丁 晨

(海寧市高級中學,浙江 海寧 314400)

解析幾何題是全國數(shù)學高考卷和以往浙江數(shù)學高考每年必考的題型,選擇題、填空題和解答題中都有考查解析幾何知識點的題目,難度從中等到較難．其中選擇題、填空題以考查圓錐曲線等平面圖形的幾何性質(zhì)為主,學生的解題以小題小做為原則,講究通性通法,探尋幾何關(guān)系．圓錐曲線與多個三角形組合的解析幾何問題在高考中頻繁出現(xiàn),這類問題通常具有相對復(fù)雜的幾何性質(zhì),學生很難抓住幾何關(guān)系進行求解．下面筆者以2023年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第16題和往年高考、高中學業(yè)水平考試(以下簡稱“學考”)等解析幾何選擇題、填空題為例,幫助學生厘清知識要點,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),找尋思考路徑,跨越思維障礙．

臭氧濃度及產(chǎn)量是評價一臺臭氧發(fā)生器性能的重要指標之一。在額定流量為62m3/h（標準狀態(tài)下）的條件下，隨著臭氧功率的增加，臭氧濃度由80.9mg/L逐漸上升至135.4mg/L，與此同時，臭氧的產(chǎn)量從5.0kg/h上漲至8.4kg/h，說明臭氧發(fā)生器功率對臭氧濃度及產(chǎn)量具有顯著的影響。這主要是由于臭氧的產(chǎn)生是利用交變高壓電場使含氧氣體產(chǎn)生電暈放電，電暈中的高能自由電子離解氧分子并聚合生成臭氧分子，因此，在流量一定時，臭氧的濃度及產(chǎn)量與臭氧發(fā)生器的功率基本上呈現(xiàn)為正相關(guān)。

(2023年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第16題)

審題分析 首先根據(jù)題目條件作出圖象(如圖1),發(fā)現(xiàn)圖中除了雙曲線之外,還有3個三角形,分別為Rt△ABF1、等腰△BF1F2和焦點△AF1F2．直角三角形與勾股定理相關(guān),焦點三角形的邊長與雙曲線定義中的a,c相關(guān)．

圖1

解題思路 根據(jù)題目條件,先設(shè)F2A的長度,然后表示出F2B,F1B的長度,根據(jù)勾股定理計算出F1A的長度,應(yīng)用雙曲線定義可把圖中的線段F2A,F2B,F1A,F1B,F1F2全部表示為含a,c的表達式,最后應(yīng)用余弦定理等建立a,c之間的關(guān)系式,求得雙曲線離心率．

|F2B|=|F1B|=3m,

則

|AB|=5m.

|F1B|2+|F1A|2=|AB|2,

故

|F1A|=4m.

應(yīng)用雙曲線定義|F1A|-|F2A|=2a,可知

4m-2m=2a,

即

a=m,

亦即

|F2B|=|F1B|=3a.

在△F1BF2中,應(yīng)用余弦定理得

在Rt△ABF1中,

從而

從而

即

在利用多個三角形建立等量關(guān)系時,還可以用如下方法:

從而

在Rt△ABF1中,

因為cos∠F1AF2=cos∠F1AB,所以

從而

故

解法分支2 在△F1AF2中,應(yīng)用余弦定理得

在Rt△BF2O中,

因為cos∠AF2F1=-cos∠BF2O,所以

從而

一是加強政府監(jiān)管。強化對工程建設(shè)全過程的質(zhì)量安全監(jiān)管，加強對關(guān)鍵工序和主要分部分項工程的驗收環(huán)節(jié)的監(jiān)督檢查；加強對監(jiān)理單位的履職情況的檢查，充分發(fā)揮監(jiān)理單位在質(zhì)量控制中的作用；加強對工程質(zhì)量檢測管理，嚴抓建筑材料和實體結(jié)構(gòu)的取樣、送樣檢測等環(huán)節(jié)的真實性，嚴厲打擊出具虛假報告等行為。

即

解題反思 此題緊緊圍繞與雙曲線相關(guān)的幾個特殊三角形的幾何性質(zhì),涉及雙曲線的定義、三角形的邊角關(guān)系及它們之間的聯(lián)系,一般應(yīng)用的知識點是圓錐曲線定義、勾股定理、余弦定理等三角函數(shù)知識[1].計算過程抓住變量的個數(shù)與等量關(guān)系的個數(shù),通過合理的消元達到最終的求解目標．考查學生根據(jù)題意的作圖能力和幾何條件之間的轉(zhuǎn)換能力,還需要一定的數(shù)學運算素養(yǎng)．

針對目前的市場形勢，國內(nèi)出現(xiàn)了兩種CDM開發(fā)模式。一是先簽訂減排量購買協(xié)議，由買家承擔前期開發(fā)成本和風險的雙邊模式。二是由業(yè)主承擔前期開發(fā)成本和風險、待項目注冊成功后再尋找買家的單邊模式。

圓錐曲線和多個三角形組合的解析幾何選擇題、填空題在歷年的高考、學考中屢次出現(xiàn).接著再看幾道例題．

例2 已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過點F2的直線與C交于點A,B．若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為

( )

(2019年全國數(shù)學高考Ⅰ卷理科試題第10題)

審題分析 首先根據(jù)題目條件作出圖象(如圖2),發(fā)現(xiàn)圖中除了橢圓之外還有3個三角形,分別為等腰△ABF1、焦點△AF1F2,△BF1F2,這些三角形的邊、角都與橢圓的a,c(其中a為橢圓長軸長的一半,c為焦距的一半)相關(guān)[2]．

第二個關(guān)鍵點就是將傳統(tǒng)電視媒體與新媒體之間進行有機結(jié)合。因為電視媒體的播出時間方面有著較大的限制，在網(wǎng)絡(luò)之中進行直播也要按照預(yù)先設(shè)定的時間，但是當下人民群眾的整體生活節(jié)奏越來越快，正因如此固定時間播出的方法很難被人們所接受。而從新媒體的角度來看，其在播出方面不會受到時間因素以及空間因素的制約，能夠以相當快的速度完成信息的傳播。在此基礎(chǔ)之上電視媒體可以通過開通公眾平臺的方式，首先將新聞信息通過較為便捷的方式傳遞給觀眾，預(yù)先將新聞的重點告知觀眾，通過這種方式達到吸引觀眾注意力的效果，而且在這樣的背景之下負責電視節(jié)目采編工作的相關(guān)工作人員一定要在第一時間掌握信息，并且確保信息的準確度。

圖2

解題思路1 根據(jù)題目條件,先設(shè)F2A的長度,表示出F2B,F1B的長度,應(yīng)用橢圓定義可把圖中F2A,F2B,F1A,F1B,F1F2全部表示為含a,c的表達式,最后應(yīng)用余弦定理等建立a,c之間的關(guān)系式,求得橢圓的方程．

解法1 令|AF2|=2|F2B|=2m,則

|BF1|=3m.

由橢圓的定義,得

|BF1|+|BF2|=4m=|AF1|+|AF2|,

2.2 CU檢測和RT-3DE檢測結(jié)果中RAA、RVDd、ΔIVC比較 RT-3DE檢測結(jié)果中RAA、RVDd值明顯高于CU檢測結(jié)果，ΔIVC值明顯低于CU檢測結(jié)果，組間比較差異有統(tǒng)計學意義(P<0.05)，RT-3DE測量數(shù)據(jù)的變化幅度更明顯，見表2。

因為cos∠F1BF2=cos∠F1BA,所以

|AF1|=2m,

解法1 因為AP∥BF,由對稱性可知直線AP過左焦點F1,則

|AF1|=|AF2|=2m=a,

在△AF1F2和△ABF1中,

因為cos∠F1AF2=cos∠F1AB,所以

解題思路1 根據(jù)題目條件知AF,BF,AF1,BP,BF1的長度都為a.設(shè)PF1的長度為2x,應(yīng)用橢圓定義可知FP的長度.在△BPF1,△AFF1,△APF中,分別用a,c,x表示3個相等的cos∠BPF1,cos∠F1AF,cos∠PAF,3個參數(shù)建立兩個等量關(guān)系,消去x即可得到a,c之間的關(guān)系,進而求得橢圓的離心率．

從而

解題反思 此題是以橢圓為基礎(chǔ)的解析幾何問題,這里出現(xiàn)的3個三角形都很特殊,具有較為明顯的幾何特征,解題思路圍繞橢圓定義和余弦定理等應(yīng)用．

( )

(2010年浙江省數(shù)學高考文科試題第10題)

審題分析 首先根據(jù)題目條件作出圖象(如圖3),圖中除了雙曲線之外還有一個焦點△PF1F2和它的一條中線.如果把中線倍長后可以得到另一個△PF2Q,它的其中一個角大小為120°,3條邊長都與a有關(guān),最終這兩個三角形的邊、角都與雙曲線的a,c相關(guān)[3]．

圖3

解題思路 設(shè)PF1和PF2的長度分別為m和n,二者之差為2a.在焦點△PF1F2中應(yīng)用余弦定理可以得到a,c,m,n之間的關(guān)系;倍長中線PO后得到△PF2Q,應(yīng)用余弦定理可以得到a,m,n之間的關(guān)系;消去m,n可得a,c之間的關(guān)系,應(yīng)用c2=a2+b2得到a,b之間的關(guān)系,求得雙曲線的漸近線方程．

解 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,

采用統(tǒng)計學SPSS22.0軟件進行數(shù)據(jù)處理。卡方用以檢驗計數(shù)資料，t值用以檢驗計量資料，經(jīng)P值判定組間差異，以P＜0.05具有統(tǒng)計學意義。

那老人臉一沉，說道：“你對他到底是真好還是假好，為什么連自己的身份來歷也不跟他說？說是假好吧，為什么偷了爺爺二十年陳紹給他喝不算，接連幾天晚上，將爺爺留作救命之用的‘玄冰碧火酒’，也拿去灌在這小子的口里？”

無論是對女司機肇事的特別關(guān)注，還是對整個女司機群體的調(diào)侃，即使夠不上性別歧視，也是一種與實際情況不符的不公。不僅這樣的說法不僅沒有大數(shù)據(jù)的支撐，且許多數(shù)據(jù)還證明，無論是肇事的絕對量、相對量，還是事故的慘烈程度，男司機都遠高于女司機。10月29日《中國青年報》的一篇報道披露，2016年男司機發(fā)生的交通事故與女司機相比，杭州市是6倍，南京市是2.4倍，而女司機肇事致人死亡數(shù)僅為男司機的五十分之一。其他數(shù)據(jù)也證明，交通肇事者中的男女比例明顯高于司機中的男女比例。

遂行食管調(diào)搏檢查進一步明確診斷。插管深度34 cm，起搏閾電壓14 V，食管心電圖見P波與QRS波無傳導(dǎo)關(guān)系，表現(xiàn)出房室分離現(xiàn)象，考慮為左前分支室性心動過速。嘗試行心房刺激終止心動過速。首先采用頻率為250次/min的S1S1連續(xù)刺激可奪獲心房，但未能終止心動過速，逐漸加快刺激頻率，予頻率300次/min的S1S1刺激，連續(xù)刺激10次，成功終止心動過速，轉(zhuǎn)復(fù)竇性心律(圖2)。心動過速終止后行12導(dǎo)聯(lián)心電圖檢查，提示竇性心律，心率約128次/min，PR間期108 ms，QRS波時限為71 ms，電軸40°，無束支阻滯圖形(圖3)。

4b2=mn.

在△PF2Q中,

整理得

8a2=mn,

從而

4b2=8a2,

于是

解題反思 此題的圖形是雙曲線和它的一個焦點三角形,但是只有一個三角形難以得到最終結(jié)果,關(guān)鍵在于三角形中線的應(yīng)用．三角形的中線通常用法是把它倍長,得到另一個三角形,這樣就可以利用中線的長度求解.有時還可以得到平行四邊形,應(yīng)用平行四邊形兩條對角線長的平方和等于四邊長的平方和等性質(zhì)．此題歸根結(jié)底還是轉(zhuǎn)變?yōu)閳A錐曲線和多個三角形的組合問題．

圖4 圖5

( )

(2021年1月浙江省數(shù)學學考試題第17題)

審題分析 圖中有腰長與上底相等的等腰梯形,由對稱性可知直線AP過左焦點F1,分割后產(chǎn)生焦點△AF1F,△BF1F,△PF1F和等腰△BF1P(如圖5),它們的邊長都與橢圓的定義相關(guān)．

解得

于是

|AF|=|BF|=|PB|=|AF1|=a.

令|PF1|=2x,則

|PF|=2a-2x.

在等腰△PBF1中,

在△AF1F中,

在△APF中,

從而

1)熱含量(Heat Content,簡稱HC)的計算:本文綜合考慮溫躍層下界深度(吳曉芬等,2011)及資料的深度范圍,將0～400 m深度的海洋溫度平均值定義為海洋上層熱含量值。

將式(1)代入式(2),得

解法分支1 在△F1AF2中,應(yīng)用余弦定理得

4c4+a2c2-a4=0,

于是

4e4+e2-1=0,

即

除已治理的6 000 m河道外，對剩余河道，根據(jù)河道現(xiàn)狀，河堤線走向基本維持現(xiàn)狀，根據(jù)行洪需要對堤岸進行防護，并對河道進行疏浚，使河道斷面滿足20年一遇的防洪標準。

故選B．

整理得

解題思路2 利用等腰梯形“對角線相等”的性質(zhì),得到|PF|=|AB|=2b,應(yīng)用橢圓定義可知PF1的長度.在△BPF1和△AFF1中,分別用a,b,c表示cos∠BPF1和cos∠FAF1,可得a,c之間關(guān)系,即可求得橢圓的離心率．

1961年2月5日，毛澤東聽取中共浙江省委負責人匯報整風整社和省委召開擴大會議的情況。談到生產(chǎn)隊的規(guī)模問題，他說，我看一個生產(chǎn)隊管不了這么多，太大了。在一個基本核算單位里，有富的、中等的、貧的，這就有問題，群眾就不滿意。小隊就是過去的初級社。我看把小隊改成生產(chǎn)隊，明升暗降。原來的生產(chǎn)隊變成生產(chǎn)單位和消費單位。毛澤東還交待浙江省委研究一下放在過去的初級社好，還是放在過去的高級社好？就是說，放在生產(chǎn)小隊好，還是放在生產(chǎn)隊好？［6］18他關(guān)于社隊規(guī)模的談話不僅對浙江，而且對全國其他地區(qū)的調(diào)查研究工作指明了方向。

解法2 因為AP∥BF,由對稱性可知直線AP過左焦點F1,則

B組采用經(jīng)傷椎椎弓根植骨聯(lián)合椎弓根釘內(nèi)固定系統(tǒng)治療。患者傷椎復(fù)位及置釘方法與A組相同。C形臂X線機透視證實患者椎體復(fù)位滿意后，行經(jīng)傷椎椎弓根植骨。首先定位傷椎椎弓根，采用椎弓根螺釘置入的方法，經(jīng)傷椎椎弓根將擴大器尾部置入到椎體的前2/3處，擴大椎弓根的高度和寬度，同時避免骨塊進入椎管腔內(nèi)，將人工誘導(dǎo)骨或納米人工骨植入椎體前中部，并推壓結(jié)實，植入完畢后使用明膠海綿填充洞口止血。C形臂X線機透視植骨效果滿意后沖洗切口，置引流管，縫合切口。術(shù)后患者臥床3 ～ 5周后佩戴支具下床活動，4個月后去支具活動。

|AF|=|BF|=|PB|=|AF1|=a.

在等腰梯形AFBP中,

|PF|=|AB|=2b,

則

|PF1|=2a-2b.

在等腰△PBF1中,

在△AF1F中,

因為cos∠BPF1=cos∠F1AF,所以

從而

2c2=ab.

消去b,得 4c4+a2c2-a4=0,

于是

4e4+e2-1=0,

即

故選B.

解題反思 此題的模型是橢圓和等腰梯形,通過分割等腰梯形回到橢圓和多個三角形組合,既要利用好等腰梯形底角相等、對角線相等的性質(zhì),又要運用三角形中的余弦定理建立參數(shù)之間的關(guān)系.找好性質(zhì)、找準關(guān)系是幾何法解決圓錐曲線問題的關(guān)鍵．

總結(jié)這一組高考題、學考題,圖形上都是圓錐曲線與若干個三角形的組合,因此幾何法的解題思路就會一脈相承,找對合適的三角形就成了解題重要的突破口．

教學啟示 解析幾何的教學核心在于“解析”與“幾何”,它歸根結(jié)底是一個幾何問題.因此,圓錐曲線的定義與它們的簡單幾何性質(zhì)教學是重中之重,教師要善于結(jié)合初高中所學的平面幾何知識,包括直線、圓、四邊形、三角形等幾何性質(zhì),以及它們所涉及的公式、定理,尤其是解三角形內(nèi)容在圓錐曲線問題的應(yīng)用中極為廣泛.教師可以在知識和思維兩個方面對幾何內(nèi)容進行總結(jié),把上述知識網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化．在教學中,教師要讓學生經(jīng)歷問題辨析、變式、拓展的過程,發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),建立問題之間的聯(lián)系;教師要指導(dǎo)學生建構(gòu)思維導(dǎo)圖,讓學生用一個完整的思維體系去看待這些解析幾何問題,提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)、創(chuàng)新能力和科學嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)[4]．

結(jié)束語 解題理論對于學生而言過于高深,較難領(lǐng)會和應(yīng)用,但基于每一道題、每一組題解