陳雨婷,謝勝龍,鄒 偉

(1.中國計(jì)量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,浙江 杭州 310018;2.中國計(jì)量科學(xué)研究院,北京 100029)

近年來大尺寸空間測量技術(shù)的應(yīng)用日益廣泛,隨著測量任務(wù)難度增加,工業(yè)生產(chǎn)裝備過程及現(xiàn)場在線校準(zhǔn)對測量儀器的功能與實(shí)用性要求越來越高[1-2]。對于目標(biāo)空間位置和運(yùn)動(dòng)軌跡的測量,目前應(yīng)用較多是多邊法。多邊法由多臺儀器聯(lián)合同時(shí)測量目標(biāo),測量前須標(biāo)定儀器參數(shù),再由標(biāo)定過的系統(tǒng)參數(shù)參與測量,因此,保證系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定精度對后續(xù)測量是尤為重要的[3]。

國內(nèi)外學(xué)者對系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定方法的研究現(xiàn)狀如下。Majarena等[4]使用三坐標(biāo)測量機(jī)測量并聯(lián)機(jī)構(gòu)自身安裝的球體,以獲取并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位置時(shí)球體的參考空間坐標(biāo),將參考坐標(biāo)值進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換后再對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行標(biāo)定;Aguado等[5]將三臺激光跟蹤儀布置在數(shù)控機(jī)床周圍做徑向和縱向測量,通過跟蹤數(shù)控機(jī)床的刀具獲取空間中多點(diǎn)的位置信息[6],對比刀具移動(dòng)距離和激光跟蹤儀測量距離,利用最小二乘平差法對儀器位置進(jìn)行二次校準(zhǔn)標(biāo)定;Conte等[7]為標(biāo)定單臺激光跟蹤儀,采用多站位法測量三坐標(biāo)測量機(jī)測量的標(biāo)準(zhǔn)長度,建立了對比誤差最小化的測量模型,減少了測量點(diǎn)數(shù);Sun等[8]在標(biāo)定星跟蹤器時(shí)通過改變相機(jī)位置,從多角度測量目標(biāo),二次測量保證了模型標(biāo)定精度;Wan等[9]利用一臺激光跟蹤儀通過多站法,測量多組空間點(diǎn)位置,建立了基于不同測量誤差沿三個(gè)坐標(biāo)軸分布的加權(quán)模型,得到模型中協(xié)方差最小的最優(yōu)儀器參數(shù);林永兵等[10]針對四路激光跟蹤干涉測量系統(tǒng)提出一種無約束動(dòng)點(diǎn)自標(biāo)定的方法,建立了空間點(diǎn)與儀器之間的距離模型,將殘差二次方作為評價(jià)方法,測量多個(gè)空間點(diǎn)直至點(diǎn)數(shù)滿足系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定條件,操作簡單;繆東晶等[11]提出一種七路激光跟蹤干涉位姿測量系統(tǒng)的標(biāo)定方法,通過將被測平面的三點(diǎn)極其間距包含到標(biāo)定過程中,實(shí)現(xiàn)同時(shí)標(biāo)定系統(tǒng)參數(shù)和靜態(tài)位姿的測量;鄭繼輝等[12]在無約束動(dòng)點(diǎn)自標(biāo)定的基礎(chǔ)上加入了加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)長度約束,使用激光跟蹤儀的干涉模式配合平面反射鏡測量若干長度作為參考,再使用標(biāo)準(zhǔn)長度進(jìn)行標(biāo)定。多邊測量系統(tǒng)的標(biāo)定方法按照儀器位置分為單臺儀器多站位二次標(biāo)定和多臺儀器同時(shí)進(jìn)行標(biāo)定,多臺儀器的標(biāo)定方法基本以參考物作標(biāo)準(zhǔn)[13-16]。

多邊測量系統(tǒng)以激光跟蹤干涉儀為例,使用四臺及以上測量目標(biāo)空間位置,六臺及以上實(shí)現(xiàn)位姿測量,測量與標(biāo)定均遵循干涉測距原理。標(biāo)定時(shí)加入若干固定點(diǎn)組成的標(biāo)準(zhǔn)距離作為約束,靶球放置于標(biāo)準(zhǔn)距離兩端靶座獲取固定點(diǎn)對應(yīng)的干涉測長值,由于干涉測距誤差存在,引起標(biāo)準(zhǔn)距離標(biāo)定誤差增加,導(dǎo)致系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)定誤差增加。若多次標(biāo)定則標(biāo)定數(shù)據(jù)冗余且效率較低。為提高標(biāo)定效率減小標(biāo)定誤差,本文在標(biāo)準(zhǔn)距離約束標(biāo)定的基礎(chǔ)上,提出一種固定點(diǎn)標(biāo)定數(shù)據(jù)重組的標(biāo)定優(yōu)化方法,通過增加標(biāo)準(zhǔn)距離固定端點(diǎn)的標(biāo)定測長獲取次數(shù),在不改變標(biāo)定點(diǎn)順序的前提下將固定點(diǎn)的對應(yīng)測長重新組合擴(kuò)大標(biāo)定數(shù)據(jù)組數(shù),迭代篩選得到標(biāo)定最優(yōu)組合,從而減小標(biāo)定誤差,進(jìn)一步降低了系統(tǒng)測量誤差。

1 系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定方法

1.1 標(biāo)定布局

本文采用六路激光跟蹤干涉儀進(jìn)行標(biāo)定和測量。六臺激光跟蹤干涉儀Sn(n=1,2,3…6)的布局關(guān)系為:S1作為坐標(biāo)系原點(diǎn)(0,0,0),S2位于x軸上設(shè)為(xS2,0,0),S3位于xoy平面內(nèi)設(shè)為(xS3,yS3,0),S4、S5、S6靠近xoy平面坐標(biāo)依次為(xS4,yS4,zS4)、(xS5,yS5,zS5)、(xS6,yS6,zS6)。在空間內(nèi)設(shè)置6個(gè)固定點(diǎn)(P1～P6)組成4段標(biāo)準(zhǔn)距離di(i=1,2,3,4),標(biāo)準(zhǔn)距離由文獻(xiàn)[12]中激光跟蹤儀的干涉模式和平面反射鏡結(jié)合的方法測量得到。在x方向3個(gè)不同高度各選取均勻分布的10個(gè)點(diǎn),共36個(gè)空間點(diǎn)Pk(k=1,2…36),P7～P36為無距離約束的隨機(jī)空間點(diǎn)。

初始點(diǎn)P1為基站獲取初始測長的固定點(diǎn),標(biāo)定后系統(tǒng)進(jìn)行測量時(shí)仍需在該點(diǎn)獲取初始測長,將初始點(diǎn)作為兩段不同方向的初始距離的共同端點(diǎn),標(biāo)定時(shí)采用兩段標(biāo)準(zhǔn)距離約束該點(diǎn)的空間坐標(biāo),如圖1。

圖1 六路激光跟蹤干涉儀標(biāo)定布局Figure 1 Calibration layout of six laser tracking interferometer

1.2 標(biāo)準(zhǔn)距離約束算法

6臺激光跟蹤干涉儀的待求參數(shù)為12個(gè),每臺基站在初始點(diǎn)對應(yīng)的初始距離設(shè)為ln0,待標(biāo)定的參數(shù)共18個(gè),激光跟蹤干涉儀跟蹤靶球在任一空間點(diǎn)獲取的激光跟蹤干涉儀測長為lnk空間點(diǎn)相對于初始點(diǎn)P1的長度變化量為

Δlnk=lnk-ln1。

(1)

每個(gè)空間點(diǎn)與基站的相對距離表示為

qnk=ln0+lnk。

(2)

因此通過基站表示空間點(diǎn)的坐標(biāo)如式(3):

(3)

將每個(gè)空間點(diǎn)對應(yīng)的標(biāo)定測長作為約束條件,基站與各點(diǎn)之間的距離應(yīng)接近于測長表示的相對距離,通過兩點(diǎn)間距離公式,以最小二乘法的思路構(gòu)建基站與標(biāo)定點(diǎn)間的空間位置關(guān)系,如公式(4):

(4)

加入4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)距離的約束,約束的兩固定端點(diǎn)間距離應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)長度值接近,通過約束對應(yīng)的固定端點(diǎn)間距獲取固定點(diǎn)坐標(biāo),由此構(gòu)建固定點(diǎn)距離約束方程(5):

(5)

其中wi為各距離約束的權(quán)重值,將式(3)中的Pk(xk,yk,zk)表達(dá)式代入式(4),當(dāng)k=1～6時(shí),Pk對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)距離約束的固定端點(diǎn),將式(3)的Pk表達(dá)式代入式(5),構(gòu)建方程為超定方程,設(shè)定求解參數(shù)的初值,采用Levenberg-Marquardt法進(jìn)行迭代求解。

1.3 標(biāo)定優(yōu)化方法

用于系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的空間點(diǎn)分為固定點(diǎn)與非固定的隨機(jī)點(diǎn),對于固定點(diǎn)而言,除距離約束外也受基站干涉測長約束。將每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)距離固定端點(diǎn)的干涉測長采集次數(shù)由1增加到h,每個(gè)固定端點(diǎn)有h個(gè)集合,每個(gè)集合中包含6個(gè)干涉測長元素,按照標(biāo)定空間點(diǎn)順序,對所有固定端點(diǎn)的集合進(jìn)行重新組合。初始點(diǎn)P1對應(yīng)的Δlnk為0,故實(shí)際重組的是5個(gè)固定端點(diǎn)的標(biāo)定數(shù)據(jù),標(biāo)定組數(shù)由h變?yōu)镸:

(6)

每組包含的標(biāo)定點(diǎn)數(shù)依然為36個(gè),對重組后的每一組數(shù)據(jù)依次代入算法進(jìn)行迭代篩選,流程如圖2。

圖2 優(yōu)化算法流程圖Figure 2 Optimize algorithm process

通過LM法進(jìn)行非線性最小二乘求解系統(tǒng)參數(shù),標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)長度端點(diǎn)為Pd,1,Pd,2,計(jì)算所有組的標(biāo)準(zhǔn)長度誤差絕對值的均值Edi,如式(7):

(7)

將Edi作為迭代優(yōu)化的終止條件,搜索所有組中標(biāo)定誤差和最大一組并剔除,即依次剔除掉固定點(diǎn)對應(yīng)干涉測長誤差最大的組:

(8)

2 仿真實(shí)驗(yàn)

本文使用MATLAB對優(yōu)化方法的標(biāo)定效果進(jìn)行仿真,設(shè)置如圖1布局所示的空間點(diǎn)。標(biāo)定空間為5 m×2 m×2 m的立方體,在標(biāo)定空間中布置點(diǎn)P1(-1 300,2 000,4 000)、P2(-1 500,0,4 000)、P3(-500,0,4 000),P4(-1 500,4 500,4 000)、P5(-1 300,2 100,6 000)、P6(-1 300,3 000,6 000)作為固定端點(diǎn),生成對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)距離參考值,并按照1.1節(jié)中的布局加入30個(gè)均勻分布的空間點(diǎn)作為非固定的隨機(jī)點(diǎn)。6個(gè)基站的理論坐標(biāo)分別為(0,0,0),(1 965,0,0),(1 452,4 132,0),(-1 100,4 100,500),(-1 100,500,-200),(-1 200,2 000,100),單位為mm。計(jì)算每個(gè)基站與每個(gè)空間點(diǎn)之間的距離,得到各空間點(diǎn)相對于初始點(diǎn)P1的長度變化量Δlnk,因激光跟蹤干涉儀的測長不確定度U為0.2 μm+0.3 μm/m,在每個(gè)空間點(diǎn)對應(yīng)的Δlnk中加入[-U,U]的噪聲模擬實(shí)際情況中的干涉測長變化量。

對比相同標(biāo)準(zhǔn)距離時(shí)4種標(biāo)定方式的標(biāo)定效果,約束算法的權(quán)重均相同,w=1。仿真1為不重組的單組標(biāo)定,即獲取固定點(diǎn)和非固定隨機(jī)點(diǎn)的干涉測長值各一組,進(jìn)行常規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)距離標(biāo)定。在前者的基礎(chǔ)上使每個(gè)固定端點(diǎn)的測長獲取次數(shù)為h=3,仿真2為不重組的三組均值標(biāo)定,即對每個(gè)固定點(diǎn)的3組測長數(shù)據(jù)取均值后以單組進(jìn)行常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)距離的標(biāo)定。仿真3為重組后不篩選多組取均值標(biāo)定。仿真4為重組優(yōu)化標(biāo)定,根據(jù)1.3節(jié)所介紹的標(biāo)定優(yōu)化方法進(jìn)行標(biāo)定。

4種標(biāo)定得到系統(tǒng)參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)距離后,根據(jù)參考值求解各自的誤差,如圖3。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)長度標(biāo)定誤差Figure 3 Standard length error

圖3中從左至右依次表示了標(biāo)準(zhǔn)距離d1、d2、d3、d4的標(biāo)定誤差在4種不同標(biāo)定方式下的變化,解算結(jié)果如表1,仿真1不重組單組標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)距離誤差最大;仿真2和仿真3兩種取均值的標(biāo)定方式標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)長度誤差均比仿真1有所減小;仿真4重組優(yōu)化標(biāo)定相對前三種標(biāo)定減小了標(biāo)準(zhǔn)距離的標(biāo)定誤差。

表1 不同標(biāo)定方式的標(biāo)準(zhǔn)距離誤差

計(jì)算4種標(biāo)定方式標(biāo)定的基站坐標(biāo)與理論坐標(biāo)之間的距離,基站坐標(biāo)標(biāo)定誤差如表2,仿真4的重組優(yōu)化標(biāo)定相較仿真1不重組的單組標(biāo)定,基站坐標(biāo)最大標(biāo)定誤差由37.3 μm降低到17.4 μm,可見隨著標(biāo)定誤差絕對值之和減小,基站坐標(biāo)標(biāo)定誤差也隨之減小。

表2 不同標(biāo)定方式的基站坐標(biāo)誤差

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證標(biāo)定優(yōu)化方法的有效性,以及對于不同測量布局的適用性,標(biāo)定不同測量布局下的系統(tǒng)參數(shù)并進(jìn)行角度測量實(shí)驗(yàn)。

3.1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

實(shí)驗(yàn)采用6臺激光跟蹤干涉儀S1～S6,系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如1.1節(jié)所述,采用兩種基站布局進(jìn)行實(shí)驗(yàn),如圖4。6臺基站同時(shí)跟蹤一個(gè)靶球,初始點(diǎn)P1作為第一個(gè)標(biāo)定點(diǎn),靶球在標(biāo)準(zhǔn)距離端點(diǎn)的靶座上被重復(fù)放置得到3組標(biāo)定測長,每次獲取六臺基站在該點(diǎn)的標(biāo)定測長,根據(jù)標(biāo)定布局在大理石臺上分3個(gè)高度的平面均勻選取30個(gè)非固定的隨機(jī)點(diǎn),共取空間點(diǎn)36個(gè)。4段標(biāo)準(zhǔn)距離通過激光跟蹤儀提前測量。

圖4 基站布局Figure 4 Layout of base station

采用4種方式對兩個(gè)布局的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定,通過解算的標(biāo)準(zhǔn)距離固定點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)距離標(biāo)定誤差。實(shí)驗(yàn)1為不重組的單組標(biāo)定,實(shí)驗(yàn)2為不重組的3組均值標(biāo)定,實(shí)驗(yàn)3為重組不篩選多組取均值標(biāo)定,實(shí)驗(yàn)4為重組優(yōu)化標(biāo)定,4種標(biāo)定方式權(quán)重默認(rèn)為1,結(jié)果見表3和表4。

表3 布局1標(biāo)定結(jié)果

表4 布局2標(biāo)定結(jié)果

分別采用4種標(biāo)定方式標(biāo)定布局1和布局2的系統(tǒng)參數(shù),不同布局下采用實(shí)驗(yàn)4重組優(yōu)化標(biāo)定相對實(shí)驗(yàn)1不重組的單組標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)距離誤差均有所降低,實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3兩種取均值的標(biāo)定方式減少標(biāo)定誤差的效果不及實(shí)驗(yàn)4?？梢?重組優(yōu)化標(biāo)定有效剔除了受測距誤差影響較大的標(biāo)準(zhǔn)距離固定點(diǎn)標(biāo)定測長數(shù)據(jù)。

3.2 角度測量實(shí)驗(yàn)

多邊系統(tǒng)測量空間點(diǎn)坐標(biāo)的測量不確定度與標(biāo)定不確定度有關(guān),系統(tǒng)測量被測物坐標(biāo)的誤差受標(biāo)定誤差影響。為了對比重組標(biāo)定優(yōu)化方法和其他標(biāo)定方法對測角誤差的影響,采用6臺激光跟蹤干涉儀、1個(gè)靶球和分辨率為1″的高精度回轉(zhuǎn)臺進(jìn)行測量。不同布局下均使回轉(zhuǎn)臺從零位轉(zhuǎn)動(dòng)到30°、90°、180°、270°、360°,將轉(zhuǎn)臺示值作為參考值。實(shí)驗(yàn)裝置見圖5,靶球放置于初始點(diǎn)P1靶座上采集6臺基站的初始測長,再移至轉(zhuǎn)臺平面的靶座上開始測量。

圖5 角度測量Figure 5 angle measurement

控制轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動(dòng)360°,獲取6臺激光跟蹤干涉儀測量的靶球整周的軌跡點(diǎn),通過最小二乘法對整圓軌跡點(diǎn)擬合得到軌跡的圓心。再使轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動(dòng)不同角度,測量靶球在起始點(diǎn)和終點(diǎn)的空間坐標(biāo),并結(jié)合圓心坐標(biāo)計(jì)算兩向量間的夾角,作為測量的角度,將其與轉(zhuǎn)臺示值角度作比較。在兩種布局下進(jìn)行實(shí)驗(yàn),采用標(biāo)定方法1～4各自標(biāo)定的基站坐標(biāo)對同組角度測量數(shù)據(jù)進(jìn)行解算,各自的測量誤差見表5和表6。

表5 布局1實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表6 布局2實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對于布局1的角度測量,分別采用4種標(biāo)定方式標(biāo)定的系統(tǒng)參數(shù)參與靶球坐標(biāo)的解算并計(jì)算角度。根據(jù)表5數(shù)據(jù),重組優(yōu)化標(biāo)定后測量的角度誤差比不重組單組標(biāo)定和兩種取均值的標(biāo)定得到的誤差小。標(biāo)定1不重組的單組標(biāo)準(zhǔn)距離標(biāo)定后所測量的角度誤差區(qū)間為[-7″,8″],重組優(yōu)化標(biāo)定后所測量的角度誤差區(qū)間為[-7″,6″]。

對于布局2的角度測量,分別采用4種標(biāo)定方式標(biāo)定的系統(tǒng)參數(shù)參與靶球坐標(biāo)的解算并計(jì)算角度。根據(jù)表6數(shù)據(jù),重組優(yōu)化標(biāo)定對應(yīng)的測量誤差依然比其他三種標(biāo)定對應(yīng)的誤差小。標(biāo)定1不重組的單組標(biāo)定后所測量的角度誤差區(qū)間為[-13″,13″],采用重組優(yōu)化標(biāo)定后所測量的角度誤差區(qū)間為[-11″,11″]。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在不同布局下,重組優(yōu)化標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)距離誤差與不重組單組標(biāo)定相比有不同程度的減小。同時(shí)對比了在增加固定點(diǎn)標(biāo)定次數(shù)時(shí),標(biāo)定方式2～4的不同數(shù)據(jù)處理方式對測量結(jié)果的影響,表明重組優(yōu)化標(biāo)定對于減小測量誤差的效果最為明顯。布局1中,重組優(yōu)化標(biāo)定使測角誤差由8″減小到5″;布局2中,重組優(yōu)化標(biāo)定使測角誤差由13″減小到11″。

4 結(jié) 語

本文提出一種多邊測量系統(tǒng)的標(biāo)定優(yōu)化方法,該優(yōu)化方法通過增加距離約束固定端點(diǎn)的采集次數(shù),對固定點(diǎn)標(biāo)定數(shù)據(jù)重新組合,擴(kuò)大標(biāo)定數(shù)據(jù)組數(shù)。組合后的每組標(biāo)定測長作為標(biāo)準(zhǔn)距離約束算法的約束條件進(jìn)行迭代求解,剔除標(biāo)定誤差最大的組合,對剩余組繼續(xù)迭代篩選標(biāo)定得到標(biāo)定測長的最優(yōu)組合。仿真對比了不同標(biāo)定方式對系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定誤差的影響,再通過不同布局的角度測量實(shí)驗(yàn)對比了不同標(biāo)定方法在不同布局下的測量效果。重組優(yōu)化標(biāo)定對于兩布局角度測量誤差區(qū)間由[-7″,8″]、[-13″,13″]分別減小為[-7″,6″]、[-11″,11″]。該方法使標(biāo)準(zhǔn)距離的標(biāo)定誤差減小以提高系統(tǒng)參數(shù)的標(biāo)定誤差,進(jìn)而降低了不同布局的測量誤差,表明該方法能夠有效剔除受干涉測距誤差影響較大的固定測長數(shù)據(jù),且適用于不同布局。