姚燕紅,常慶龍

(1.安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 安陽 455000;2.泰興市教師進修學校,江蘇 泰興 225400)

0 引言

1992年,陸書環(huán)給出了梅花圖的優(yōu)美標號[1]。本文巧妙地引進了梅花圖的一個稱之為“源標號”的輔助標號,經(jīng)過適當?shù)淖儞Q,分別得到了梅花圖的下述四種標號:奇優(yōu)美標號、奇強協(xié)調(diào)標號、(k,d)-算術(shù)標號、k-優(yōu)美標號。

圖1 梅花圖

定義2[3]對于(p,q)圖G,如果存在一個單射:

使得對一切uv∈E(G),由φ*(uv)=|φ(u)-φ(v)|導(dǎo)出一個雙射:

則稱G是奇優(yōu)美圖,φ是G的一個奇優(yōu)美標號,φ*是G的邊標號。

定義3[4]對于(p,q)圖G,如果存在一個單射:

使得對一切uv∈E(G),由τ*(u,v)=τ(u)+τ(v)導(dǎo)出一個雙射:

則稱G是奇強協(xié)調(diào)圖,τ是G的一個奇強協(xié)調(diào)標號。

定義4[5]對于(p,q)圖G以及正整數(shù)k,d(d不能整除k),如果存在一個單射:

使得對一切uv∈E(G),由h*(uv)=h(u)+h(v)導(dǎo)出一個雙射h*:

E(G)→{k,k+d,k+2d,…,k+(q-1)d}

則稱G是(k,d)-算術(shù)圖,h是G的一個(k,d)-算術(shù)標號。

定義5[6]對于(p,q)圖G以及正整數(shù)k,如果存在一個單射:

使得對一切uv∈E(G),由g*(u,v)=|g(u)-g(v)|導(dǎo)出一個雙射:

則稱G是k-優(yōu)美圖,g是G的一個k-優(yōu)美標號。

1 四種標號的源標號

為了得到梅花圖的下述四種標號:奇優(yōu)美標號、奇強協(xié)調(diào)標號、(k,d)-算術(shù)標號、k-優(yōu)美標號,我們定義如下的輔助標號(即源標號)f:

當n=3時

f(x0)=0,f(xi)=13-i(i=1,2,3)

f(yj)=2+j(j=1,2),f(y3)=7

當n≡1(mod2)且n>3時

f(yn)=3n-2

當n≡0(mod2)且n≥2時

不難驗證,上述輔助標號有如下幾個性質(zhì)。

性質(zhì)2記

X={x0,y1,y2,…,yn}

若u,v∈X或u,v∈Y, 則f(u)≠f(v)。

2 主要結(jié)果

(1)

當n=3時,(1)為

φ(x0)=0,φ(xi)=25-2i(i=1,2,3)

φ(yj)=4+2j(j=1,2),φ(y3)=14

當n≡0(mod2),且n≥2時,(1)為

當n≡1(mod2)時,且n>3時,(1)為

φ(yn)=6n-4

首先,根據(jù)f的性質(zhì)2, 在X中,f(v)各不相同,所以φ(v)=2f(v)也各不相同;同樣在Y中,φ(v)=2f(v)-1也各不相同。 又因為在X中φ(v)是偶數(shù),在Y中φ(v)是奇數(shù),所以X中的頂點標號與Y中的頂點標號也不相同。 又

φ*(uv)=|φ(v)-φ(u)|

=2f(v)-1-2f(u)

=2(f(v)-f(u))-1

由性質(zhì)1

所以

(2)

當n=3時,(2)為

τ(x0)=0,τ(xi)=2i-1 (i=1,2,3)

τ(yi)=4+2j(j=1,2),τ(y3)=14,

當n≡0(mod2),且n≥2時,(2)為

當n≡1(mod2)時,且n>3時,(2)為

τ(yn)=6n-4

τ*(uv)=τ(u)+τ(v)

=2f(u)+2(4n-f(v))+1

=8n-2(f(v)-f(u))+1

由性質(zhì)1

所以

(3)

當n=3時,(3)為

h(x0)=0,h(xi)=k+(i-1)d(i=1,2,3)

h(yj)=(2+j)d(j=1,2),h(y3)=7d

當n≡0(mod2),且n≥2時,(3)為

當n≡1(mod2)時,且n>3時,(3)為

h(yn)=(3n-2)d

h*(uv)=h(u)+h(v)

=f(u)d+k+(4n-f(v))d

=k+4nd-(f(v)-f(u))d

由性質(zhì)1

所以

={k,k+d,k+2d,…,k+(4n-1)d}

(4)

當n=3時,(4)為

g(x0)=0,g(xi)=12-i+k(i=1,2,3)

g(yj)=2+j(j=1,2),g(y3)=7

當n≡0(mod2),且n≥2時,(4)為

當n≡1(mod2)時,且n>3時,(4)為

g(yn)=3n-2

顯然,在X和Y中,g(v)各不相同。又因為

g*(uv)=|g(u)-g(v)|

=(f(v)-f(u))+k-1

由性質(zhì)1

所以