付軍泉，鐘伯文，*，鐘運(yùn)琴，劉 赟

(1.南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌 330063；2.江西省飛行器設(shè)計(jì)與氣動(dòng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 中國(guó)科學(xué)院大數(shù)據(jù)挖掘與知識(shí)管理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

0 引言

在飛機(jī)設(shè)計(jì)與研制過(guò)程中，建立精確的飛行動(dòng)力學(xué)模型是飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、飛行品質(zhì)評(píng)估、實(shí)物及半實(shí)物飛行仿真的基礎(chǔ)與前提。飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)一般可通過(guò)計(jì)算流體力學(xué)[1]、風(fēng)洞試驗(yàn)[2]、參數(shù)辨識(shí)[3]等方法獲得。計(jì)算流體力學(xué)方法由于存在N-S 方程離散誤差、計(jì)算截?cái)嗾`差、湍流模型誤差等因素，導(dǎo)致精確的飛行流場(chǎng)很難求解。風(fēng)洞試驗(yàn)中由于存在洞壁效應(yīng)、相似性效應(yīng)、傳感器測(cè)量誤差等因素，也使得精確的氣動(dòng)參數(shù)獲取存在困難。隨著傳感器技術(shù)與飛行試驗(yàn)技術(shù)迅速發(fā)展，通過(guò)飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法、基于飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)獲取更高精度的氣動(dòng)參數(shù)成為一種可行的、必要的手段。飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)是一個(gè)系統(tǒng)工程，主要包括飛行試驗(yàn)設(shè)計(jì)、飛行動(dòng)力學(xué)模型結(jié)構(gòu)假設(shè)、飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)、模型辨識(shí)結(jié)果驗(yàn)證四個(gè)步驟。

1920 年，Waener 和Norton 對(duì)飛行器的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法進(jìn)行了早期研究[4]。1951 年，Harry[5]提出了一種以飛機(jī)小擾動(dòng)線性化模型為基礎(chǔ)，基于最小二乘法辨識(shí)飛機(jī)穩(wěn)定導(dǎo)數(shù)與操縱導(dǎo)數(shù)的方法。目前，應(yīng)用最廣泛的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法是極大似然法與牛頓拉夫遜迭代的組合方法。基于極大似然估計(jì)的模型參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題本質(zhì)上是參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，但該方法是一種收斂緩慢的算法。Lin 等[6]通過(guò)改進(jìn)極大似然估計(jì)方法的參數(shù)化梯度的遞推中間計(jì)算過(guò)程，提高了極大似然方法的收斂速度。Kalman 濾波算法能將參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，依據(jù)飛行器的實(shí)際飛行情況，采用連續(xù)估計(jì)模型，并通過(guò)離散時(shí)間測(cè)量與離散濾波算法達(dá)到實(shí)時(shí)估計(jì)，其中應(yīng)用最廣泛的非線性氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法是擴(kuò)展Kalman 濾波（extended Kalman filter,EKF）方法。此外，無(wú)跡卡爾曼濾波（unscented Kalman filter,UKF）方法能降低模型線性化所帶來(lái)的誤差，因此在辨識(shí)非線性氣動(dòng)模型時(shí)有較明顯的優(yōu)勢(shì)[7]。極大似然法是目前應(yīng)用于飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的主要算法。極大似然法辨識(shí)需要給出合理的飛行動(dòng)力學(xué)模型結(jié)構(gòu)以及待辨識(shí)參數(shù)初始值，不準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型會(huì)導(dǎo)致氣動(dòng)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果不理想，不合理的待辨識(shí)參數(shù)初始值則容易導(dǎo)致優(yōu)化陷入局部最小值，甚至導(dǎo)致辨識(shí)過(guò)程發(fā)散[8]。

近年來(lái)，人工智能技術(shù)的日益成熟為飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)提供了一種新方法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以逼近任何非線性輸入輸出系統(tǒng)，是一種系統(tǒng)辨識(shí)建模的有效工具[9]?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)辨識(shí)可以避免飛行動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程，并且在氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中不需要給出待辨識(shí)參數(shù)的初始值估計(jì)。21 世紀(jì)初期開(kāi)始，國(guó)內(nèi)外學(xué)者均開(kāi)展了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的應(yīng)用研究，這類方法用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬飛行動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并利用增量法、導(dǎo)數(shù)法從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)間接地提取氣動(dòng)參數(shù)，是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的辨識(shí)建模方法。Ghosh 等[10]基于真實(shí)飛行數(shù)據(jù)建立舵面控制輸入與氣動(dòng)力、力矩之間的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并研究舵面控制輸入疊加微小增量后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出變化，通過(guò)增量法提取氣動(dòng)參數(shù)。Kuttieri 等[11]研究了基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的彈性體飛機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)，在建立升降舵、飛行狀態(tài)輸入與升力、俯仰力矩輸出之間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，利用深度學(xué)習(xí)框架自帶的微分求導(dǎo)功能，直接求解升力、俯仰力矩輸出相對(duì)于升降舵、飛行狀態(tài)輸入的導(dǎo)數(shù)，得到氣動(dòng)參數(shù)。2020 年，Verma 等[12]基于極限學(xué)習(xí)機(jī)器（extreme learning machine,ELM），一種改進(jìn)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并利用導(dǎo)數(shù)法辨識(shí)基于真實(shí)飛行數(shù)據(jù)的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)，結(jié)果顯示，該方法能顯著加速氣動(dòng)力、力矩的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練過(guò)程。

隨著深度學(xué)習(xí)理論與技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，2017 年美國(guó)布朗大學(xué)Raissi 等[13]綜合并改進(jìn)了前人在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解微分方程方面的技術(shù)方法，正式提出了基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（physics informed neural network,PINN）算法框架，并首次提出PINN 方法不僅可以求解微分方程正問(wèn)題（即建模問(wèn)題），也可用于求解微分方程逆問(wèn)題（即參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題）。PINN 是一種數(shù)據(jù)與物理雙驅(qū)動(dòng)的建?？蚣?，可以將物理約束作為正則項(xiàng)加入到傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過(guò)程中，從而減少對(duì)建模數(shù)據(jù)的需求。同時(shí)，PINN 相對(duì)于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，也具有更高的辨識(shí)精度[14]。PINN 被正式提出后，引發(fā)了流體力學(xué)、熱力學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、材料力學(xué)等領(lǐng)域大量的相關(guān)應(yīng)用研究[15]。比較典型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有應(yīng)用于不可壓N-S 方程的分?jǐn)?shù)階fPINNs 網(wǎng)絡(luò)[16]，應(yīng)用于心房顫動(dòng)診斷分布型DPINNs 網(wǎng)絡(luò)[17]，應(yīng)用于新材料設(shè)計(jì)的貝葉斯型B-PINNs 網(wǎng)絡(luò)[18]等?；赑INN 網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)辨識(shí)方法應(yīng)用研究目前尚不多見(jiàn)。本文研究的重點(diǎn)是根據(jù)待辨識(shí)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的特征，設(shè)置PINN網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和損失函數(shù)。

文章首先給出通用PINN 網(wǎng)絡(luò)的基本結(jié)構(gòu)以及工作原理，然后給出基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)縱向狀態(tài)空間模型的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)建模方法，最后利用基于JSBSim 的飛行仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證上述建模方法的正確性與有效性。

1 PINN

設(shè)含參數(shù)的偏微分方程的通用形式為：

方程的初始條件和邊界條件定義為：

其中：空間變量x∈Rd；t為時(shí)間變量；Ω為 歐式空間Rd的子集；?Ω 為 Ω 的邊界；微分方程f包含微分算子?xu、?tu；λ=[λ1,λ2,...]為 微分方程f的參數(shù)；u(x,t)為偏微分方程f的理論解；g(x)為f的 初始條件；h(x)為f的狄利克雷邊界條件、黎曼邊界條件或混合邊界條件。

PINN 用一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近偏微分方程的解。不妨定義PINN 網(wǎng) 絡(luò)(x,t)逼近微分方程f的解u(x,t)，該P(yáng)INN 網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)L定義為：

其中：LPDE為 損失函數(shù)中模型驅(qū)動(dòng)的部分；LIC為損失函數(shù)中初始條件驅(qū)動(dòng)的部分；LBC為損失函數(shù)中邊界條件驅(qū)動(dòng)的部分；LData為損失函數(shù)中其他數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的部分。損失函數(shù)各部分定義如下：

在損失函數(shù)（4）的約束下，在盡可能滿足偏微分方程的條件下，使PINN 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)的誤差盡量小。含參數(shù)的偏微分方程（1）對(duì)應(yīng)的PINN 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1 所示，在輸入時(shí)間t和 空間x數(shù)據(jù)后，首先用全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(x,t)逼 近函數(shù)u(x,t)，然后利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)微分技術(shù)[19]，求出偏微分方程殘差、初值、邊值殘差，并將其作為正則項(xiàng)加入損失函數(shù)中，最后利用梯度下降法更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重參數(shù)和偏微分方程物理參數(shù)。需要說(shuō)明的是，PINN 廣義上是一種基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的框架，主要用于求解偏微分方程，但也適用于常微分方程的求解。

圖1 PINN 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of PINN

2 PINN 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法

以飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)為例，研究基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法。假設(shè)飛機(jī)在定常平飛狀態(tài)只受到升降舵激勵(lì)輸入擾動(dòng)，飛機(jī)的縱向運(yùn)動(dòng)與橫航向運(yùn)動(dòng)在該小擾動(dòng)作用下可以完全解耦，則典型的飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)小擾動(dòng)線性化狀態(tài)方程可表示為[20]：

其中：u為 流向速度；w為垂向速度；q為俯仰角速率；θ為俯仰角；δe為升降舵偏轉(zhuǎn)角。如無(wú)特殊說(shuō)明，文中所有與飛機(jī)飛行狀態(tài)相關(guān)的參數(shù)，如u、w、q、θ、δe等，均為擾動(dòng)增量。進(jìn)一步假設(shè)在上述飛機(jī)縱向激勵(lì)輸入下，觀測(cè)變量與狀態(tài)變量完全一致，則此處觀測(cè)方程可略去。

本文飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法研究采用離散型PINN 網(wǎng)絡(luò)。參考Raissi 等[14]提出的PINN 求解離散型偏微分方程逆問(wèn)題的方法，構(gòu)造離散型PINN 系統(tǒng)辨識(shí)網(wǎng)絡(luò)一般需要采用高階Runge-Kutta 算法離散偏微分方程。本文采用三階Runge-Kutta 公式離散飛機(jī)縱向小擾動(dòng)線性化狀態(tài)方程模型。記一階微分方程通用形式為=f(t,y)，其三階Runge-Kutta 公式為：

為后文表述方便，將飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)小擾動(dòng)線性化狀態(tài)方程（9）中與速度u、速度w、俯仰角速率q相關(guān)的微分方程分別記為fu、fw、fq：

按式（10）三階Runge-Kutta 公式將微分方程fu、fw、fq依 次離散化，得到關(guān)于u、w、q的遞推公式：

由飛機(jī)縱向小擾動(dòng)線性化狀態(tài)方程的離散化公式（17～19），需要構(gòu)造PINN 網(wǎng)絡(luò)，其輸入為uk、wk、qk、θk、δek，輸出為uk+1、wk+1、qk+1。基于PINN 的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1，該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)共有9 層，激活函數(shù)均采用Relu。

表1 PINN 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structure parameters of PINN for aerodynamic parameter identification

PINN 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。輸入uk、wk、qk、θk、δek后，首先用PINN 全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)輸出，預(yù)測(cè)輸出與真實(shí)輸出的殘差LData構(gòu)成數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的損失函數(shù)，然后將飛機(jī)縱向小擾動(dòng)線性化狀態(tài)方程的離散化公式（17～19）中計(jì)算輸出與預(yù)測(cè)輸出的殘差LODE-u、LODE-w、LODE-q作為模型驅(qū)動(dòng)的部分加入損失函數(shù)中，最后利用梯度下降法更新PINN 全連接網(wǎng)絡(luò)權(quán)重參數(shù)和狀態(tài)方程中的待辨識(shí)氣動(dòng)參數(shù)。

圖2 PINN 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic of PINN for aerodynamic parameter identification

3 飛行仿真

研究采用的飛行仿真數(shù)據(jù)基于JSBSim 求解器產(chǎn)生。JSBSim 是一個(gè)可在多種操作系統(tǒng)下編譯和運(yùn)行的開(kāi)源飛行動(dòng)力學(xué)模型庫(kù)。JSBSim 既可以作為一個(gè)獨(dú)立的程序運(yùn)行，從xml 格式的腳本文件和配置文件中獲取輸入，也可以集成到一個(gè)支持交互輸入的飛行模擬平臺(tái)中[21]，如FlightGear 和OpenEaagles。

飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)需要在飛機(jī)配平狀態(tài)下施加合理的舵面控制輸入，以充分激勵(lì)出飛行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)過(guò)程。目前基于時(shí)域的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)常用的激勵(lì)輸入信號(hào)為倍脈沖信號(hào)與3211 信號(hào)[22]。圖3 所示為采用的PINN 網(wǎng)絡(luò)縱向氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)升降舵含噪聲倍脈沖激勵(lì)信號(hào)與3211 激勵(lì)信號(hào)。倍脈沖激勵(lì)信號(hào)可近似為單位周期內(nèi)的正弦信號(hào)，通過(guò)對(duì)倍脈沖激勵(lì)信號(hào)寬度的選擇，可以將激勵(lì)所覆蓋的頻段移至飛行仿真所需要激發(fā)的模態(tài)頻段。同理，在3211 激勵(lì)信號(hào)中，通常將脈沖“2”的寬度設(shè)為飛機(jī)固有模態(tài)頻率一半所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，脈沖“3”與“1”分別設(shè)置在飛機(jī)固有模態(tài)頻率的兩側(cè)，以形成頻帶更寬的激勵(lì)輸入。

圖3 升降舵倍脈沖信號(hào)與3211 激勵(lì)信號(hào)Fig.3 Doublet and 3211 activation signal of the elevator

在默認(rèn)設(shè)置下，JSBSim 輸出的飛行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)數(shù)據(jù)是無(wú)噪聲的，因?yàn)镴SBSim 會(huì)將激勵(lì)輸入信號(hào)送入一個(gè)低通濾波器濾波，再迭代求解飛行動(dòng)力學(xué)方程。本文主要研究基于無(wú)噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)的PINN網(wǎng)絡(luò)縱向氣動(dòng)參數(shù)方法，同時(shí)為了研究該P(yáng)INN 網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方法的泛化性，也研究了該方法在含噪聲的飛行仿真數(shù)據(jù)上的辨識(shí)效果。含噪聲的飛行仿真數(shù)據(jù)u′(t)定義如下：

其中：u(t) 為原始信號(hào)；β ∈(0,1)表 示噪聲水平；σ為原始信號(hào)u(t) 的標(biāo)準(zhǔn)差；標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)噪聲 rand(t)～N(0,1)。

飛行仿真所采用機(jī)型為“DELTA”[23]，與縱向運(yùn)動(dòng)相關(guān)的定常平飛配平狀態(tài)為：u0=75 m/s，w0=0 m/s，q0=0 rad/s，θ0=0.047 rad。飛機(jī)縱向小擾動(dòng)狀態(tài)方程（9）中，“DELTA”飛機(jī)的Mu值相對(duì)于其他氣動(dòng)參數(shù)為小量，在飛行仿真中將該值設(shè)為0。其他待辨識(shí)縱向氣動(dòng)參數(shù)的真實(shí)值為：Xu=-0.02，Xw=0.1，=0.14，Zu=-0.23，Zw=-0.634，=-2.9，Mw=-0.005，Mq=-0.61，=-0.44。在JSBSim 飛機(jī)氣動(dòng)力配置文件中設(shè)置上述飛行動(dòng)力學(xué)氣動(dòng)參數(shù)，在JSBSim 初始化配置文件中設(shè)置上述定常平飛配平狀態(tài)為仿真初始狀態(tài)，在JSBSim 腳本設(shè)置文件中設(shè)置飛行狀態(tài)參數(shù)的輸出頻率為64 Hz。分別以10 個(gè)幅值與周期不同的升降舵含噪聲倍脈沖信號(hào)和10 個(gè)幅值與周期不同的升降舵含噪聲3211 信號(hào)激勵(lì)作為輸入，通過(guò)JSBSim 求解器得到無(wú)噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)。含噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)通過(guò)在無(wú)噪聲數(shù)據(jù)中添加噪聲水平2%的隨機(jī)噪聲獲得。圖4 為升降舵含噪聲3211激勵(lì)輸入下的縱向飛行參數(shù)隨時(shí)間變化圖。

圖4 升降舵3211 激勵(lì)下縱向飛行參數(shù)隨時(shí)間變化圖Fig.4 Time history of longitudinal flight parameters under 3211 activation of the elevator

4 模型驗(yàn)證

氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)算法模型基于PyTorch 開(kāi)源機(jī)器學(xué)習(xí)框架實(shí)現(xiàn)。隨機(jī)從JSBSim 飛行仿真數(shù)據(jù)中選擇5 000 組數(shù)據(jù)作為PINN 網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法研究的數(shù)據(jù)集，并將該數(shù)據(jù)集以80%和20%的比例隨機(jī)劃分為訓(xùn)練集與測(cè)試集。PINN 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中主要超參數(shù)設(shè)置為：訓(xùn)練數(shù)據(jù)批量大小為512，學(xué)習(xí)率為0.001，所有訓(xùn)練集數(shù)據(jù)迭代訓(xùn)練次數(shù)為10 000。

基于無(wú)噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)的PINN 網(wǎng)絡(luò)飛機(jī)縱向氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果及對(duì)應(yīng)誤差如表2 所示，基于含噪聲飛行仿真數(shù)據(jù)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果及對(duì)應(yīng)誤差如表3 所示。無(wú)噪聲時(shí)，9 個(gè)辨識(shí)參數(shù)中辨識(shí)誤差最大的是Mw，其相對(duì)真值的誤差為1.80%，這主要是因?yàn)镸w相對(duì)于其他待辨識(shí)氣動(dòng)參數(shù)小一個(gè)數(shù)量級(jí)，在PINN 網(wǎng)絡(luò)誤差反向傳播、梯度下降及參數(shù)更新過(guò)程中相對(duì)更容易產(chǎn)生累積誤差。含噪聲時(shí)，待辨識(shí)參數(shù)中辨識(shí)結(jié)果誤差最大的是Xδe，其相對(duì)真值的誤差為4.64%。同時(shí)，含噪聲時(shí)的待辨識(shí)參數(shù)的相對(duì)誤差比無(wú)噪聲時(shí)的結(jié)果整體上略微偏大。

表2 無(wú)噪聲時(shí)PINN 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果及對(duì)應(yīng)誤差Table 2 Results and errors of aerodynamic parameter identification by PINN without noise

表3 含噪聲時(shí)PINN 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果及對(duì)應(yīng)誤差Table 3 Results and errors of aerodynamic parameter identification by PINN with noise

為進(jìn)一步驗(yàn)證基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法的效果，分別選取一組不在訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中的完整升降舵激勵(lì)信號(hào)，測(cè)試無(wú)噪聲、含噪聲PINN 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)輸出速度u、速度w、俯仰角速率q。圖5、圖6 分別為無(wú)噪聲時(shí)一組升降舵倍脈沖激勵(lì)、含噪聲時(shí)一組升降舵3211 激勵(lì)輸入下，PINN 網(wǎng)絡(luò)u、w、q的預(yù)測(cè)輸出與真實(shí)值對(duì)比圖。為了更清晰地展示對(duì)比情況，無(wú)噪聲時(shí)選取t=0.5～1.0 s 時(shí)間范圍，含噪聲時(shí)選取t=2.0～2.5 s 時(shí)間范圍。由圖可見(jiàn)，無(wú)論縱向動(dòng)力學(xué)飛行仿真數(shù)據(jù)中是否含有噪聲，相對(duì)速度u、速度w、俯仰角速率q的預(yù)測(cè)誤差總是偏大，這也與表2、表3 中氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)相對(duì)誤差的分布表現(xiàn)一致。無(wú)噪聲時(shí)，與u、w、q相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的最大相對(duì)誤差分別為0.15%、0.14%、1.80%；含噪聲時(shí)，與u、w、q相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的最大相對(duì)誤差分別為4.64%、1.39%、2.60%；無(wú)論是否含有噪聲，與w相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)的最大相對(duì)誤差總是小于與u、q相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)的最大相對(duì)誤差。

圖5 無(wú)噪聲時(shí)PINN 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)輸出與真實(shí)值對(duì)比圖Fig.5 Comparison between the PINN prediction and the real value without noise

圖6 含噪聲時(shí)PINN 網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)輸出與真實(shí)值對(duì)比圖Fig.6 Comparison between the PINN prediction and the real value with noise

由于本文采用梯度下降法訓(xùn)練PINN 網(wǎng)絡(luò)，其中與u、w、q相關(guān)的物理方程正則項(xiàng)約束在加入損失函數(shù)時(shí)權(quán)重均設(shè)為1，而與w相關(guān)的物理方程正則項(xiàng)以更大的梯度更新相關(guān)氣動(dòng)參數(shù)，所以導(dǎo)致與w相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)的相對(duì)誤差較小。Wang 等[24]指出，在PINN 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中，可以通過(guò)調(diào)整損失函數(shù)中不同組成成分之間的權(quán)重，使得其梯度值大小趨于一致，來(lái)改善PINN 網(wǎng)絡(luò)的收斂情況。

一般來(lái)說(shuō)，在飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)工程應(yīng)用領(lǐng)域，氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果的相對(duì)誤差不大于10%就可采納[25]。綜上所述，基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法可行且有效，并對(duì)含噪聲飛行數(shù)據(jù)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)具有一定的泛化能力。

5 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法基礎(chǔ)上，提出了一種基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法。該方法可以將含待辨識(shí)參數(shù)的飛機(jī)飛行動(dòng)力學(xué)方程作為正則項(xiàng)加入到損失函數(shù)，通過(guò)PINN 網(wǎng)絡(luò)梯度下降與參數(shù)更新，直接辨識(shí)得到氣動(dòng)參數(shù)。與極大似然法等工程辨識(shí)算法相比，該方法不需要給出待辨識(shí)參數(shù)的初始估計(jì)。與基于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法相比，基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的辨識(shí)建模方法可以顯著減少建模數(shù)據(jù)需求，也能提高建模精度。同時(shí)，針對(duì)縱向飛行狀態(tài)空間模型辨識(shí)，通過(guò)JSBSim 飛行仿真驗(yàn)證，獲得了在無(wú)噪聲和含2%噪聲仿真數(shù)據(jù)時(shí)9 個(gè)待辨識(shí)參數(shù)中辨識(shí)結(jié)果的最大相對(duì)誤差（分別為1.80%、4.64%）。研究結(jié)果表明，基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)方法具有可行性，并對(duì)含噪聲飛行數(shù)據(jù)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)具有一定的泛化能力。

后期，針對(duì)基于PINN 網(wǎng)絡(luò)的非線性飛行動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（特別是含有時(shí)間延遲、過(guò)程噪聲等復(fù)雜場(chǎng)景）的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)，需要結(jié)合真實(shí)飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。