王 旭, 顧 勝, 張麗妮, 巫江祥, 何志偉, 劉 營(yíng), 蘆 帥, 錢(qián) 華

(1.上海船舶工藝研究所，上 海200032；2.大連船舶重工集團(tuán)設(shè)計(jì)研究院有限公司，遼寧 大連 116005；3.上海中船臨港船舶裝備有限公司，上海201306；4.上海外高橋造船海洋工程有限公司，上海201306)

0 引 言

船體、甲板所受的彎曲力會(huì)傳遞至肋骨上，承載能力取決于肋骨和船體之間的焊接情況，這就要求肋骨的線型需盡可能貼合船體外形。在數(shù)控肋骨冷彎?rùn)C(jī)的幫助下，能夠按照船廠要求的肋骨線型彎制高精度的肋骨[1]。肋骨冷彎工藝一般分為4步：①船廠提供肋骨線型數(shù)據(jù)文本，其中包含肋骨需要經(jīng)過(guò)的點(diǎn)以及各點(diǎn)的曲率半徑，每根肋骨的點(diǎn)數(shù)一般在十多個(gè)或者數(shù)十個(gè)；②將肋骨線型數(shù)據(jù)文本輸入前處理軟件中，擬合一條完整的肋骨線型；③根據(jù)檢測(cè)距離S0、甩頭(荒料)長(zhǎng)度以及分割數(shù)n，利用弦線法[2]求解該肋骨的理論加工控制量L與θ(L為肋骨彎制點(diǎn)的弦長(zhǎng)，θ為角度)；④將L與θ輸入上位機(jī)，作為傳感器的參考量，進(jìn)行肋骨自動(dòng)冷彎工作[3]。其中，第2步的線型擬合工作至關(guān)重要，高精度的擬合結(jié)果會(huì)產(chǎn)生高精度的L與θ，從而提高肋骨數(shù)控冷彎的精度。

傳統(tǒng)的線型擬合方法：假設(shè)整根肋骨線型是一條三次曲線Y=aX3+bX2+cX+d，其中，a、b、c、d是待求解的參數(shù)；根據(jù)船廠給出的點(diǎn)，利用最小二乘法求解a、b、c、d的最優(yōu)值。該方法的主要缺陷：①已知條件的數(shù)量(十多個(gè)或者數(shù)十個(gè))遠(yuǎn)大于待求解參數(shù)的數(shù)量(4個(gè))，因此最終擬合的三次曲線無(wú)法嚴(yán)格經(jīng)過(guò)全部的給定點(diǎn)；②由于①的緣故，需要額外的誤差分析，但誤差的許可范圍一直沒(méi)有理論依據(jù)；③在擬合過(guò)程中，未考慮船廠給定的曲率半徑，這會(huì)降低擬合結(jié)果的可靠性。

提出一種新型的肋骨線型擬合方法：將整根肋骨線型看成多段的分段三次函數(shù)，每一段肋骨的已知條件數(shù)目為4個(gè)(兩端點(diǎn)的位置和兩端點(diǎn)的曲率半徑)，正好等于三次曲線的系數(shù)數(shù)量，使參數(shù)解靜定。由于考慮曲率半徑，因此會(huì)使方程組非線性，提出將參數(shù)降維以及坐標(biāo)系局部化，可解決非線性方程的高精度求解問(wèn)題。

1 船舶肋骨線型擬合數(shù)學(xué)模型

1.1 已知條件

由廠方提供肋骨線型數(shù)據(jù)的ASCII文本文件和與之對(duì)應(yīng)的肋骨加工參數(shù)的ASCII文本文件，后者包含該肋骨的關(guān)鍵數(shù)據(jù)，其構(gòu)成如圖1所示，其中，點(diǎn)數(shù)為該肋骨上給定點(diǎn)的數(shù)量。由圖1可知：數(shù)據(jù)文本不僅給出每個(gè)點(diǎn)需要經(jīng)過(guò)的坐標(biāo)X和Y，而且給出每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲率半徑。

圖1 肋骨線型數(shù)據(jù)文本內(nèi)容構(gòu)成

1.2 任務(wù)分析

根據(jù)已知條件，船舶肋骨線型擬合需解決的基本問(wèn)題：已知平面內(nèi)點(diǎn)Pi(Xi，Yi，R)和與其相鄰的點(diǎn)Pi+1(Xi+1，Yi+1，Ri+1)，其中，i=1，2，…，N-1；擬合一條平面曲線Y=fi(X)，其中，fi的下標(biāo)“i”表示該曲線在Pi與Pi+1之間。該曲線需滿足下式：

(1)

式中：ri為fi的曲率半徑。

ri表達(dá)式[4]為

(2)

式中：d和d2分別為對(duì)fi的一次微分和二次微分。

1.3 求解模型

由式(1)可知：Pi與Pi+1總共提供4個(gè)已知條件，因此fi中待求解的參數(shù)也設(shè)置為4個(gè)，這樣可使方程組的解靜定。為使fi可二次微分(如此，曲率半徑才有意義)，指定fi為三次曲線，即fi滿足下式的形式：

fi(X)=aiX3+biX2+ciX+di

(3)

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)值優(yōu)化均需要事先指定初始搜索值，如果指定的初值不合適，則易陷入局部最優(yōu)解[5]，甚至錯(cuò)誤最優(yōu)解。對(duì)于設(shè)計(jì)人員來(lái)說(shuō)，ai、bi、ci和di的取值范圍過(guò)于寬泛，均在(-∞，+∞)之間，如何指定合適的初值沒(méi)有準(zhǔn)則，因此不建議直接對(duì)ai、bi、ci和di進(jìn)行求解，可利用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換進(jìn)行降維處理。

1.4 降維處理

肋骨曲線數(shù)值擬合模型如圖2所示，其中，Pi、Pi+1和Pi+2均為已知條件中的給定點(diǎn)，其坐標(biāo)值均在全局坐標(biāo)系OXY下表示。如果直接在OXY下進(jìn)行曲線fi的擬合，缺點(diǎn)如下：①如第1.3節(jié)所述，無(wú)法指定合適的ai、bi、ci和di的初值，優(yōu)化結(jié)果不可靠，甚至錯(cuò)誤；②在OXY下，Pi、Pi+1和Pi+2的坐標(biāo)值一般均較大，數(shù)量級(jí)一般為“千”或者“萬(wàn)”，影響求解精度。

圖2 肋骨曲線數(shù)值擬合模型

基于上述缺點(diǎn)，建立以Pi為原點(diǎn)、PiPi+1為x方向的局部坐標(biāo)系Pixy，其中，y方向是x繞著Pi旋轉(zhuǎn)90°所得(旋轉(zhuǎn)方向?yàn)榧埫嫦蛲?。在Pixy下，Pi坐標(biāo)為(0，0)，Pi+1坐標(biāo)為(L，0)，其中，Li為Pi與Pi+1之間的距離，一般數(shù)量級(jí)為“百”。在Pixy下，肋骨曲線不再是Y=fi(X)，而是y=gi(x)，如圖3所示。只要求解出g，肋骨曲線即可確定。

圖3 在局部坐標(biāo)系下擬合肋骨曲線

曲線gi是三次曲線，按下式計(jì)算：

gi(x)=pix3+qix2+six+ti

(4)

(5)

當(dāng)hi，1和hi，2確定之后，代入式(5)可解出pi、qi、si和ti，曲線gi可確定[6]，即可計(jì)算gi在Pi與Pi+1處的曲率半徑。對(duì)于同一條曲線，曲率半徑的值與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)[7](曲率半徑的幾何性質(zhì))，因此，在OXY下，Y=fi(X)在Pi與Pi+1處的曲率半徑即可求得，將結(jié)果與要求的曲率半徑Ri、Ri+1計(jì)算差值，作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

綜上所述，將肋骨線型的優(yōu)化問(wèn)題從優(yōu)化ai、bi、ci和di這4個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)換為優(yōu)化hi，1和hi，2這2個(gè)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)降維。接下來(lái)的關(guān)鍵問(wèn)題在于hi，1和hi，2的初值如何選取，需要結(jié)合船舶肋骨曲線曲率半徑大的特點(diǎn)。

1.5 初值選取

由圖3可知：當(dāng)hi，1和hi，2均為0時(shí)，gi為一條直線，曲率半徑為無(wú)窮大；當(dāng)hi，1和hi，2逐漸從0變大時(shí)(+y方向變大或者-y方向變大)，gi為一條有彎度的曲線，此時(shí)gi在Pi與Pi+1處的曲率半徑逐漸由大變小?？紤]船舶肋骨曲線曲率半徑大的特點(diǎn)，可將hi，1和hi，2的初值定義為±0.01，具體的正負(fù)號(hào)根據(jù)表1確定，其中，Ri與Ri+1的正負(fù)號(hào)符合右手螺旋定則(繞著紙面向外)。

表1 hi，1和hi，2的初值定義

根據(jù)表1，可總結(jié)hi，1和hi，2的初值選取公式：

(6)

式中：sign為求正負(fù)號(hào)。以此初值，代入相關(guān)優(yōu)化算法，求出符合要求的hi，1和hi，2，即可求出肋骨曲線在局部坐標(biāo)系Pixy下的表達(dá)式。

下一步需要將坐標(biāo)系Pixy下的表達(dá)式轉(zhuǎn)換回原始坐標(biāo)系下，即全局坐標(biāo)系OXY下。

2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如圖4所示。

圖4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示例

假設(shè)在經(jīng)過(guò)第1節(jié)的操作之后，獲取坐標(biāo)系

Pixy下Pi與Pi+1之間的曲線方程gi，則在gi上任取一點(diǎn)(xm，ym)∈g，則該點(diǎn)在全局坐標(biāo)系OXY下的坐標(biāo)值(Xm，Ym)計(jì)算公式[8]為

(7)

式中：Rθi，z為繞z軸(即紙面向外)旋轉(zhuǎn)θi角度對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣是2×2維。

(8)

式中：θi為X繞z軸(即紙面向外)旋轉(zhuǎn)θi角度后到達(dá)x。

θi的表達(dá)式為

(9)

式中：X=[1，0]；x=[Xi+1-Xi，Yi+1-Yi]；“·”為向量?jī)?nèi)積；“‖‖”為向量模長(zhǎng)。

3 整體算法

將第1節(jié)與第2節(jié)的算法整合，可得到Pi與Pi+1之間的肋骨曲線擬合算法，流程如圖5所示，其中，優(yōu)化算法一般分為置信域方法[9](Trust-region Methods)和最小二乘(Levenberg-Marquardt)法[10]。該流程最終輸出的是在全局坐標(biāo)系OXY下擬合的Pi與Pi+1之間的肋骨曲線離散點(diǎn)數(shù)據(jù)(Xm，Ym)∈fi。

圖5 肋骨曲線擬合算法流程

以此類(lèi)推，其余相鄰點(diǎn)之間的肋骨曲線的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)均可獲得，最后得到的肋骨曲線滿足兩個(gè)條件：①?lài)?yán)格經(jīng)過(guò)已知條件中給定的所有X、Y值；②曲率半徑以高精度逼近已知條件中給定的所有R值。

4 數(shù)值實(shí)例

4.1 相鄰點(diǎn)之間的曲線擬合算例

指定4個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3和P4，具體數(shù)值如表2所示。根據(jù)所提出的算法，可解出相鄰兩點(diǎn)之間的肋骨曲線的參數(shù)hi，1和hi，2，并求出P1、P2、P3和P4處的實(shí)際曲率半徑及其誤差。由表2可知：曲率半徑誤差數(shù)量級(jí)為10-5，精度較高。

表2 相鄰點(diǎn)之間的曲線擬合算例結(jié)果匯總

在全局坐標(biāo)系OXY下，用擬合后的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)繪制P1、P2、P3和P4之間的肋骨曲線，如圖6所示。由圖6可知：共3段肋骨曲線，每段肋骨均平滑，且段與段之間銜接處也光滑。整條曲線看似直線，原因在于X、Y軸是等比例繪制，且曲率半徑較大。

圖6 擬合后的P1、P2、P3和P4之間的肋骨曲線

4.2 整根肋骨曲線擬合算例

通常在廠方提供的肋骨線型數(shù)據(jù)文本中點(diǎn)數(shù)均為十多個(gè)甚至數(shù)十個(gè)，為顯示所提出算法的有效性，選取4根肋骨的線型數(shù)據(jù)文本，分別擬合，得到在全局坐標(biāo)系下的曲線結(jié)果，如圖7～圖10所示。所提出的算法可以處理各種類(lèi)型的肋骨數(shù)據(jù)，包括單向曲率和雙向曲率(即S型)，且擬合后的曲線處平滑，曲率半徑誤差較小(數(shù)量級(jí)為10-5)，接近零值。

圖7 右舷朝艏(單向曲率)肋骨擬合結(jié)果

圖8 右舷朝艉(單向曲率)肋骨擬合結(jié)果

圖9 右舷朝上(單向曲率)肋骨擬合結(jié)果

圖10 右舷朝艏(雙向曲率S型)肋骨擬合結(jié)果

5 結(jié) 語(yǔ)

隨著船舶行業(yè)的結(jié)構(gòu)調(diào)整轉(zhuǎn)型，造船技術(shù)向自動(dòng)化、智能化水平發(fā)展，目前各大船廠現(xiàn)存的程控肋骨冷彎?rùn)C(jī)迫切需要升級(jí)改造成數(shù)控肋骨冷彎?rùn)C(jī)，而目前數(shù)控肋骨冷彎?rùn)C(jī)上位機(jī)程序匹配的硬件已停產(chǎn)，因此開(kāi)發(fā)新的數(shù)控系統(tǒng)可以為擴(kuò)大數(shù)控冷彎?rùn)C(jī)市場(chǎng)并持續(xù)發(fā)展提供支撐。在數(shù)控系統(tǒng)中，針對(duì)船舶肋骨線型的高精度擬合是關(guān)鍵步驟。對(duì)舊的擬合算法進(jìn)行改進(jìn)，使數(shù)控系統(tǒng)獲得更高精度的輸入(即理論加工控制量L與θ)，以期提高肋骨自動(dòng)冷彎的質(zhì)量。主要研究工作如下：

(1)將整根船舶肋骨看成多個(gè)分段，每個(gè)分段是獨(dú)立的三次曲線。

(2)在每個(gè)分段建立局部坐標(biāo)系，在局部坐標(biāo)系下，將三次曲線需要求解的4個(gè)參數(shù)減少為2個(gè)。

(3)在局部坐標(biāo)系下，根據(jù)肋骨曲率半徑大的特點(diǎn)，給出參數(shù)初始解選取方法。

(4)利用置信域方法或最小二乘法求解參數(shù)，使曲率半徑的誤差數(shù)量級(jí)達(dá)10-5。

(5)利用坐標(biāo)變換將局部坐標(biāo)系下的結(jié)果轉(zhuǎn)換回全局坐標(biāo)系，獲得最終的高精度擬合曲線。