胡昊灝, 周石頭, 趙 傲, 蔣哲倫

(江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

水下航行器中高航速行駛時(shí),會(huì)在結(jié)構(gòu)表面產(chǎn)生湍流脈動(dòng)壓力,并引起流激振動(dòng)噪聲[1]。準(zhǔn)確預(yù)報(bào)航行體流激噪聲,對(duì)水下結(jié)構(gòu)減振降噪和聲隱身有重要意義[2-3]。由于這類噪聲涉及到流場(chǎng)、結(jié)構(gòu)、聲場(chǎng)等多重因素,且具有典型時(shí)空隨機(jī)性,所以研究起來存在難度。

Graham[4]通過模態(tài)展開法建立了流激平板聲輻射的解析理論,為掌握流激噪聲產(chǎn)生規(guī)律奠定了理論基礎(chǔ)。當(dāng)水下結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜時(shí),解析公式不再適用,Chevalier等[5]總結(jié)了水下航行器流激自噪聲和輻射噪聲的工程數(shù)值預(yù)報(bào)方法,小尺度模型一般先采用計(jì)算流體動(dòng)力學(xué) (computational fluid dynamics,CFD)大渦模擬計(jì)算結(jié)構(gòu)表面湍流脈動(dòng)壓力,然后導(dǎo)入聲振有限元模塊計(jì)算流激聲輻射,而對(duì)于大尺度模型CFD計(jì)算效率無法滿足工程要求,一般用半經(jīng)驗(yàn)公式描述湍流脈動(dòng)壓力,呂世金等[6]通過風(fēng)洞測(cè)量獲取了回轉(zhuǎn)體表面的湍流脈動(dòng)壓力,發(fā)現(xiàn)測(cè)試結(jié)果與Corcos模型經(jīng)驗(yàn)公式有較好的一致性。Maxit等[7]比較了采用空間-頻率譜和波數(shù)-頻率譜兩種形式的湍流脈動(dòng)壓力經(jīng)驗(yàn)公式數(shù)值求解流激噪聲的計(jì)算效率,指出空間-頻率譜有限元法由于要構(gòu)造大維數(shù)激勵(lì)力矩陣,對(duì)內(nèi)存占用嚴(yán)重(即使采用矩陣分解法依然如此),從而導(dǎo)致計(jì)算效率低,而波數(shù)-頻率譜則能明顯降低內(nèi)存占用,同時(shí)物理意義更清晰,然而關(guān)于波數(shù)-頻率譜形式的有限元法研究目前還很少。

Aucejo等[8]提出了一種用于替代風(fēng)洞中測(cè)量流激振動(dòng)的試驗(yàn)方案,該方法用若干組空間隨機(jī)分布的非相關(guān)平面波疊加來替代湍流脈動(dòng)壓力波數(shù)-頻率譜。本文在此基礎(chǔ)上,提出一種基于非相關(guān)平面波疊加的方法合成湍流脈動(dòng)壓力,并結(jié)合有限元模塊建立波數(shù)-頻率域的流激噪聲數(shù)值預(yù)報(bào)方法,探索了相關(guān)參數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響。

1 平板流激聲輻射基本理論

如圖1所示,長(zhǎng)為L(zhǎng)x,寬為L(zhǎng)y的矩形平板四邊簡(jiǎn)支在無限大剛性障板上,在充分發(fā)展的湍流作用下,計(jì)算上半空間無限大聲場(chǎng)的流激輻射噪聲,這里假設(shè)彈性板的振動(dòng)不會(huì)對(duì)流場(chǎng)產(chǎn)生影響。

圖1 流激平板聲輻射示意圖

此時(shí)彈性板的運(yùn)動(dòng)方程為

D?4w(x,y)-ρshω2w(x,y)=-pt(x,y)+pa(x,y)

(1)

式中:w為板法向位移;ρt為作用在板表面的湍流脈動(dòng)壓力;pa為板表面聲壓負(fù)載。通過解析法可以求得彈性板振速譜Svv(x,ω)和輻射聲功率譜Πrad(ω)

(2)

Πrad(ω)=

(3)

式中:ΦPP(k,ω)為湍流脈動(dòng)壓力波數(shù)-頻率譜;Hp(x,k,ω),Hp(x,k,ω)分別為振動(dòng)傳遞函數(shù)以及聲壓傳遞函數(shù),其物理意義為在波數(shù)為k單位平面波激勵(lì)下,x位置處的振速或聲壓響應(yīng)。

2 非相關(guān)平面波流激聲輻射有限元法

2.1 非相關(guān)平面波疊加等效法

用非相關(guān)平面波疊加來合成湍流脈動(dòng)壓力,是指通過一組空間隨機(jī)分布的廣義平面波疊加來等效湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)力,該技術(shù)的關(guān)鍵是獲得平面波的等效幅值,具體的理論如下:

假設(shè)每一組平面波(這里指的廣義平面波)的表達(dá)式為

Pxy(x,y,t)=Axy(t)ejkxx+jkyy

(4)

式中:Axy(t)為平面波幅值;kx,ky分別為x,y方向的波數(shù)。

對(duì)空間任意兩點(diǎn)處的平面波作統(tǒng)計(jì)相關(guān)運(yùn)算然后作傅里葉變換,得到空間-頻率譜函數(shù)表達(dá)式為

SPxyPxy(ξx,ξy,ω)=SAxyAxy(ω)ejkxξx+jkyξy

(5)

式中:ξx,ξy分別為空間兩點(diǎn)沿x軸和y軸的空間距離;SAxyAxy(ω)為平面波的自譜。

當(dāng)多組形如(4)式的平面波疊加作用時(shí),空間某點(diǎn)(x,y)處的壓力之和為

(6)

由于假設(shè)了各組平面波之間非相關(guān),那么滿足當(dāng)x≠x′,y≠y′時(shí)

SAxyAx′y′(ω)=0

(7)

相應(yīng)的總壓力空間-頻率譜密度函數(shù)為

(8)

式(4)～式(8)給出了多組平面波疊加后的總壓力空間-頻率譜,下面要將這種譜與湍流脈動(dòng)壓力波數(shù)-頻率譜建立聯(lián)系。

由空間傅里葉變換關(guān)系可知,湍流脈動(dòng)壓力的空間-頻率譜與波數(shù)-頻率譜滿足如下關(guān)系

SPP(ξx,ξy,ω)=

(9)

式中,ΦPP(kx,ky,ω)可由脈動(dòng)壓力的波數(shù)-頻率譜經(jīng)驗(yàn)公式給出。對(duì)式(9)的積分進(jìn)行波數(shù)域離散得到

SPP(ξx,ξy,ω)=

(10)

對(duì)比式(8)和式(10)可知,當(dāng)自譜SArsArs(ω)滿足式(11)時(shí),湍流脈動(dòng)壓力波數(shù)-頻率譜可由多組非相關(guān)平面波疊加來等效

(11)

2.2 流激聲輻射有限元法流程

由2.1節(jié)分析可知合成的湍流脈動(dòng)壓力表達(dá)式為

(12)

式中,φij為均勻分布在[0,2π]上的空間隨機(jī)相位,表示平面波是空間非相關(guān)的。

(13)

(14)

式中,α1=0.116,α3=0.7分別為沿流向和展向的衰減系數(shù)。

表達(dá)式(12)將湍流脈動(dòng)壓力隨機(jī)激勵(lì)轉(zhuǎn)化為一種確定性激勵(lì),此時(shí)可以通過常規(guī)有限元聲振耦合技術(shù)來計(jì)算流激振動(dòng)聲輻射,對(duì)應(yīng)的有限元方程為

(15)

式中:ul為結(jié)構(gòu)位移;pl為輻射聲壓;K,H,M分別為剛度矩陣、耦合矩陣和質(zhì)量矩陣;下標(biāo)s和f分別為結(jié)構(gòu)和流體。

本文對(duì)式(15)的求解過程是在商業(yè)有限元軟件Comsol平臺(tái)實(shí)現(xiàn)的,得到ul和pl后,結(jié)構(gòu)的流激振動(dòng)自譜以及輻射聲功率譜分別為

Svv=-ω2E(uu*)

(16)

(17)

式中,E為數(shù)學(xué)期望。

計(jì)算流程如圖2所示,首先利用式(12)得到等效平面波的幅值,將多組空間隨機(jī)分布的平面波通過接口加載到Comsol平臺(tái)建立聲振耦合模型,將各組平面波激勵(lì)下的響應(yīng)進(jìn)行平均即可得到流激振動(dòng)與聲輻射。

圖2 計(jì)算流程圖

3 算法驗(yàn)證

由前邊理論可知,湍流脈動(dòng)壓力是由多組隨機(jī)平面波(見式(12))所合成,因此最終的流激振動(dòng)聲輻射響應(yīng)由各組平面波激勵(lì)下的響應(yīng)取平均值得到,圖3展示了各組平面波激勵(lì)下的響應(yīng)曲線,圖中黑色實(shí)線為各組響應(yīng)的均值,后續(xù)計(jì)算分析中均采用此法。

例如，在學(xué)習(xí)《多位數(shù)乘一位數(shù)》這部分內(nèi)容的時(shí)候，我為了讓學(xué)生能夠熟練地口算各種算式，我把學(xué)生分成了男女兩隊(duì)，讓學(xué)生進(jìn)行搶答對(duì)抗競(jìng)賽，男女兩隊(duì)在活動(dòng)中，表現(xiàn)得特別踴躍，比賽狀況十分膠著，兩隊(duì)都鉚足了勁兒，要比出個(gè)上下來，通過組織這樣的對(duì)抗競(jìng)賽，活躍了學(xué)生的思維的同時(shí)，學(xué)生為了取得好成績(jī)，都積極地開動(dòng)腦筋搶答問題，而且在競(jìng)賽中學(xué)生之間互相合作、團(tuán)結(jié)互助，促進(jìn)了學(xué)生之間的友誼，我對(duì)學(xué)生在競(jìng)賽中的良好表現(xiàn)做出了表揚(yáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)的勁頭更足了，這樣一來，這次的趣味性教學(xué)獲得了圓滿成功。

圖3 多組激勵(lì)下的平均響應(yīng)

為了驗(yàn)證第2節(jié)中算法的正確性,在有限元軟件Comsol中建立如圖4所示的四邊簡(jiǎn)支平板的有限元聲振耦合模塊,將多組等效平面波激勵(lì)分別加載到彈性板表面,利用圖3中的處理方法得到最終的平均響應(yīng)。將有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果與流激平板解析值進(jìn)行對(duì)比,來驗(yàn)證本文算法的正確性。

圖4 有限元模型示意圖

彈性板尺寸為L(zhǎng)x=Ly=0.5 m,厚度h=5 mm,材料為鋼板,來流速度為U∞=5 m/s,后續(xù)計(jì)算分析均用此組參數(shù)。從圖5可看出,本文算法與解析算法有較好的一致性,說明湍流脈動(dòng)壓力平面波等效合成方法結(jié)合有限元計(jì)算能夠準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)流激聲輻射。圖中低頻時(shí)兩者有一定的誤差,可能是因?yàn)榻馕鼋饧僭O(shè)了無限大剛性障,而有限元法只能取有限尺寸的障板。

圖5 算法驗(yàn)證

4 參數(shù)分析

由合成的湍流脈動(dòng)壓力表達(dá)式(12)可知,影響流激振動(dòng)聲輻射精度的因素包括截?cái)嗖〝?shù)范圍、波數(shù)分辨率、平面波組數(shù),另外有限元網(wǎng)格的劃分準(zhǔn)則也會(huì)影響計(jì)算精度,本節(jié)就這些問題展開討論。

4.1 截?cái)嗖〝?shù)選取原則

圖6 湍流脈動(dòng)壓力波數(shù)頻率譜

圖7 平板振動(dòng)傳遞函數(shù)波數(shù)頻率譜

從圖6可看出,湍流脈動(dòng)壓力最大值分布在遷移波數(shù)附近(白色虛線)。從圖7可看出,平板振動(dòng)傳遞函數(shù)響應(yīng)最大值主要分布在小于等于彎曲波數(shù)的范圍內(nèi)。從圖8可看出,流激振動(dòng)響應(yīng)的最大值也分布在彎曲波數(shù)附近。事實(shí)上只有當(dāng)流速非常高時(shí),流體遷移波數(shù)才能與結(jié)構(gòu)彎曲波數(shù)耦合。因此這里初步將截?cái)嗖〝?shù)上限取定為結(jié)構(gòu)彎曲波數(shù)。

圖與乘積波數(shù)頻率譜

為了精細(xì)確認(rèn)截?cái)嗖〝?shù)對(duì)流激聲輻射的影響,圖9給出了0.5kf和1kf,2kf(kf為彎曲波數(shù))四種截?cái)嗖〝?shù)下的輻射聲功率曲線,可以看出截?cái)嗖〝?shù)取兩倍彎曲波數(shù)Kcutoff時(shí),計(jì)算結(jié)果收斂。圖10給出了1 000 Hz時(shí)兩種截?cái)嗖〝?shù)下(0.5kf與4kf)板表面湍流脈動(dòng)壓力分布,4kf時(shí)的脈動(dòng)壓力場(chǎng)更精細(xì)。

圖9 截?cái)嗖〝?shù)的影響

圖10 不同截?cái)嗖〝?shù)對(duì)湍流脈動(dòng)壓力場(chǎng)的影響

4.2 波數(shù)分辨率的影響

由式(12)可知,波數(shù)分辨率取值會(huì)影響湍流脈動(dòng)壓力譜的精度,原則上分辨率越高(對(duì)應(yīng)波數(shù)分辨率數(shù)值越小)計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。圖11給出了幾種不同波數(shù)分辨率取值對(duì)流激聲輻射的影響,可以看出,波數(shù)分辨率對(duì)低頻聲輻射影響不大,對(duì)高頻聲輻射有一定的影響。綜合考慮計(jì)算量和計(jì)算精度,這里取波數(shù)分辨率為。

圖11 波數(shù)分辨率的影響

4.3 平面波組數(shù)的影響

在合成湍流脈動(dòng)壓力場(chǎng)時(shí),理論上需要無窮多組形如式(12)的平面波疊加,然而在實(shí)際仿真時(shí)只能取有限組數(shù),圖12給出了不同組數(shù)非相關(guān)平面波疊加后的平板流激聲輻射對(duì)比,可以看出隨著平面波組數(shù)的增加,計(jì)算結(jié)果趨于收斂,平面波取10組與取20組的計(jì)算結(jié)果基本一致,綜合考慮計(jì)算量的因素,這里取10組非相關(guān)平面波來合成湍流脈動(dòng)壓力場(chǎng)。

圖12 平面波組數(shù)的影響

4.4 網(wǎng)格密度的影響

在采用有限元法計(jì)算聲振耦合問題時(shí),網(wǎng)格密度是影響計(jì)算精度的關(guān)鍵因素,尤其對(duì)于流激聲振耦合問題的網(wǎng)格密度,不僅要考慮彈性結(jié)構(gòu)、聲場(chǎng)因素,還要考慮湍流脈動(dòng)壓力的空間分布,文獻(xiàn)[9]指出,要獲得收斂的流激振動(dòng)聲輻射結(jié)果,網(wǎng)格劃分密度要遠(yuǎn)超常規(guī)的一個(gè)波長(zhǎng)6個(gè)節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)則,因此計(jì)算時(shí)間成本很大,無法用于分析一般工程問題。

另一方面,由于流激振動(dòng)聲輻射是隨機(jī)問題,所以湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)要考慮空間各點(diǎn)的互譜,從而導(dǎo)致激勵(lì)力矩陣維度很大(需要進(jìn)行Choslesky矩陣分解),進(jìn)一步影響了計(jì)算效率。而本文提出的方法,則是將隨機(jī)聲振耦合問題轉(zhuǎn)化為一般的確定性問題,降低了激勵(lì)力矩陣維度,能有效提高計(jì)算效率。

圖13比較了傳統(tǒng)Choslesky分解法與本文算法的計(jì)算結(jié)果,可以看出采用同樣的網(wǎng)格密度,本文算法與解析解有較好的一致性,而采用Choslesky分解法在中高頻有較大的誤差。要指出的是本文算法網(wǎng)格取0.5 mm時(shí)對(duì)應(yīng)于一個(gè)波長(zhǎng)4個(gè)節(jié)點(diǎn)的劃分原則,即網(wǎng)格取π/2kf時(shí),計(jì)算結(jié)果足夠收斂。表1給出了不同算法單頻的計(jì)算時(shí)間,進(jìn)一步表明了本文算法的計(jì)算優(yōu)勢(shì)(所使用計(jì)算機(jī)內(nèi)存為32 GB,CPU為酷睿i7 9700)。

表1 不同工況求解時(shí)間對(duì)比

圖13 網(wǎng)格密度的影響

5 結(jié) 論

本文以非相關(guān)平面波疊加技術(shù)為基礎(chǔ)獲得等效湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì),并結(jié)合有限元聲振耦合模塊計(jì)算結(jié)構(gòu)流激噪聲,將隨機(jī)聲學(xué)問題轉(zhuǎn)化為確定性問題。在深入分析流激噪聲產(chǎn)生機(jī)理的基礎(chǔ)上給出了影響該方法精度的準(zhǔn)則,并得到如下結(jié)論:

(1)本文提出的數(shù)值預(yù)報(bào)方法能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)結(jié)構(gòu)流激振動(dòng)噪聲,并能顯著提高計(jì)算效率。

(2)截?cái)嗖〝?shù)范圍、波數(shù)分辨率、平面波組數(shù)等參數(shù)是影響湍流脈動(dòng)壓力激勵(lì)力準(zhǔn)確性的關(guān)鍵因素,需要根據(jù)文中的準(zhǔn)則進(jìn)行合理設(shè)。

(3)采用非相關(guān)平面波疊加法計(jì)算流激噪聲時(shí),聲振耦合模型有限元網(wǎng)格密度要比傳統(tǒng)方法稀疏,從而減少了計(jì)算負(fù)擔(dān)。

為了使物理意義清晰明了,本文在進(jìn)行流程描述和參數(shù)分析時(shí)均以矩形平板為例,后續(xù)研究將探索采用非相關(guān)平面波疊加法計(jì)算任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的流激噪聲。