易平濤, 王勝男, 李偉偉, 王 露

(東北大學 工商管理學院,遼寧 沈陽 110167)

0 引言

多屬性決策[1]是多指標環(huán)境下多方案的選擇方法,在經(jīng)濟管理、政治、軍事、工業(yè),乃至醫(yī)藥衛(wèi)生等諸多領(lǐng)域廣為應用。近年來,受決策問題頻度、廣度需求日增及現(xiàn)代信息技術(shù)迅猛發(fā)展的內(nèi)外驅(qū)動,相較于經(jīng)典處理方式,新時期的多屬性決策問題呈現(xiàn)出復雜化、多樣化等信息特征。其中,考慮到?jīng)Q策過程中的不確定性、敏感性及決策者偏好等原因,以模糊信息形式為基礎(chǔ)的決策問題成為眾多學者關(guān)注的焦點。

考慮到隸屬度與非隸屬度之和大于1的情形,YAGER和ABBASOV[2]在直覺模糊集的基礎(chǔ)上進一步拓展,提出畢達哥拉斯模糊集(PFS),滿足條件為隸屬度與非隸屬度的平方和小于等于1,從而更清晰地刻畫出決策的不確定性本質(zhì)并確保屬性信息呈現(xiàn)的真實性。近年來,基于PFS的拓展性研究逐漸被重視。2019年,何霞等[3]提出PTFN及其集成算子,既有效地解決方案屬性值為直覺三角模糊數(shù)時可能存在隸屬度與非隸屬度之和大于等于1的情況,又進一步拓展了PFS的研究領(lǐng)域。PTFN是模糊數(shù)據(jù)的深度拓展,兼顧畢達哥拉斯模糊集與直覺三角模糊集的優(yōu)勢,為復雜不確定決策情景提供一種新的量化形式。(1)但目前PTFN在決策領(lǐng)域的應用極少,且在PTFN集結(jié)過程中沒有考慮數(shù)據(jù)的分布特征,較難適應更復雜的決策環(huán)境。

在信息集結(jié)過程中,常借助于數(shù)據(jù)的疏密程度對數(shù)據(jù)進行聚類,進而刻畫數(shù)據(jù)間的分布結(jié)構(gòu)特征?；诖?易平濤等[4]考慮屬性信息分布的疏密關(guān)系,構(gòu)造出密度中間(DM)算子,從而實現(xiàn)數(shù)據(jù)在信息結(jié)構(gòu)上的二次柔性集結(jié)。近年來對于DM算子的拓展研究逐漸深入[5-7]。DM算子充分考慮屬性信息分布的疏密,有效增強信息集結(jié)過程的準確性。(2)但目前DM算子的研究大多聚焦于普通的評價環(huán)境,依托的數(shù)據(jù)類型多為精確值、語言信息或基礎(chǔ)的模糊數(shù)[8-12],未有研究運用DM算子解決畢達哥拉斯三角模糊決策問題。

基于以上兩點局限性,本文對屬性信息為PTFN的多屬性決策問題進行探索,考慮數(shù)據(jù)信息分布的疏密關(guān)系,構(gòu)建出一種新的PTF-DM算子,并參考了CABLES等[13]研究中模糊參考理想法(FRIM)的基本思想以及得分函數(shù)實現(xiàn)數(shù)據(jù)的有效聚類和最終排序。PTF-DM算子是在信息表達及信息集成方向上的有效拓展,既實現(xiàn)多屬性決策中模糊數(shù)據(jù)類型的深度細化,又考慮數(shù)據(jù)信息分布的不均勻問題,能夠有效應對多屬性決策問題中逐漸模糊化及復雜化的決策環(huán)境。

1 相關(guān)概念介紹

(1)

記非隸屬函數(shù)為v(x):X→[0,1],有

(2)

(3)

2 畢達哥拉斯三角模糊數(shù)的聚類

2016年,學者CABLES等[14]首次提出參考理想法(Reference Ideal Method,RIM),隨后,一些學者開展相關(guān)拓展研究。2018年,CABLES等[13]將RIM拓展到模糊領(lǐng)域,提出模糊參考理想法(Fuzzy Reference Ideal Method,FRIM),并將FRIM法應用到以PFN為屬性信息的決策問題中。2020年,SANCHEZ-LOZANO和RODRIGUEZ[15]將FRIM法應用到屬性值為三角模糊數(shù)(TFN)的軍用訓練機優(yōu)選中,為該研究領(lǐng)域提供新的決策方法。由于PTFN是TFN的推廣并符合PFN的性質(zhì),因此,基于FRIM法的部分思想實現(xiàn)PTFN的聚類。根據(jù)CABLES等[13]、SANCHEZ-LOZANO和RODRIGUEZ[15]的研究,現(xiàn)給出畢達哥拉斯三角模糊數(shù)的距離與估值矩陣的相關(guān)定義。

(4)

(5)

(6)

其中,P,Q,M,N∈PTFNs,IRj=[P,Q]表示參考理想?yún)^(qū)間,Rj=[M,N]表示取值范圍,且滿足[P,Q]?[M,N]。

歸一化的估值矩陣為

針對一維數(shù)據(jù)聚類問題,CABLES等[14]提出一種聚類方法——有序增量分割法。該法根據(jù)數(shù)據(jù)增量以及間隔的疏密來實現(xiàn)數(shù)據(jù)的最終聚類。

3 畢達哥拉斯三角模糊數(shù)密度算子

3.1 基本定義

(7)

(8)

將PTF-DWA算子與PTF-DWGA算子統(tǒng)稱作畢達哥拉斯三角模糊數(shù)密度算子,記PTF-DM算子,與其他密度算子類似,PTF-DM算子滿足冪等性、置換性、有界性、單調(diào)性等性質(zhì)[9]。它可與WA,WAA,OWA,AA,Min,Max等算子結(jié)合構(gòu)建合成算子,下面以WAA算子為例,構(gòu)建相應的密度合成算子。

定義9設(shè)PTF-DWAWAA:Rn→R,稱PTF-DWAWAA算子為畢達哥拉斯三角模糊數(shù)密度加權(quán)平均算子:

(9)

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3.2 密度權(quán)重的確定

定義10[4]令ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)T為密度加權(quán)向量,則有

(11)

密度權(quán)重有趨同性、趨極性與趨中性之分,本文依據(jù)易平濤等[4]的“組間同性”(Ts(ξ))測度方法與熵值法求解密度權(quán)重,規(guī)劃模型如下:

(12)

4 應用算例

某家風險投資公司需要在6家制造型企業(yè)Ci(i=1,2,…,6)中選擇一家進行投資,且在進行企業(yè)優(yōu)選時需考慮6個因素,分別為創(chuàng)新能力(f1)、技術(shù)基礎(chǔ)(f2)、產(chǎn)品質(zhì)量(f3)、服務品質(zhì)(f4)、成長背景(f5)、綠色生態(tài)(f6)。假設(shè)制造型企業(yè)Ci(i=1,2,…,6)關(guān)于屬性fj(j=1,2,…,6)的綜合值取值為PTFN,相關(guān)決策信息見表1,如<(4.3,6.5,8.4),0.7,0.3>表示制造型企業(yè)C1相對于技術(shù)基礎(chǔ)(f2)方面的得分為6.5,且最大滿意度為0.7,而最小不滿意度為0.3。假設(shè)6家制造型企業(yè)中各屬性的最高分值是10分,且屬性權(quán)重向量為w1=(0.1,0.3,0.1,0.2,0.1,0.2)T(計算結(jié)果保留三位小數(shù))。

表1 PTFN相關(guān)決策信息

下面給出PTF-DM算子的具體計算步驟:

(1)聚類PTFN決策信息

由表1的信息可得出各屬性取值范圍(R),參考理想?yún)^(qū)間(IR)可由決策者(即風險投資公司)根據(jù)決策需要或?qū)傩蕴攸c以及取值范圍給出,具體結(jié)果見表2及表3。

表2 各屬性取值范圍(R)

表3 各屬性參考理想?yún)^(qū)間(IF)

首先,通過式(3)-式(6)計算出各備選企業(yè)各屬性的畢達哥拉斯三角模糊數(shù),得到歸一化處理后的估值矩陣Y:

根據(jù)有序增量分割法,取m=3,實現(xiàn)各備選企業(yè)屬性的聚類,得到的結(jié)果分別為:

企業(yè)C1:A1={f2,f3,f6},A2={f1,f4},A3={f5};

企業(yè)C2:A1={f2,f3,f6},A2={f5,f4},A3={f1};

企業(yè)C3:A1={f2,f3,f6},A2={f1,f4},A3={f5};

企業(yè)C4:A1={f1,f4,f6},A2={f3,f5},A3={f2};

企業(yè)C5:A1={f1,f4,f5},A2={f2,f6},A3={f3};

企業(yè)C6:A1={f1,f2,f4},A2={f5,f6},A3={f3}。

(2)確定密度權(quán)重

為體現(xiàn)密度權(quán)重(即決策者對信息分布的偏好)對企業(yè)最終排序結(jié)果的影響,給定“組間同性”測度的不同取值,根據(jù)式(12)的規(guī)劃模型計算出不同取值下的密度權(quán)重,詳見表4。

表4 不同“組間同性”測度取值下的密度權(quán)重

(3)集結(jié)決策信息

計算不同“組間同性”測度下的各企業(yè)最終評價值并得到最終排序結(jié)果,詳見表5。同時,圖1反映了在不同“組間同性”測度(決策者的信息偏好)下,各企業(yè)最終評價值的變化趨勢。從表5和圖1中可以得出結(jié)論:Ts(ξ)取值的不同(即密度權(quán)重的不同)會對企業(yè)評價值產(chǎn)生影響并最終影響排序結(jié)果,這進一步表明考慮決策者信息分布偏好對企業(yè)優(yōu)選具有重要作用。

圖1 不同“組間同性”測度下各企業(yè)最終評價值的變化

表5 不同“組間同性”測度下各企業(yè)最終評價值及排序結(jié)果

分別以PTF-DWAWAA,PTF-DWGAWAA,PTF-DWAOWA和PTF-DWGAOWA算子為例,假定決策者偏好群體共識,給出“組間同性”測度Ts(ξ)=0.7,通過PTF-DM算子計算出各企業(yè)Ci(i=1,2,…,6)最終評價值和排序結(jié)果,如表6所示(PTF-DWAOWA和PTF-DWGAOWA算子中決策信息的位置權(quán)重隨機生成,取w2=(0.1678,0.1485,0.1987,0.1892,0.1533,0.1425)T。

表6 考慮信息分布疏密的各企業(yè)最終評價值及排序結(jié)果

由表6可得出如下結(jié)論:4種密度算子中有3種密度算子得到的最優(yōu)企業(yè)均為C2(PTF-DWGAOWA算子中最優(yōu)企業(yè)為C6),這表明PTF-DM算子具有很好的穩(wěn)定性。通常情況下,PTF-DWA算子的最終集結(jié)值大于PTF-DWGA算子的最終集結(jié)值,PTF-DM算子可以有效地應用于多屬性決策中,且決策者可根據(jù)自身偏好自由選擇相應的集結(jié)方法。

(4)PTF-DM算子與PTF集成算子的對比分析

為進一步驗證PTF-DM算子的有效性,選擇與何霞等[3]研究中提出的三種畢達哥拉斯三角模糊數(shù)集成算子(即畢達哥拉斯三角模糊數(shù)加權(quán)平均(PTF-WAA)算子、畢達哥拉斯三角模糊加權(quán)幾何平均(PTF-WGA)算子與畢達哥拉斯三角模糊有序加權(quán)平均(PTF-OWA)算子)作對比研究,得到的最終評價值與排序結(jié)果如表7所示,同時圖2反映了不同集結(jié)方法下各企業(yè)排序結(jié)果的變化趨勢。

圖2 不同集結(jié)算子下各企業(yè)最終評價值的變化

表7 不考慮信息分布疏密的各企業(yè)最終評價值及排序結(jié)果

從表7中可以看出,在運用上述3種經(jīng)典算子實現(xiàn)信息集結(jié)時,最優(yōu)企業(yè)均為C6,與表6中運用4種密度算子得到的最優(yōu)企業(yè)(C2)不同,且整體排序結(jié)果有較大程度的波動。各企業(yè)整體排序結(jié)果有波動的關(guān)鍵原因在于密度算子實現(xiàn)了信息的二次集結(jié),集結(jié)過程中受密度權(quán)重等要素影響使得評價值發(fā)生變動,進而影響排序結(jié)果。

從圖2中可以觀察出每家企業(yè)在不同集結(jié)算子下的最終評價值及其變化趨勢,即各企業(yè)的最終評價值在3種經(jīng)典算子中產(chǎn)生小范圍波動,而在4種密度算子中變化明顯。最終評價值變化明顯的主要原因在于密度算子注重決策者對群體信息分布的偏好。決策者偏好確實可以影響最終的集結(jié)結(jié)果,因此考慮信息分布的疏密程度十分必要。

5 結(jié)論

畢達哥拉斯模糊集與密度信息集結(jié)是對信息表達及信息集成理念的新發(fā)展,本文是對二者的深度融合性研究。針對屬性信息為PTFN的多屬性決策問題,考慮到屬性信息分布的疏密關(guān)系,提出PTF-DM算子并詳細探討其運用方法。具體而言,基于模糊參考理想法(FRIM法)的思想與得分函數(shù),實現(xiàn)對PTFN的有效聚類,并運用熵值法建立規(guī)劃模型確定密度權(quán)重。將PTF-DM算子與經(jīng)典信息集結(jié)算子結(jié)合,構(gòu)建出面向不同情境的具體集結(jié)算子,從而大幅拓展決策工具的選擇空間。進一步的研究可從群體、時序背景切入,考慮立體信息結(jié)構(gòu)下的多屬性決策問題展開,實現(xiàn)對泛條件下的信息表達與集結(jié)研究。