(xiàn)用db5小波1層分解對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波降噪處理，分解圖如圖1所示，觀測(cè)數(shù)據(jù)去噪前后對(duì)比圖見圖2。

圖1 去噪效果圖

圖2 觀測(cè)點(diǎn)Q16沉降曲線

由圖2 可知，通過小波去噪處理能夠減弱原始數(shù)據(jù)中的噪聲，使沉降數(shù)據(jù)變得更加平滑，能更好地反映變形情況。

2 灰色-時(shí)間序列分析理論

2.1 灰色模型預(yù)測(cè)

設(shè)X(0)為GM（1，1）建模序列：

令Z(1)為X(1)的緊鄰均值(MEAN)生成序列：

GM（1，1）的灰微分方程為：

其中

稱

為灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程。

取x(1)(0)=x(0)(1)，求得

2.2 模型檢驗(yàn)

殘差序列e的表達(dá)式為：

灰色模型可以利用較少的數(shù)值進(jìn)行較好的預(yù)測(cè)，對(duì)降噪后的實(shí)測(cè)數(shù)值進(jìn)行建模實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)20維的建模數(shù)據(jù)預(yù)計(jì)效果較好。我們采用51～70 期作為建模數(shù)據(jù)，對(duì)71～80 期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)地鐵8 號(hào)線縱向線上Q16 號(hào)觀測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)數(shù)值，形成數(shù)據(jù)矩陣，并利用最小二乘原理估計(jì)參數(shù)，求出GM（1，1）模型參數(shù)為，根據(jù)式（14）最終求得GM（1，1）模型為7.35e-0.02k。最后求得后驗(yàn)方差比值C=0.33，小誤差概率P=1，根據(jù)表1 中的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，模型通過檢驗(yàn)且精度為優(yōu)。預(yù)測(cè)71～80期數(shù)據(jù)如表2所示。

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表

表2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)結(jié)果

2.3 時(shí)間序列理論

時(shí)間序列能夠通過自身運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)對(duì)未來發(fā)展趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)，時(shí)間序列模型有自回歸（AR）模型、滑動(dòng)平均（MA）模型以及自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型。

平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)間序列{xt}，xt的取值與前n步中xt-1,xt-2,…,xt-n的取值有關(guān)，同時(shí)與前m步的噪聲at-1,at-2,…,at-n也有關(guān)，一般的自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）表達(dá)式為：

當(dāng)θi=0 時(shí)：

稱為n階自回歸模型，記為AR(n)。

當(dāng)?i=0 時(shí)，

稱為n階滑動(dòng)平均模型，記為MA(n)。

式（15）中，n為自回歸階數(shù)，m為滑動(dòng)平均階數(shù)，θi、?i分別為滑動(dòng)平均參數(shù)、自回歸參數(shù)，εt為獨(dú)立誤差項(xiàng)。

對(duì)地鐵隧道原始數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)沉降曲線不滿足要求，則進(jìn)行二次差分，差分處理后數(shù)據(jù)滿足要求，在此過程實(shí)現(xiàn)了序列零均值化處理。本文采用AIC 標(biāo)準(zhǔn)來判斷模型階數(shù)，通過計(jì)算最終求得n=0，m=4 時(shí)，AIC 取得最小值，則預(yù)測(cè)模型為MA（4）。對(duì)模型殘差進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，得出該殘差為白噪聲。使用該模型對(duì)71～80 期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

3 灰色-時(shí)序模型的建立

本文將灰色模型以及時(shí)間序列模型有效的結(jié)合在一起，運(yùn)用灰色模型提取時(shí)間序列的趨勢(shì)項(xiàng)，再用時(shí)序模型對(duì)灰色模型擬合后的殘差序列進(jìn)行建模，取兩者之和作為模型的形式，組合模型能夠兼顧數(shù)據(jù)的波動(dòng)性和趨勢(shì)性。組合方式表示為：

式中，Yt為降噪的觀測(cè)數(shù)據(jù)；xt為灰色模型提取的趨勢(shì)項(xiàng)；dt為時(shí)間序列模型擬合的隨機(jī)項(xiàng)。

為了精確地分析不同模型在地鐵隧道地表變形中的預(yù)測(cè)效果，本文采用小波去噪后時(shí)間序列模型、小波去噪后組合模型以及小波去噪前組合模型分別對(duì)71～80期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)計(jì)處理。預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。

由表2 可知4 種預(yù)計(jì)結(jié)果中小波去噪組合模型預(yù)計(jì)結(jié)果精度最高，其最小相對(duì)誤差為0.08%，最大相對(duì)誤差為1.38%。

由表1、2 可得，小波去噪后組合模型預(yù)計(jì)值比小波去噪前時(shí)間序列預(yù)計(jì)值以及灰色模型預(yù)計(jì)值更接近實(shí)測(cè)值，說明組合模型可以兼顧變形的趨勢(shì)性和波動(dòng)性，可以表現(xiàn)出變形體的變形趨勢(shì)。同時(shí)小波降噪后組合模型預(yù)計(jì)精度高于小波去噪前組合模型預(yù)計(jì)精度，說明經(jīng)過小波粗差探測(cè)和去噪處理，能夠提高模型的預(yù)計(jì)精度。

4 結(jié)語

通過對(duì)小波去噪后時(shí)間序列模型、小波去噪后灰色模型以及小波去噪前后組合模型的研究，結(jié)論如下：

1）對(duì)比4 種閾值方法對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，最后發(fā)現(xiàn)無偏似然估計(jì)閾值降噪效果最好。小波去噪后組合模型預(yù)測(cè)精度高于去噪前組合模型預(yù)測(cè)精度，說明小波去噪能夠有效提高模型預(yù)測(cè)精度。

2）灰色模型可以處理非平穩(wěn)時(shí)間序列，但是模型是單調(diào)變化趨勢(shì)，不能同時(shí)兼顧數(shù)據(jù)中的隨機(jī)性以及趨勢(shì)性。時(shí)間序列模型一般處理平穩(wěn)零均值數(shù)列，但是現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)大多都是不平穩(wěn)的，因此其應(yīng)用范圍會(huì)受到限制。兩者結(jié)合能夠同時(shí)兼顧變形的趨勢(shì)性和波動(dòng)性。對(duì)比分析多種預(yù)測(cè)模型得知，小波處理后灰色-時(shí)序組合模型預(yù)測(cè)精度最高。