申林方，王志良，李騰風(fēng)，孟鴻斌

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

季節(jié)性凍土地區(qū)土體的凍脹融沉病害嚴(yán)重影響鐵路路基結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性以及列車行駛的安全性[1-3],是目前工程界亟須解決的問題。這些病害與土體中的水分遷移、溫度變化及凍結(jié)相變密切相關(guān),是典型的水熱耦合問題。一方面土體凍結(jié)時未凍區(qū)的水分向凍結(jié)鋒面遷移,并伴隨著相變潛熱的釋放,從而改變土體中的溫度分布及凍結(jié)鋒面的移動;另一方面土體溫度場的演化又會引起水分凍結(jié)相變、特征參數(shù)的變化及遷移運動[4]。因此,有必要考慮凍結(jié)相變作用研究非飽和土體的水熱耦合作用機制。

針對凍結(jié)相變作用下的土體水熱耦合問題,相關(guān)學(xué)者展開了大量的研究工作。Harlan[5]根據(jù)土體凍結(jié)相變過程中的能量變化以及水分運移規(guī)律,最早提出了描述土體凍結(jié)過程的水熱耦合模型。在此基礎(chǔ)上,Taylor等[6]通過引入阻抗系數(shù)來表征冰對土體導(dǎo)水能力的阻礙作用,研究了水熱耦合作用下冰阻抗對水分遷移規(guī)律的影響。由于土體含相變水熱耦合模型的非線性、初始條件及邊界條件的復(fù)雜性,采用解析法或半解析法求解非常困難,需借助數(shù)值計算方法進(jìn)行計算[7]。為此,文獻(xiàn)[8-9]對求解區(qū)間進(jìn)行網(wǎng)格劃分和時間離散,采用有限差分法求解了Harlan模型;文獻(xiàn)[10-11]采用消除源項的方法降低溫度場與水分場演化方程間的耦合性,基于全隱式有限差分計算格式求解了凍土的水熱耦合方程,并分析了阻抗系數(shù)對土體水熱耦合演化規(guī)律的影響。然而,上述研究未考慮凍結(jié)鋒面位置附近,未凍區(qū)和已凍區(qū)未凍含水率與溫度間導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的問題。為此,文獻(xiàn)[12-13]對凍結(jié)鋒面位置處的特殊節(jié)點進(jìn)行優(yōu)化處理,基于有限容積法建立一種求解水熱耦合模型的新數(shù)值計算方式。為簡化計算,該方法將非飽和土體在負(fù)溫條件下的最大未凍含水率作為凍結(jié)區(qū)土體的未凍含水率,這顯然與實際情況存在一定的誤差,且會影響冰組分的計算。

為此,在進(jìn)行演化方程組解耦、凍結(jié)鋒面位置精細(xì)化處理的同時,采用土體凍結(jié)特征曲線改進(jìn)凍結(jié)區(qū)未凍含水量計算,通過引入總含水量優(yōu)化冰組分生成,提出一種新的水熱耦合作用模型。然后,采用有限差分法對該模型進(jìn)行數(shù)值求解,并結(jié)合試驗數(shù)據(jù)驗證本模型的準(zhǔn)確性和有效性。最后,以張掖壤土為研究對象,分析討論凍結(jié)時間、初始含水量、溫度梯度以及冰阻抗等因素,對水平凍結(jié)條件下非飽和土體水熱耦合作用機制的影響。

1 水熱耦合數(shù)學(xué)模型

1.1 基本方程

忽略水氣運移、熱量對流、冰透鏡體形成以及外荷載的作用,得到在水平凍結(jié)作用下(不考慮重力方向的滲流)非飽和土體的水熱耦合控制方程[6]。

溫度場:

(1)

水分場:

(2)

式中:T為土體的溫度,℃;θw、θI分別為非飽和土體的體積未凍含水量和含冰量,%;Dw為水分?jǐn)U散系數(shù),m2/s;Cv為體積比熱容,kJ/(kg·℃);λ為體積熱傳導(dǎo)系數(shù),W/(m·℃);ρI、ρw分別為冰、水密度,kg/m3;L為相變潛熱,kJ/kg;t為時間,h。

土體凍結(jié)后冰的生成阻斷了部分水流通道,從而影響水分遷移。為了表征冰組分對凍土水分?jǐn)U散系數(shù)的影響,Taylor等[6]基于試驗和數(shù)值模擬結(jié)果提出了阻抗因子的概念?？紤]冰阻抗的影響,水分?jǐn)U散系數(shù)Dw可表示為

(3)

式中:D為未凍區(qū)的水分?jǐn)U散系數(shù),m2/s;I0為阻抗因子,I0=1010θI。

考慮土體各組分影響,其體積比熱容Cv及體積熱傳導(dǎo)系數(shù)λ可表示為[14-15]

Cv=ρsCs(1-φ)+ρwCwθw+ρICIθI+ρaCa·

(φ-θw-θI)

(4)

(5)

式中:φ為土體的孔隙率,下標(biāo)s、w、I、a分別表示土顆粒、未凍水、冰、空氣。

上述方程有溫度、未凍含水量及含冰量三個待求變量,而僅有兩個方程,故需補充一個聯(lián)系方程——土體凍結(jié)特征曲線,并由此可建立非飽和土體凍結(jié)區(qū)的未凍含水量與溫度的曲線方程為

θw≤θmax(T)

(6)

式中:θmax(T)為非飽和土體在負(fù)溫條件下對應(yīng)的最大未凍含水量。

1.2 方程的改進(jìn)

由溫度場演化方程式(1)和水分場演化方程式(2)可知,相關(guān)參數(shù)及源項間均存在耦合作用,而聯(lián)系方程式(6)又取決于試驗結(jié)果,在求解過程中需考慮數(shù)值計算和試驗數(shù)據(jù)之間的整合問題。為此,本文在對演化方程組進(jìn)行解耦的同時,對含冰量計算進(jìn)行了優(yōu)化處理。

1.2.1 演化方程組解耦

為降低溫度場和水分場間的耦合作用,將式(1)與式(2)聯(lián)立,消除溫度場演化方程中的源項,即:含冰量變化率?θI/?t。同時,在求解過程中,將未凍含水量θw作如下變換

(7)

則溫度場的演化方程可變換為[13]

(8)

1.2.2 含冰量優(yōu)化計算

聯(lián)系方程式(6)所對應(yīng)的未凍含水量主要為土顆粒周圍未凍結(jié)的水分,其數(shù)值只能用來校核凍結(jié)區(qū)的未凍含水量,而不能直接求解含冰量的變化。為較好地處理冰組分的生成過程,本文引入總含水量θaw,其計算過程為

(9)

含冰量的計算過程為:根據(jù)式(2)計算土體的未凍含水量,然后結(jié)合式(6)對其進(jìn)行校核,并根據(jù)式(9)進(jìn)行總含水量計算,最后求得的含冰量為總含水量與未凍含水量之差,即

(10)

因此,將式(2)、式(6)、式(8)～式(10)聯(lián)合,建立新的水平凍結(jié)作用下非飽和土體水熱耦合模型。

2 計算模型的離散化處理

2.1 控制方程的離散過程

為了求解所建立的非飽和土體水熱耦合模型,采用隱式中心差分格式,對其進(jìn)行數(shù)學(xué)離散。以水分場演化方程式(2)為例,在節(jié)點i位置的離散形式可表示為

(11)

式中:Δt為時間步長;Δx為網(wǎng)格間距;上標(biāo)n為離散的時步;下標(biāo)p、s分別表示向前、向后半個節(jié)點位置處對應(yīng)參數(shù)的平均值。

將式(11)進(jìn)行整理,可得

(12)

式中:αi、βi、γi、hi分別為節(jié)點i位置處的參數(shù),滿足

(13)

同理,可得到溫度場演化方程式(8)的離散形式為

(14)

(15)

總含水量θaw求解的離散形式可表示為

(16)

2.2 凍結(jié)鋒面的精細(xì)化處理

求解離散方程時,在凍結(jié)鋒面處非飽和土體的溫度、總含水量、未凍含水量等參數(shù)需借助于聯(lián)系方程式(6)求得。同時,未凍水轉(zhuǎn)換成冰使得總含水量和未凍含水量開始發(fā)生分化,而水凍結(jié)成冰的瞬間釋放相變潛熱,因此在凍結(jié)鋒面位置處其水熱演化機制極其復(fù)雜,相應(yīng)的離散過程需進(jìn)行單獨討論。

為此,假設(shè)If位置處于未凍區(qū),而If+1位置則為凍結(jié)區(qū)。在凍結(jié)鋒面處,由于If節(jié)點的未凍含水量與溫度無函數(shù)關(guān)系,而If+1位置處則需引入特征曲線,因此對于dθw/dT在(If)p位置處或者(If+1)s處沒有明確定義。故dθw/dT在(If)p位置處或者(If+1)s處,進(jìn)行離散展開得

(17)

將式(17)代入式(8)可得

(18)

對式(18)進(jìn)行簡化,可得

(19)

在凍結(jié)鋒面位置,無法通過式(19)直接求得未凍含水量和溫度兩個變量,故需要補充相關(guān)方程。為此,在迭代過程中,對dθw/dT進(jìn)行展開,并根據(jù)牛頓切線法得[16]

(21)

式中:*表示本時步上次迭代的計算結(jié)果。

聯(lián)立式(19)和式(21),可以求得n+1時刻凍結(jié)鋒面位置處的未凍含水量及溫度。

2.3 求解流程

本文凍結(jié)相變作用下非飽和土體水熱耦合模型的數(shù)值計算步驟如下:

Step1根據(jù)初始條件及邊界條件,結(jié)合式(14)、式(19)及式(21)求解非飽和土體本時刻的溫度及凍結(jié)鋒面處未凍含水量。

Step2根據(jù)Step1求得的溫度,結(jié)合聯(lián)系方程式(6)的特征曲線,對非飽和土體凍結(jié)鋒面位置處的未凍含水量進(jìn)行校核:當(dāng)其數(shù)值不大于本時刻溫度所對應(yīng)的θmax時,未凍含水量的數(shù)值不變;而當(dāng)超過θmax時,未凍含水量則由θmax代替。然后將校核后的未凍含水量代入式(12),求解整個計算域內(nèi)的未凍含水量。

Step3根據(jù)本時刻的溫度,結(jié)合聯(lián)系方程式(6),對Step2求得的未凍含水量進(jìn)行再次校核,確保數(shù)值的準(zhǔn)確性。然后將校核后的未凍含水量代入式(16),求得本時刻總的含水量。同時根據(jù)式(10),求得本時刻的含冰量。

Step4由于上述求解過程中的參數(shù)信息并非由本時刻的溫度、未凍含水量、含冰量求得,因此,需要重復(fù)步驟Step1～Step3更新本時刻的計算結(jié)果,并得到本時刻第一次迭代的溫度、未凍含水量、總含水量、含冰量。然后再次重復(fù)步驟Step1～Step3,并根據(jù)相鄰兩次迭代計算結(jié)果的相對誤差評判其收斂性,如相對誤差小于控制誤差(本文取為10-4)時,本時刻迭代計算結(jié)束;否則,繼續(xù)迭代計算。

Step5重復(fù)步驟Step1～Step4,直至達(dá)到預(yù)定凍結(jié)時間。

3 算法驗證

結(jié)合文獻(xiàn)[8]中的試驗算例,驗證本文計算模型的有效性。在封閉條件下對石英粉進(jìn)行水平凍結(jié)試驗,試樣直徑為0.1 m,長為0.3 m。在計算過程中,將水平方向0.3 m均勻劃分為300個網(wǎng)格,計算時步設(shè)為2 s。初始時刻石英粉溫度為20 ℃,含水率為15.59%。試驗過程中,模型左端為恒溫不透水邊界,右端為冷源邊界,其溫度為

(22)

凍結(jié)區(qū)未凍含水量與溫度間的關(guān)系為

(23)

水分?jǐn)U散系數(shù)為

(24)

體積比熱容為[8]

Cv=ρd(Cs+4.184mw+2.10mI)

(25)

式中:ρd為石英粉的干密度,ρd=1 330 kg/m3;Cs為石英粉的骨架質(zhì)量比熱容,Cs=837 J/(kg·℃);mw、mI分別為質(zhì)量含水量及含冰量。

石英粉的導(dǎo)熱系數(shù)為[17]:凍結(jié)區(qū)λf=6.875 kJ/(m·h·℃),未凍結(jié)區(qū)λu=12.396 kJ/(m·h·℃),凍結(jié)鋒面位置處取為二者的平均值。

圖1及圖2分別為石英粉凍結(jié)過程中溫度場和水分場的本文數(shù)值解與試驗結(jié)果對比。從圖1和圖2可以看出,在不同時刻土體溫度場及水分場的分布規(guī)律均與石英粉的試驗結(jié)果吻合較好,這充分證明了本數(shù)值方法的有效性,而兩者間的誤差主要是由于數(shù)值計算的參數(shù)取值所致。

圖1 溫度場的本文數(shù)值解與試驗結(jié)果對比

圖2 水分場的本文數(shù)值解與試驗結(jié)果對比

4 分析討論

為研究非飽和土體在水平凍結(jié)過程中,凍結(jié)時間、初始體積含水量、溫度梯度及冰阻抗等因素對溫度場及水分場演化規(guī)律的影響,基于本文計算模型,針對張掖壤土的凍結(jié)演化過程進(jìn)行了數(shù)值計算。計算模型長為0.15 m,相應(yīng)的劃分成150個網(wǎng)格。土體的初始溫度為5 ℃,初始體積含水量為25%。右端為恒溫不透水邊界,左端為冷源邊界,冷源溫度從初始溫度開始每小時降溫1 ℃,直至達(dá)到設(shè)定T0,然后保持恒溫T0不變。根據(jù)文獻(xiàn)[10],土體的孔隙率φ為0.444,張掖壤土各組分的熱物理參數(shù)見表1。

表1 非飽和土體各組分的熱物理參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]的試驗結(jié)果,最大未凍含水量和溫度間的關(guān)系為

(26)

水分的擴(kuò)散系數(shù)取為

Dw=2.03×G7.35/I0

(27)

式中:G為土體飽和度。

4.1 不同凍結(jié)時刻的水熱耦合演化規(guī)律研究

為研究溫度場及水分場隨時間的發(fā)展演化規(guī)律,設(shè)土體初始溫度為5 ℃,冷端達(dá)到恒溫為T0=-5 ℃時,計算得到了凍結(jié)12、24、72、144 h后的溫度場及水分場分布見圖3,凍結(jié)鋒面隨時間的演化規(guī)律見圖4。從圖3可以看出,土體溫度隨時間的推移逐漸降低,且在凍結(jié)前期發(fā)展較快,隨后逐漸趨于平緩。由于凍結(jié)相變作用,未凍區(qū)的水分會向凍結(jié)鋒面遷移,并在鋒面位置處明顯發(fā)生水分積聚的現(xiàn)象,從而導(dǎo)致凍結(jié)區(qū)的總含水量明顯大于未凍區(qū)。同時,由圖4可知,凍結(jié)鋒面在初始階段發(fā)展較快,隨著時間的推移,其推進(jìn)速度逐漸減緩,從而導(dǎo)致鋒面在相應(yīng)位置的持續(xù)時間較長,使得未凍區(qū)水分有充足的時間向鋒面位置遷移,水分積聚的現(xiàn)象愈加明顯,這也是大多數(shù)凍土工程產(chǎn)生破壞的主要原因。

圖3 不同時刻的溫度場及水分場分布

圖4 凍結(jié)鋒面位置隨時間的演化規(guī)律

4.2 初始含水量對水熱耦合演化規(guī)律影響

為研究土體初始含水量對水熱耦合作用機制的影響,在保持土體孔隙率不變的情況下,研究了冷端達(dá)到恒溫為T0=-5 ℃、初始體積含水量θw0分別為22%、25%、28%時,不同時刻土體溫度及體積含水量的變化規(guī)律。

圖5為不同初始含水量情況下不同時刻土體的溫度及體積含水量分布趨勢。由圖5可知,在相同時間內(nèi)初始體積含水量越高,其溫度下降速度越快,且隨著時間的推移,該差別愈發(fā)明顯。這主要是由于土體凍結(jié)過程中熱擴(kuò)散系數(shù)發(fā)生變化,在初始階段體積含水量為22%、25%、28%的土體的熱擴(kuò)散系數(shù)分別為1.92×10-7、2.03×10-7、2.15×10-7m2/s,由此可見,雖然熱擴(kuò)散系數(shù)隨初始含水量的增加而增大,但三者間的差距較小。隨著時間的推移,當(dāng)t=144 h時,三者在凍結(jié)區(qū)的熱擴(kuò)散系數(shù)分別為3.21×10-7、3.84×10-7、4.51×10-7m2/s,相比于初始階段其差異顯著增大,從而使得溫度場的發(fā)展趨勢也產(chǎn)生明顯不同。同時,在三種不同初始含水量的情況下,凍結(jié)區(qū)的體積含水量均明顯大于未凍區(qū),且隨著土體初始含水量的增加,凍結(jié)區(qū)的體積含水量增加更為顯著。當(dāng)t=144 h時,凍結(jié)區(qū)內(nèi)的平均體積含水量比初始階段分別增加了4.65%、6.20%、7.38%;而在未凍區(qū)則下降了3.68%、6.40%、9.47%。這主要是由于在外界條件以及土體孔隙率不變的情況下,凍結(jié)區(qū)未凍水和溫度間的關(guān)系特征曲線是唯一的,故土體初始體積含水量越大,凍結(jié)區(qū)內(nèi)其體積含水量偏離特征曲線的程度也越劇烈,水分場受到的影響也越顯著。

圖5 不同初始含水量情況下土體溫度場及水分場的分布

4.3 溫度梯度對水熱耦合演化規(guī)律影響

在保持土體孔隙率不變的情況下,初始體積含水量取為θw0=25%,冷源溫度T0分別取為-3、-5、-7 ℃時,計算土體在凍結(jié)過程中溫度場和水分場的演化情況,見圖6。由圖6可知,不同冷源溫度作用下,土體中溫度場的分布規(guī)律較為相似,且冷源溫度越低,土體溫度下降速度越快,凍結(jié)鋒面的發(fā)展速度也越快。同時,冷源溫度越高,土體凍結(jié)速度越慢,水分遷移過程也就更為充分,導(dǎo)致相同時間內(nèi)凍結(jié)區(qū)的平均體積含水量越高,其水分積聚現(xiàn)象越顯著,這與文獻(xiàn)[18]的試驗結(jié)果相一致。當(dāng)冷源溫度T0分別為-3、-5、-7 ℃時,凍結(jié)144 h后凍結(jié)區(qū)的平均體積含水量比初始時刻分別增加了8.12%、6.22%及5.27%,同時,凍結(jié)鋒面位置距離冷源分別為0.075、0.095、0.106 m。

4.4 冰阻抗對水熱耦合演化規(guī)律影響

在冷源作用下,土體內(nèi)部水分逐漸凍結(jié)成冰,進(jìn)而阻礙該區(qū)域的水分遷移。為此,針對考慮冰阻抗[I0=10(10θI)]和不考慮冰阻抗(I0=1)兩種情況,研究冷端達(dá)到恒溫T0=-5 ℃時、初始體積含水量分別為22%、25%、28%時,土體中溫度場及水分場的演化規(guī)律。

圖7為考慮冰阻抗與不考慮冰阻抗兩種情況下凍結(jié)144 h后土體溫度場及水分場的分布規(guī)律。由圖7可知,冰阻抗通過影響凍結(jié)鋒面處的溫度,進(jìn)而改變土體中的整體溫度分布,但溫度總體變化數(shù)值不大。這主要是由于冰阻抗的作用影響凍結(jié)鋒面附近的水分遷移,從而改變了土體的熱擴(kuò)散系數(shù),影響其溫度場的演化。在凍結(jié)144 h后,考慮阻抗作用和不考慮阻抗作用兩種情況下土體的熱擴(kuò)散系數(shù)分別為3.84×10-7、4.02×10-7m2/s,兩者的差別并不顯著,因此冰阻抗作用對溫度場的影響相對較小。對于水分場而言,無論是否考慮冰阻抗的影響,由于凍結(jié)區(qū)的未凍含水量較小,水分均由未凍區(qū)向凍結(jié)鋒面處遷移,從而導(dǎo)致該位置處的含水量顯著增加。如果不考慮冰阻抗影響,其凍結(jié)鋒面附近的水分遷移能力會增強,從而導(dǎo)致體積含水量有所增大,并對凍結(jié)鋒面位置產(chǎn)生一定影響。這主要是由于土體在凍結(jié)過程中其含冰量的積累,會使冰阻抗因子呈指數(shù)形式的增大,而水分?jǐn)U散系數(shù)則以相應(yīng)的形式減小,導(dǎo)致鋒面位置處的水分遷移嚴(yán)重受阻。

圖7 冰阻抗對土體溫度場及水分場的影響

5 結(jié)論

(1)針對計算模型進(jìn)行演化方程組解耦、凍結(jié)鋒面位置精細(xì)化處理的基礎(chǔ)上,采用土體凍結(jié)特征曲線改進(jìn)凍結(jié)區(qū)的未凍含水量,并引入總含水量優(yōu)化含冰量的計算,提出了一種新的水平凍結(jié)水熱耦合計算模型。由驗證實例可以看出,本文計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好,證明了該計算方法的準(zhǔn)確性和有效性。

(2)在土體孔隙率不變的情況下,土體初始含水量越大,其凍結(jié)區(qū)的體積含水量增加越顯著,同樣未凍區(qū)的含水量減少量也越大。當(dāng)初始體積含水量分別為22%、25%、28%時,土體凍結(jié)144 h后,凍結(jié)區(qū)內(nèi)的平均體積含水量比初始階段分別增加了4.65%、6.20%、7.38%,而在未凍區(qū)則下降了3.68%、6.40%、9.47%。

(3)在不同冷源溫度作用下,土體中溫度場的變化規(guī)律較為一致,但冷源溫度越低,土體溫度下降速度越快,凍結(jié)鋒面的發(fā)展速度也越快。同時,冷源溫度越高,土體凍結(jié)速度越慢,水分遷移過程也就越充分,相同時間內(nèi)凍結(jié)區(qū)的平均體積含水量越高,其水分積聚現(xiàn)象越顯著。當(dāng)冷源溫度分別為-3、-5、-7 ℃時,凍結(jié)144 h后凍結(jié)區(qū)的平均體積含水量比初始時刻分別增加了8.12%、6.22%、5.27%。

(4)冰阻抗通過影響凍結(jié)鋒面附近的水分遷移作用,而導(dǎo)致其體積含水量及熱擴(kuò)散系數(shù)發(fā)生變化,并對凍結(jié)鋒面位置產(chǎn)生一定影響。同時,冰阻抗對凍結(jié)鋒面附近的溫度影響最大,而對凍結(jié)區(qū)及未凍區(qū)的影響較小,但相比于含水量,冰阻抗對溫度場的影響并不顯著。