劉瑩瑩
【摘要】同類項是整式加減的重要概念,合并同類項的法則很簡單,但它與其他知識結(jié)合后,可以變化出很多數(shù)學(xué)問題.結(jié)合幾個典例,從四個不同的側(cè)面加深學(xué)生對合并同類項的理解和掌握,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,分析與解決問題的能力.
【關(guān)鍵詞】合并同類項;創(chuàng)新意識
同類項是整式加減的重要概念,必須把握兩個相同:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指數(shù)也相同.在進行整式加減時,只有同類項才能合并,不是同類項不能合并.合并同類項實際上是逆用乘法的分配律,當(dāng)單項式中所含字母相同且相同字母的指數(shù)與相同時,稱這些項為同類項,所以同類項中的每一項都是系數(shù)與另一個相同因數(shù)的積,合并時,將這個相同因數(shù)提到括號外面,只將系數(shù)相加減.關(guān)于合并同類項,以下幾道題值得我們細(xì)細(xì)品味.
1 隱藏型
數(shù)學(xué)問題中的隱含條件是相對于明顯條件來說的,是指在已知條件沒有明確指出,而對解答問題又是關(guān)鍵點的條件,一些學(xué)生就是由于它的原因造成解題困惑或失誤,失去一些分?jǐn)?shù),我們要善于將各種形式的數(shù)學(xué)語言進行轉(zhuǎn)化,就會使隱含條件逐步顯示出來.隱藏型的合并同類項是指題中并沒有說合并同類項,而經(jīng)過分析后發(fā)現(xiàn)它們就是合并同類項.
例1 若單項式mxn+1y2m+5與x3y的和為單項式,求m-n的值.
分析 單項式mxn+1y2m+5與x3y的和為單項式,說明這兩個單項式可以合并為一項,因為只有同類項才能合并,所以mxn+1y2m+5與x3y是同類項,再由同類項式的定義可求得m、n的值,從而求得m-n的值.
解 由題意得:mxn+1y2m+5與x3y是同類項,所以n+1=3,2m+5=1,解得n=2,m=-2,所以m-n=-4.
點評 如果兩個單項式的和或差是單項式,那么這兩個單項式是同類項.然后根據(jù)同類項的概念,建立關(guān)于所求字母的方程,解方程可以得到所求字母的值.在利用同類項的概念解決問題時,不要受系數(shù)的干擾,只要抓住兩個相同就行了.
2 開放型
開放型數(shù)學(xué)問題是相對于封閉型數(shù)學(xué)問題來說的,它包括以下三種形式:一是條件開放;二是結(jié)論開放;三是條件與結(jié)論都開放.開放型問題能提高同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性,給學(xué)生留下較多的思考空間,要求學(xué)生必須發(fā)散思維,有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識.使學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)有一種新的領(lǐng)悟,從而與老師一起參與到做數(shù)學(xué)中來.下面就例舉一道這樣的數(shù)學(xué)問題.
例2 寫一個多項式,使其至少含有四項,且合并同類項后的結(jié)果為2x2y-xy2.
分析 這是一道條件開放的試題,要求我們逆向思維,因為結(jié)果中含有兩個不同類的項:2x2y,-xy2,所以設(shè)計的多項式中必須有幾項與2x2y是同類項,也有幾項與-xy2是同類項,且合并的結(jié)果分別為2x2y,-xy2.
解 答案不唯一,如:5x2y-3x2y+2xy2-3xy2;-x2y+3x2y-4xy2+3xy2等.
點評 本題是一道條件開放的數(shù)學(xué)問題,即將結(jié)果給出,而將原題空出來,給了學(xué)生較大的思考空間,使學(xué)生學(xué)會逆向思考,尋找結(jié)果的來源.無論是已知多項式要求合并同類項,還是求作多項式以實現(xiàn)合并同類項,都需要把握住合并同類項的兩個關(guān)鍵點:①只把系數(shù)相加,②字母和字母的指數(shù)不變.
3 遷移型
學(xué)習(xí)總離不開知識的遷移,學(xué)習(xí)新知識要受舊知識的影響,因為學(xué)習(xí)是主動地建立自己的知識結(jié)構(gòu),他總會根據(jù)自己的經(jīng)驗、知識、技能與習(xí)慣,對新知識進行自主地選擇和消化吸收,從而獲得自己的認(rèn)識.所以知識間不產(chǎn)生相互影響的學(xué)習(xí)是不存在的,利用知識間的相同點,對另一知識的學(xué)習(xí)起積極促進作用,這種遷移就是正遷移,在學(xué)習(xí)整式加減的過程中,正需要這種遷移.
例3 若2x+3y=-3/2,求多項式2(2x+3y)2-3(2x+3y)+6(2x+3y)2-2(2x+3y)的值.
分析 在所求多項式的每一項中,2x+3y始終作為一個整體出現(xiàn),2x與3y并沒分開,所以可以把2x+3y作為一個整體,看成一個字母,這樣2(2x+3y)2與6(2x+3y)2是同類項,-3(2x+3y)與-2(2x+3y)是同類項,然后就可以合并同類項.
解 原式=8(2x+3y)2-5(2x+3y).
當(dāng)2x+3y=-3/2時,
原式=8×(-3/2)2-5×(-3/2)=25?.
點評 2(2x+3y)2+6(2x+3y)2=8(2x+3y)2類同于2a2+6a2=8a2,這需要我們對同類項知識形成自然遷移.在整式的加減運算中,如果某個多項式多次重復(fù)出現(xiàn),在解答時就把它看成一個整體,不能分開,這就是數(shù)學(xué)中的整體處理思想.
4 說理型
“逐步培養(yǎng)學(xué)生能夠有條理有根據(jù)地進行思考,比較完整地敘述思考過程,說明理由.”這是新課標(biāo)的要求,說理型問題考查了同學(xué)們的創(chuàng)新能力,探索思辨能力,漸成現(xiàn)行中考的熱點命題.中考的說理型問題包括解題過程或思路說理型,評價優(yōu)劣說理型,確定最值說理型,以及存在性的說理型等.在整式加減的學(xué)習(xí)中也有這樣的說理型問題.
例4 有這樣一道題:“當(dāng)x=2013,y=-1時,計算2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3的值”有人指出,題目中給出的條件x=2013是多余的,這種說法有道理嗎?為什么?
分析 要知道條件x=2013是否是多余的,就要先合并同類項,看最后的結(jié)果是否有含x的項,只有當(dāng)結(jié)果中不含x的項,條件x=2013才是多余的.
解 原式=(2x3-x3-x3)+(-3x2y+3x2y)+(-2xy2+2xy2)+(-y3-y3)=-2y3.
因為結(jié)果中不含x的項,所以條件x=2013是多余的.
點評 對于計算型說理題,應(yīng)先化簡計算,然后對化簡后的結(jié)果進行分析說理.如例題中,問x=2013這個條件是否是多余的?我們首先對多項式進行化簡,發(fā)現(xiàn)化簡后的結(jié)果不含x的項,因此題目中給出的條件x=2013是多余的.
合并同類項的法則很簡單,但它與其他知識結(jié)合后,可以變化出很多數(shù)學(xué)問題,這些數(shù)學(xué)問題或隱藏,或開放,或需要知識遷移,或需要說明道理,它們都從不同的側(cè)面加深了對合并同類項的理解和掌握,培養(yǎng)了同學(xué)們的創(chuàng)新意識,表達(dá)能力,分析與解決問題的技能,其實,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)知識本身是一方面,另一方面也在培養(yǎng)我們的各種品質(zhì).
參考文獻:
[1]王俊.“合并同類項與移項”初試鋒芒[J].中學(xué)生數(shù)理化(七年級數(shù)學(xué))(配合人教社教材),2022,No.1319(11):22-23+31.
[2]過小明.“整式的加減”復(fù)習(xí)攻略[J].中學(xué)生數(shù)理化(七年級數(shù)學(xué))(配合人教社教材),2022,No.1282,No.1283(Z1):46-49.