文/許燕
圓是一種“完美”的圖形,其完美性不僅體現(xiàn)在它既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,還體現(xiàn)在它的旋轉(zhuǎn)不變性。由圓的對(duì)稱性引出了許多重要的定理,為本章的計(jì)算與證明提供了依據(jù)。下面,我們將通過一組典型例題,和大家共同探討圓中有關(guān)問題的解題策略。
例1如圖1,在Rt△ACB中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,將Rt△ABC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△AED,則BC掃過的面積為_____。
圖1
【解析】∵在Rt△ACB中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AB=4,AC=。
∴BC掃過的面積:
【策略方法】我們要理解弧長、扇形面積、圓柱面積、圓錐面積的推導(dǎo)過程,并學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題,通過轉(zhuǎn)化思想,將復(fù)雜圖形進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化。
例2把球放在長方體紙盒內(nèi),球的一部分露出盒外,其截面如圖2,已知EF=CD=8cm,則球的半徑長是( )。
圖2
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【解析】設(shè)圓心為O,過點(diǎn)O作ON⊥AD于點(diǎn)N,延長NO,交CB于點(diǎn)M,連接OF,如圖3。
圖3
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°。
∴四邊形CDNM是矩形。
∴MN=CD=8。
設(shè)OF=x,則OM=OF,
∴ON=MN-OM=8-x,NF=EN=4。
在Rt△ONF中,ON2+NF2=OF2,即(8-x)2+42=x2,解得x=5。故選B。
【策略方法】由圓的對(duì)稱性能引出許多重要的定理和推論,這些性質(zhì)在計(jì)算和證明等方面有廣泛的應(yīng)用。一般來說,我們可以通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來解決問題。
例3如圖4,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,AB=13cm,將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得△DEC,直線AD、EB相交于點(diǎn)F。取BC的中點(diǎn)G,連接GF,則GF的最大值為_____cm。
圖4
【解析】本題中因點(diǎn)D和點(diǎn)E的位置不確定,故直線AD、EB的交點(diǎn)F的位置也不確定。但經(jīng)分析可知,直線AD、EB相交所形成的∠AFB為定值90°(證明略)。如圖5,在Rt△AFB中,取斜邊AB的中點(diǎn)O,則。由圓的概念可知,到定點(diǎn)的距離為定長的點(diǎn)在圓上,從而可得出動(dòng)點(diǎn)F的軌跡為以AB為直徑的圓。當(dāng)O、G、F三點(diǎn)共線時(shí),GF可取最值。如圖5,點(diǎn)F′即為GF取最大值時(shí)點(diǎn)F的位置,最大值為9。
圖5
【策略方法】本題涉及圖形的運(yùn)動(dòng),我們解決此類問題時(shí)要學(xué)會(huì)從“變化”中尋找“不變”,探尋動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中所形成的軌跡是解決問題的關(guān)鍵。