孫衛(wèi)華

在平面幾何中，有許多基本圖形，我們稱之為基本模型. 同學(xué)們解題時(shí)若能發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造基本模型，并靈活運(yùn)用基本模型的有關(guān)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，往往會(huì)事半功倍.

模型解讀

三個(gè)直角的頂點(diǎn)落在同一條直線上的圖形，被稱為“一線三直角”基本模型. 它的常見形式有兩種：一是兩直角三角形在直線的同側(cè)，如圖1（又稱“K”字型）；二是兩直角三角形在直線的兩側(cè)，如圖2.

在圖1和圖2中，∠ACB = ∠AEC = ∠BDC = 90°，若AC = CB（或AE = CD或EC = DB），則△AEC ≌ △CDB.? 這兩個(gè)圖形分別在人教版教材第52頁(yè)和第56頁(yè)出現(xiàn)過(guò).

在較復(fù)雜的圖形中，若能尋找或構(gòu)造出“一線三直角”全等模型，則可迅速找到解決問(wèn)題的路徑.

模型應(yīng)用

變式1 將模型中的全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段和差關(guān)系.

例1 如圖3，已知四邊形ABCD是正方形，G為線段AD上任意一點(diǎn)，CE⊥BG于點(diǎn)E，DF⊥CE于點(diǎn)F. 求證：DF = BE + EF.

解析：[∵]四邊形[ABCD]是正方形，[∴BC=CD]，[∠BCD=90°]，

[∴∠BCE+∠DCF=90°].

[∵]CE[⊥]BG，DF[⊥]CE，[∴∠BEC=∠CFD=90°]，[∴∠BCE+∠CBE=90°]，

[∴∠CBE=∠DCF]，[∴△BCE≌△CDF（AAS）]，[∴BE=CF，CE=DF]，

[∴CE=CF+EF=BE+EF]，[∴DF=BE+EF].

反思：由圖2迅速找到圖3中“一線三直角”全等模型是解題關(guān)鍵.

變式2 將模型中的全等三角形對(duì)應(yīng)線段相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的確定.

例2 如圖4，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是___________.

解析：過(guò)點(diǎn)A，B分別作AD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠ADC = ∠ACB = ∠BEC = 90°. 由基本模型圖1可知圖4中△ADC≌△CEB，所以AD = CE，CD = BE. 又因?yàn)辄c(diǎn)C（-2，0），點(diǎn)A（-6，3），所以AD = 3，CD = 6 - 2 = 4，所以BE = 4，CE = 3，所以O(shè)E = 3 - 2 = 1，所以B的坐標(biāo)為（1，4）. 故應(yīng)填（1，4）.

反思：受基本模型圖1的啟發(fā)，添加輔助線，找到圖4中“一線三直角”全等模型是解題的關(guān)鍵.

變式3 將三個(gè)直角的頂點(diǎn)落在同一條直線上，并將部分直角隱去.

例3 如圖5，在四邊形ABCD中，∠B = 90°，AD[?]BC，△CDC′是等腰直角三角形，∠CDC′= 90°. 若AD = 2，△ADC′的面積等于3，求BC的長(zhǎng).

解析：盡管圖5中看上去沒(méi)有“一線三直角”模型，但受圖1的啟發(fā)，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C′作C′F⊥EF于點(diǎn)F，就出現(xiàn)了“一線三直角”模型，由上述模型可知△CDE≌△DC'F，所以CE = DF. 又因?yàn)锳D = 2，△ADC′的面積等于3，所以DF = 3，所以CE = DF = 3，所以BC = BE + CE = 2 + 3 = 5.

反思：這里沒(méi)有“一線三直角”模型的影子，但受基本模型的啟發(fā)，可以“無(wú)中生有”地創(chuàng)新使用模型.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：10分鐘

如圖6①所示，已知A，B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，分別以AC，BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過(guò)點(diǎn)D作DD1⊥l于點(diǎn)D1，過(guò)點(diǎn)E作EE1⊥l于點(diǎn)E1. （1）如圖6②，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)（此時(shí)E1與E重合），試說(shuō)明DD1 = AB；（2）在圖6①中，當(dāng)D，E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段DD1，EE1，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖6③，當(dāng)點(diǎn)E在直線l的下方時(shí)，請(qǐng)寫出三條線段DD1，EE1，AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由. （答案見第37頁(yè)）

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)城西實(shí)驗(yàn)學(xué)校）