范 博, 王忠民

(1. 西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院,西安 710048; 2. 西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,西安 710048; 3. 黃河科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 鄭州 450006)

彈性基環(huán)模型(ring on the elastic foundation,REF)由彈性基和柔性環(huán)兩部分組成,被廣泛應(yīng)用于柔性齒輪[1]、子午線輪胎[2]和機(jī)械彈性輪[3]等旋轉(zhuǎn)柔性部件的動(dòng)力學(xué)特性分析中。其彈性基一般由人工彈簧組和內(nèi)壓兩部分組成,通過模態(tài)分析試驗(yàn)[4-5],可以得到人工彈簧組的周向/徑向剛度。根據(jù)柔性環(huán)的不同假設(shè),平面內(nèi)REF模型可分為三種類型:基于Euler-Bernoulli彎曲梁的經(jīng)典REF、基于Timoshenko彎曲梁的薄壁REF和基于平面應(yīng)力問題的厚壁REF。

經(jīng)典的REF最初是由Tielking[6]提出的。在隨后續(xù)的研究中,將經(jīng)典REF的柔性環(huán)視為由不可擴(kuò)展線彈性材料[7]、可擴(kuò)展線彈性材料或可擴(kuò)展超彈性材料[8]制成的Euler-Bernoulli曲梁?？紤]到橫向剪切應(yīng)變,Vu等[9]假設(shè)柔性環(huán)為Timoshenko曲梁,建立了一個(gè)薄壁REF模型,并分析了其線性振動(dòng)特性。Lu等[10]考慮了Timoshenko梁理論之外的高階剪切修正因子,建立了高階薄壁REF。岳曉峰等[11]結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù),利用有限元軟件建立了超彈性薄壁REF,分析了子午線輪胎的振動(dòng)特性。在上述REF模型中,柔性環(huán)都被視為環(huán)形梁,故忽略了柔性環(huán)徑向應(yīng)變對(duì)于模型動(dòng)力學(xué)特性的影響,因此這些模型只能用于分析薄壁結(jié)構(gòu)。在Lu等[12-13]的后續(xù)研究中,考慮了柔性環(huán)的徑向應(yīng)變,并開發(fā)了一個(gè)線彈性厚壁REF模型來探討彈性基剛度對(duì)柔性環(huán)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。就作者所知,關(guān)于超彈性厚壁REF的動(dòng)力學(xué)研究目前在國內(nèi)外仍然是一個(gè)空白。

Shabana[14]提出的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(absolute nodal coordinate formulation,ANCF)框架不區(qū)分隨動(dòng)坐標(biāo)系,在固定坐標(biāo)系中建立的動(dòng)力學(xué)方程中質(zhì)量矩陣為常數(shù)矩陣,且不含有離心力項(xiàng)和Coriolis力項(xiàng)。魏永[15]在不區(qū)分隨動(dòng)坐標(biāo)系的框架下,利用達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)了高速電鋸片的離心力項(xiàng),在忽略Coriolis力條件下,分析了旋轉(zhuǎn)速度對(duì)于振動(dòng)頻率的影響。Chen等[16]利用隨動(dòng)坐標(biāo)系和固定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系,推導(dǎo)了平面內(nèi)柔性梁彎曲過程中廣義離心力和Coriolis力。Fan等[17]建立了具有隨動(dòng)坐標(biāo)系的ANCF框架,利用自適應(yīng)曲梁單元建立了一種經(jīng)典REF模型,探究了忽略Coriolis力條件下子午線輪胎的振動(dòng)特性。

Mooney[18]通過物質(zhì)相變理論和大量試驗(yàn),利用Cauchy-Green變形梯度張量的基本不變量建立了超彈性材料應(yīng)變能密度Mooney-Rivlin模型。Yeoh模型[19]也采用相似的表達(dá)形式對(duì)超彈性材料的應(yīng)變能密度進(jìn)行定義。同樣階數(shù)下,由于不考慮Cauchy-Green變形梯度張量的第二不變量的作用,Yeoh模型要比Mooney-Rivlin模型在形式上要簡單。在文獻(xiàn)[20-22]中試圖在ANCF的框架下,結(jié)合上述兩種應(yīng)變能函數(shù)模型對(duì)超彈性材料的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。但是由于這些模型中都含有Cauchy-Green變形梯度張量的基本不變量的一次項(xiàng),這會(huì)導(dǎo)致在無應(yīng)變的狀態(tài)下系統(tǒng)的仍具有較大的偽初始廣義彈性力。在其他文獻(xiàn)中沒有提出偽初始廣義彈性力存在的問題,更沒有對(duì)這個(gè)偽初始廣義彈性力進(jìn)行補(bǔ)償。

在具有隨動(dòng)坐標(biāo)系的ANCF框架下,本文提出RAAE(rotating ANCF annular-sector element)單元,建立厚壁REF模型?；赮oeh本構(gòu)模型推導(dǎo)了厚壁REF模型的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程,并基于振動(dòng)平衡位置建立了該模型的線性化運(yùn)動(dòng)微分方程。通過與其他文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了該模型的有效性,并通過一系列控制參數(shù)變量的計(jì)算預(yù)測(cè)了該模型的動(dòng)力學(xué)特性。與其他研究不同的是,在本文中討論偽初始廣義彈性力對(duì)于振動(dòng)平衡位置的影響,并且討論在Coriolis力作用下厚壁REF模型振動(dòng)頻率隨旋轉(zhuǎn)變化的規(guī)律。

1 位置場(chǎng)描述

圖1 厚壁REF模型和RAAE單元

如圖1(b)所示,RAAE單元的變形過程可以被分解為2個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成:一個(gè)是RAAE單元隨著隨動(dòng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)由絕對(duì)初始位置剛體運(yùn)動(dòng)到相對(duì)初始位置;另一個(gè)是RAAE單元在隨動(dòng)坐標(biāo)系內(nèi)由相對(duì)初始位置發(fā)生柔性變形到相對(duì)變形位置。

在O-XY中,在隨動(dòng)坐標(biāo)系O-XY中,RAAE單元的相對(duì)位置可以用用無量綱坐標(biāo)ξ和η的插值函數(shù)表示為

X=A0+A1ξ+A2ξ2+A3ξ3+A4η+A5η2+

A6η3+A7ξη+A8ξ2η+A9ξη2+A10ξ2η2+

A11ξ3η+A12ξη3+A13ξ3η2+A14ξ2η3+A15ξ3η3

Y=B0+B1ξ+B2ξ2+B3ξ3+B4η+B5η2+

B6η3+B7ξη+B8ξ2η+B9ξη2+B10ξ2η2+

B11ξ3η+B12ξη3+B13ξ3η2+B14ξ2η3+B15ξ3η3

根據(jù)雙三階Hermite插值函數(shù),RAAE單元相對(duì)初始位置場(chǎng)函數(shù)R0和相對(duì)變形位置場(chǎng)函數(shù)R可以被表示為

(1)

R=S(ξ,η)qij(t)

(2)

RAAE單元的相對(duì)變形廣義單元坐標(biāo)qij(t)可以寫為

qij=[(Nij)T(Ni(j+1))T(N(i+1)j)T(N(i+1)(j+1))T]T(3)

(4)

(6)

其中,

(7)

(8)

(9)

(10)

式中,φi=2π/n。

RAAE單元的形函數(shù)S(ξ,η)為2×32矩陣可以被表示為

S=[S11ajS21bjS12ajbjS22

S31ajS41bj+1S32ajbj+1S42

S13ajS23bjS14ajbjS24

S33ajS43bj+1S34ajbj+1S44]

(11)

在形函數(shù)S(ξ,η)中Sαβ(α,β為下標(biāo)識(shí)符表示1,2,3,4)可以被寫為

Sαβ=Sα(ξ)Sβ(η)I2×2

(12)

(13)

設(shè)厚壁REF模型在隨動(dòng)坐標(biāo)系O-XY中初始和變形后全局相對(duì)位置的廣義坐標(biāo)分別為q0和q(t),通過引入布爾矩陣Bij,可以將RAAE單元相對(duì)初始廣義坐標(biāo)和相對(duì)變形后廣義坐標(biāo)表示為

(14)

qij=Bijq(t)

(15)

(16)

(17)

其中,

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中,下標(biāo)?=ξ或η為矩陣或向量對(duì)坐標(biāo)ξ或η求一階導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)式(23),絕對(duì)變形位置場(chǎng)函數(shù)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可以表示為

(24)

(25)

2 廣義彈性力和廣義剛度矩陣

2.1 超彈性厚壁環(huán)體的廣義超彈性力和廣義剛度矩陣

(26)

其中,

(27)

(28)

令

(29)

假設(shè)模型軸向線段在變形前后的長度和方向都不發(fā)生變化,那么模型在空間中Cauchy-Green應(yīng)變張量C可以被寫為

(30)

(31)

(32)

將不可壓應(yīng)變能函數(shù)理解為與體積變形無關(guān)的等積(偏量)應(yīng)變能,再添加僅與體積比μ有關(guān)的體積(靜水)應(yīng)變能部分。為了避免計(jì)算過程中的體積閉鎖現(xiàn)象,超彈性材料的Yeoh模型的應(yīng)變能密度函數(shù)被表示為

(33)

式中:I1=tr(C);μ2=I3=det(C);α為體積應(yīng)變能參數(shù)。

必須指出的是由于應(yīng)變能密度函數(shù)中存在Cauchy-Green變形梯度張量的基本不變量的一次項(xiàng),當(dāng)超彈性材料在初始狀態(tài)下(此時(shí),I1=3和μ=1),會(huì)存在

(34)

根據(jù)式(33)可得,超彈性環(huán)的彈性力的虛功可以被表示為

δWR(q)=δqTQR(q)

(35)

(36)

式中:h為環(huán)的橫向(垂直于平面方向)高度;Aj為單元初始面積,Aj=aj(bj+bj+1)/2;QR為超彈性環(huán)體的廣義彈性力列陣。

超彈性環(huán)體的廣義剛度矩陣可以被表示為

在沒有任何柔性變形發(fā)生的相對(duì)初始位置場(chǎng),超彈性環(huán)體的初始廣義彈性力應(yīng)當(dāng)為0。根據(jù)式(34)和式(36)可以推導(dǎo),在相對(duì)初始位置場(chǎng),超彈性環(huán)體具有偽廣義彈性力,即QR(q0)≠0。在文獻(xiàn)[23]中都沒有對(duì)這個(gè)偽初始廣義彈性力進(jìn)行討論和補(bǔ)償。

2.2 彈性基的廣義彈性力和廣義剛度矩陣

厚壁REF模型的彈性基由人工彈簧組和內(nèi)壓兩部分組成。

根據(jù)胡克定律,環(huán)內(nèi)壁單位面積內(nèi)人工彈簧組的應(yīng)變能面密度函數(shù)可以寫成

(38)

式中,u和v分別為環(huán)體內(nèi)緣邊界上任意一點(diǎn)沿初始徑向和環(huán)向量的位移。它們可以根據(jù)幾何關(guān)系表示為

(39)

根據(jù)式(39),式(38)可以被改寫為

(40)

人工彈簧組彈性力的虛功可以被表示為

δWS(q)=δqTQS(q)

(41)

(42)

式中,QS為人工彈簧組的廣義彈性力列陣。

人工彈簧組的廣義剛度矩陣可以被表示為

(43)

假設(shè)旋轉(zhuǎn)超彈性厚壁REF在變形過程中內(nèi)部壓力和溫度不會(huì)發(fā)生變化。在此理想假設(shè)下,內(nèi)壓的應(yīng)變能密度函數(shù)可以寫成

UP=P0ΔV

(44)

基于軸向線段不變假設(shè),厚壁REF內(nèi)腔的微元體積變化可以被表示為

(45)

根據(jù)式(45),式(44)可以被改寫為

(46)

內(nèi)壓在變形過程中的虛功可以被表示為

δWP(q)=δqTQP(q)

(47)

(48)

式中:QP為內(nèi)壓的廣義彈性力列矩陣;b1為最內(nèi)側(cè)單元內(nèi)緣的周向長度。

內(nèi)壓的廣義剛度矩陣可以被表示為

(49)

3 非線性動(dòng)力學(xué)微分方程

基于法線段不變假設(shè),厚壁REF的慣性力做的虛功可以表示為

(50)

將式(21)和式(25)代入式(50),可得

(52)

式中,M為超彈性厚壁REF模型的廣義質(zhì)量矩陣。

虛功原理為

δWT+δWR+δWS+δWP=δWW

(53)

式中,δWW為廣義外力的功。

將式(50),式(35),式(41)和式(47)代入式(52),并對(duì)偽初始廣義彈性力進(jìn)行補(bǔ)償,經(jīng)過運(yùn)算可得旋轉(zhuǎn)超彈性厚壁REF模型的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程為

(54)

QE(q)=QR(q)-QR(q0)+QS(q)+QP(q)

(55)

式中,單下劃線和雙下劃線項(xiàng)分別為廣義Coriolis力和離心力項(xiàng)。

若超彈性厚壁REF模型以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(角速度Ω)時(shí),式(54)可以被轉(zhuǎn)化為

(56)

令qS為平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),則

(57)

通過牛頓迭代法可以求得qS。

(58)

根據(jù)泰勒一階展開式,可得

(59)

將式(57)和(59)代入式(58),可得

(60)

設(shè)δqS=Aejωt代入式(60)得

(61)

式中,A為特征向量。式(61)有非零解的充要條件為

(62)

式中:ω=[ω(0,0)ω(1,0)ω(0,1)Fω(0,1)B…ω(N,M)Bω(N,M)F],下標(biāo)N為節(jié)圓數(shù),M為節(jié)徑數(shù),F為前行波,B為后行波。需要指出的是,q為的全局相對(duì)變形廣義坐標(biāo),固有頻率中ω(N,M)F,ω(N,M)B為隨動(dòng)坐標(biāo)系O-XY中的前后行波頻率。

(63)

4 數(shù)值計(jì)算與分析

基于岳曉峰等的試驗(yàn)數(shù)據(jù),建立超彈性厚壁REF模型,相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)

在模型中添加向心的集中載荷F=3 750 N。如圖2所示,當(dāng)單元分布為20×1和30×2時(shí),模型加載點(diǎn)的局部變形幾乎完全相同。這說明單元?jiǎng)澐譃?0×1時(shí),超彈性厚壁REF模型具有較好的收斂性。

圖2 不同單元分布的受載模型的平衡位置

根據(jù)Yeoh模型的本構(gòu)參數(shù),可得等效線彈性厚壁REF模型的剪切模量G*=2C10,彈性模量E*=α以及泊松比ν*=0.5。如圖3所示,在相同載荷條件和單元離散方式下,超彈性和等效線彈性模型具有相似的平衡位置。這間接說明了本文模型的有效性。

圖3 超彈性模型和等效線彈性模型的平衡位置

如圖4所示,偽初始廣義彈性力不進(jìn)行補(bǔ)償時(shí),超彈性厚壁REF模型的平衡位置處,環(huán)壁厚度減小,并且每一個(gè)單元都出現(xiàn)了相似的畸變。為了保證所求平衡位置的準(zhǔn)確性,偽初始廣義彈性力應(yīng)當(dāng)要進(jìn)行補(bǔ)償。

圖4 無初始彈性力補(bǔ)償時(shí)受載模型的的平衡位置

在自由狀態(tài)下,部分試驗(yàn)振型和本文模型振型如圖5所示,自由振動(dòng)的部分頻率分析結(jié)果如表2所示。通過對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果和超彈性薄壁REF模型的結(jié)果,說明本文所建立的超彈性厚壁REF模型可以有效地分析子午線輪胎的振動(dòng)特性。

表2 自由振動(dòng)的部分頻率

圖5 自由狀態(tài)下振型

除此之外,利用超彈性厚壁REF模型分別計(jì)算得出了(0,0),(1,0)和(0,1)階頻率和振型,如表3所示。

表3 (0,0),(1,0)和(0,1)階自由振動(dòng)頻率

分別假設(shè)模型的彈性基參數(shù)為kξ=2.5×10λPa,kη=2×10λ2Pa和P0=2.5×10λ3Pa。如圖6所示,在表1所示模型參數(shù)的基礎(chǔ)上,通過改變單一彈性基參數(shù)可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)彈簧剛度超過2×104Pa時(shí),模型的各階頻率開始隨其的增大而增大。當(dāng)徑向彈簧剛度超過2.5×1016Pa,切向彈簧剛度超過2×1012Pa模型的各階頻率開始趨于收斂。內(nèi)壓大于2×104Pa時(shí),模型的各階頻率會(huì)隨著內(nèi)壓的增大而增大。由于內(nèi)壓過大,不符合實(shí)際情況,故沒有進(jìn)一步的分析。

圖6 彈性基參數(shù)對(duì)于振動(dòng)頻率的影響

如圖7所示,由于模型環(huán)內(nèi)緣被彈性基所約束,造成模型結(jié)構(gòu)剛度分布不均勻。隨著環(huán)壁厚度a的增加,超彈性模型的各階頻率先增加后減少。當(dāng)環(huán)壁厚度為0.05 m時(shí),相對(duì)于其他組別,模型的各階頻率最大。高階頻率受環(huán)壁厚度影響比低階頻率更加明顯。

圖7 環(huán)壁厚度對(duì)于振動(dòng)頻率的影響

圖8 在中,角速度對(duì)于振動(dòng)頻率的影響

5 結(jié) 論

本文基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法,利用平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)環(huán)扇形單元構(gòu)建了厚壁REF模型,并應(yīng)用此模型分析了子午線輪胎的面內(nèi)振動(dòng)特性。具體結(jié)論如下:

(1)采用Yeoh模型和近似不可壓縮超彈性應(yīng)變能密度模型時(shí),由于其含有Cauchy-Green變形梯度張量的基本不變量的一次項(xiàng),在初始狀態(tài)下,會(huì)存在偽廣義彈性力,需要對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償。否則,會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)平衡狀態(tài)的求解,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤。

(2)模型各階振動(dòng)頻率會(huì)隨著彈性基參數(shù)的增大呈現(xiàn)出3個(gè)變化階段,最初振動(dòng)頻率緩慢增大,然后迅速增大,最后增大速度降低振動(dòng)頻率趨于收斂。隨著環(huán)壁厚度的增大,模型各階振動(dòng)頻率先增大,后減小。

(3)當(dāng)振型周向振動(dòng)波數(shù)為0時(shí),其對(duì)應(yīng)頻率不會(huì)隨著旋轉(zhuǎn)速度的變化而出現(xiàn)明顯的改變。當(dāng)振型周向振動(dòng)波數(shù)大于0時(shí),隨著轉(zhuǎn)速的增大,對(duì)應(yīng)頻率會(huì)分裂為2個(gè)行波頻率。算例中,子午線輪胎的第一階臨界角速度為285 rad/s。