周銘浩 魏可蒙 馮 勇 穆朝絮 蘇鴻宇

滑?？刂?Sliding-mode control,SMC)憑借其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、對(duì)系統(tǒng)的外部擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)具有強(qiáng)魯棒性等優(yōu)勢(shì),被廣泛應(yīng)用于電氣、機(jī)械、航空和航天等領(lǐng)域[1].非匹配擾動(dòng)及參數(shù)攝動(dòng)存在于系統(tǒng)的非控制通道中,傳統(tǒng)的線(xiàn)性滑模和終端滑模[2-4]控制輸入不能直接對(duì)其補(bǔ)償,只能迫使非匹配不確定多輸入多輸出(Multi-input multi-output,MIMO)系統(tǒng)的輸出在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零附近的鄰域[5-7].非匹配擾動(dòng)及參數(shù)攝動(dòng)廣泛存在于實(shí)際系統(tǒng)中,如電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)中的負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)、新能源發(fā)電并網(wǎng)系統(tǒng)中網(wǎng)側(cè)逆變器的負(fù)載電流突變等[8].因此,研究針對(duì)非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)的強(qiáng)魯棒、高動(dòng)態(tài)性能的控制方法具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)的控制通常采用虛擬控制策略,須滿(mǎn)足虛擬控制增益矩陣的右偽逆矩陣存在.實(shí)際控制系統(tǒng)中的控制量維數(shù)m與系統(tǒng)階數(shù)n普遍存在兩種關(guān)系:1)m≥n/2;2)m＜n/2.在m≥n/2 型系統(tǒng)中,虛擬控制增益矩陣的右偽逆矩陣存在,此時(shí)虛擬控制信號(hào)的維數(shù)m大于或等于非匹配不確定性矢量的維數(shù)n-m,系統(tǒng)擁有較多的控制輸入量且控制律設(shè)計(jì)相對(duì)容易.然而,m＜n/2 的情況在實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)中也很常見(jiàn),由于控制輸入量維數(shù)m＜n-m,此時(shí)虛擬控制增益的右偽逆矩陣不存在,大大增加了虛擬控制律的設(shè)計(jì)難度,以致虛擬控制量無(wú)法直接對(duì)非匹配不確定性進(jìn)行補(bǔ)償[9-10].目前大多數(shù)文獻(xiàn)所提出的控制策略通常建立在虛擬控制增益矩陣的右偽逆存在這一嚴(yán)格的前提下,鮮有涉及m＜n/2 的情況[11-13].因此,實(shí)現(xiàn)控制量維度全類(lèi)型的非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)的高性能控制,依然存在較大挑戰(zhàn).

現(xiàn)存文獻(xiàn)中所提出的方法通常將非匹配擾動(dòng)及參數(shù)攝動(dòng)的函數(shù)類(lèi)型局限于H2范數(shù)有界型和時(shí)不變/慢時(shí)變型,不能有效補(bǔ)償函數(shù)模型更為普遍的或快速變化的非匹配擾動(dòng)[14-16].文獻(xiàn)[17]針對(duì)不匹配不確定性系統(tǒng)提出了魯棒開(kāi)關(guān)積分滑?？刂品椒?使得各子系統(tǒng)對(duì)不確定性擾動(dòng)魯棒穩(wěn)定;文獻(xiàn)[18-20]均利用基于擾動(dòng)觀測(cè)器的滑?？刂?Disturbance observer based sliding mode,DOBSM),實(shí)現(xiàn)了對(duì)非匹配不確定性的補(bǔ)償.但是以上兩類(lèi)方法均依賴(lài)于非匹配不確定性滿(mǎn)足時(shí)不變或慢時(shí)變的假設(shè),對(duì)于函數(shù)模型更一般的不確定性,則無(wú)法控制系統(tǒng)的輸出嚴(yán)格地收斂到零,只能收斂到零附近的鄰域.不同于傳統(tǒng)的二階滑模和高階滑?？刂品椒?文獻(xiàn)[21]將非匹配不確定系統(tǒng)中的非匹配不確定性上界函數(shù)類(lèi)型由常數(shù)型推廣為更加一般的正函數(shù)型,并基于該種類(lèi)型的擾動(dòng)邊界來(lái)設(shè)計(jì)相應(yīng)的二階滑模(Second-order sliding mode,SOSM)控制律,但不能很好地抑制抖振現(xiàn)象;文獻(xiàn)[22]雖然將非匹配不確定性上界函數(shù)類(lèi)型推廣為更為普遍的類(lèi)型,但也沒(méi)能抑制控制信號(hào)中的高頻抖振.另外,文獻(xiàn)[21]和[22]雖然考慮了實(shí)際應(yīng)用中更為普遍的擾動(dòng)函數(shù)型,但皆為時(shí)間和輸出變量的函數(shù),并未考慮當(dāng)增益矩陣存在參數(shù)攝動(dòng)時(shí),擾動(dòng)輸入函數(shù)模型中含有控制信號(hào)的情況,而是僅把不確定性視作集總擾動(dòng)來(lái)處理,將導(dǎo)致控制系統(tǒng)出現(xiàn)代數(shù)環(huán)問(wèn)題[23-25].代數(shù)環(huán)問(wèn)題廣泛存在于不確定系統(tǒng)之中,例如機(jī)器人系統(tǒng)中含有關(guān)節(jié)加速度信號(hào)的不確定性、電機(jī)控制系統(tǒng)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、電阻和電感等參數(shù)不確定性、新能源并網(wǎng)逆變器中濾波電感和電容的不確定性,都將引入代數(shù)環(huán)動(dòng)態(tài)干擾問(wèn)題,然而,目前鮮有控制策略能夠抑制其帶來(lái)的影響.

在設(shè)計(jì)非匹配不確定系統(tǒng)的控制律時(shí),實(shí)際控制信號(hào)往往含有虛擬控制信號(hào)的一階導(dǎo)數(shù),這將導(dǎo)致控制信號(hào)出現(xiàn)奇異和抖振問(wèn)題[26].文獻(xiàn)[27]提出了全階滑模(Full-order sliding-mode,FSM)和反步法相結(jié)合的方式來(lái)設(shè)計(jì)虛擬控制律,避免了虛擬控制信號(hào)中的抖振問(wèn)題,但是實(shí)際控制律中仍存在高頻切換項(xiàng),不能徹底消除抖振,僅能通過(guò)犧牲控制精度的邊界層法來(lái)彌補(bǔ).而分?jǐn)?shù)階滑模[28]將分?jǐn)?shù)階微積分理論與滑?？刂评碚摻Y(jié)合以降低滑模切換頻率,可以提高控制行為連續(xù)性,其收斂特性如圖1所示[29-30].文獻(xiàn)[31]提出基于分?jǐn)?shù)階滑模控制的次同步振蕩抑制方法,利用分?jǐn)?shù)階微積分算子增加系統(tǒng)自由度實(shí)現(xiàn)對(duì)振蕩的快速抑制,但抖振問(wèn)題并未解決;為削弱抖振現(xiàn)象,文獻(xiàn)[32]提出一種基于非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑?？刂品椒?然而,以上兩種分?jǐn)?shù)階滑模控制方法只適用于一類(lèi)滿(mǎn)足匹配條件的不確定系統(tǒng).文獻(xiàn)[33]針對(duì)單輸入非匹配不確定系統(tǒng)提出了一種基于觀測(cè)器的分?jǐn)?shù)階滑模控制策略;文獻(xiàn)[34]設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律來(lái)估計(jì)不匹配非線(xiàn)性項(xiàng)的上界,然而,這兩種方法并不能有效抑制抖振.目前大多數(shù)文獻(xiàn)提出的基于分?jǐn)?shù)階滑模的控制方法通常僅適應(yīng)于滿(mǎn)足匹配條件的系統(tǒng),鮮有分?jǐn)?shù)階滑?？刂品椒軌蛟诖_保抖振有效抑制的前提下克服非匹配不確定性.因此,本文針對(duì)非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)提出一種新的分?jǐn)?shù)階終端滑模(Fractional-order terminal sliding-mode,FOTSM)控制策略,突破了上述嚴(yán)苛的限制條件并優(yōu)化了系統(tǒng)的控制速度和精度,主要貢獻(xiàn)包含以下三個(gè)方面:

圖1 分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階滑模收斂特性比較Fig.1 Comparison of fractional-and integral-order sliding-mode

1)結(jié)合非奇異狀態(tài)變換和反步法實(shí)現(xiàn)了m＜n/2型非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)的控制,突破了傳統(tǒng)反步法控制律設(shè)計(jì)中虛擬控制增益矩陣的右偽逆必須存在的嚴(yán)苛限制;

2)提出的切換增益自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階終端滑模控制策略,解決了由非匹配擾動(dòng)輸入含有控制增益矩陣攝動(dòng)而引起的代數(shù)環(huán)干擾問(wèn)題;

3)所設(shè)計(jì)的虛擬控制律和實(shí)際控制律均為連續(xù)信號(hào),且有效抑制了抖振,系統(tǒng)輸出能夠快速收斂到零而非其鄰域.

1 問(wèn)題描述

考慮如下n維非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)[35]:

采用如下坐標(biāo)變換可將非匹配不確定MIMO系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)換為匹配和非匹配子系統(tǒng)的形式[36]:

式中,In-m為單位矩陣.經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后,系統(tǒng)(1)可以轉(zhuǎn)化為如下分別含有匹配和非匹配不確定擾動(dòng)的MIMO 系統(tǒng):

式中,ku≥0,Fu≥0 和0≤km＜1 為已知常數(shù),Fm(·)≥0 為已知函數(shù);du≥0,Du≥0 和0≤dm＜1 為已知常數(shù),Dm(·)≥0 為已知函數(shù).

針對(duì)系統(tǒng)(1),控制目標(biāo)為設(shè)計(jì)虛擬控制律和實(shí)際控制律均為連續(xù)信號(hào)的控制策略,不局限于虛擬控制增益A12的右偽逆存在這一嚴(yán)格假設(shè),且能夠補(bǔ)償由于含有虛擬/實(shí)際控制增益矩陣攝動(dòng)的非匹配不確定性,使得系統(tǒng)輸出收斂到零而非其鄰域.

1.1 線(xiàn)性滑?？刂?/h3>

針對(duì)非匹配MIMO 系統(tǒng)(3)～(5),設(shè)計(jì)滑模面和對(duì)應(yīng)的控制律如下[1]:

式中,正定參數(shù)矩陣C滿(mǎn)足eig(A11-A12C)＜0,則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)理想滑動(dòng)模態(tài)s=x2+Cx1=0:

由于非匹配不確定性fu(t,x)的存在,式(10)中的狀態(tài)變量不能收斂到平衡點(diǎn).

1.2 積分滑?？刂?/h3>

積分滑模相比于線(xiàn)性滑模具有更高的穩(wěn)態(tài)精度,積分滑模面及相應(yīng)的控制律可設(shè)計(jì)如下[1]:

式中,正定參數(shù)矩陣C1滿(mǎn)足eig(A11-A12C1)＜0,C2滿(mǎn)足eig(A12C2)＞0,可知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)理想滑動(dòng)模態(tài)s=0:

1.3 全階終端滑模控制

全階終端滑模法結(jié)合反步法控制思想,設(shè)計(jì)全階滑模面s11和s12以及虛擬控制律x2ref和實(shí)際控制律u,迫使系統(tǒng)非輸出狀態(tài)變量x2在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤虛擬控制量x2ref,從而使得系統(tǒng)輸出狀態(tài)變量x1在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零[3].滑模面及控制律設(shè)計(jì)如下:

式中,誤差矢量e1=x2-x2ref,參數(shù)矩陣C11和C12均為正定對(duì)角陣,p和q為正奇數(shù)且滿(mǎn)足0＜p/q＜1.

然而,實(shí)際控制律(16)中存在虛擬控制律的一階導(dǎo)數(shù),仍包含高頻切換函數(shù)項(xiàng),因而未能徹底抑制抖振.同時(shí),控制律設(shè)計(jì)依賴(lài)于虛擬控制增益A12的右偽逆矩陣存在,限制了控制系統(tǒng)類(lèi)型.因此,本文主要考慮控制律設(shè)計(jì)更為困難的m＜n/2 型非匹配不確定MIMO 系統(tǒng).首先,給出本文理論分析和推導(dǎo)所需的基本定義和引理.

定義1[38]. 階次不同的分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算滿(mǎn)足如下復(fù)合運(yùn)算規(guī)則:

式中,α＞0,β＞0,l為常數(shù).

為證明分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)穩(wěn)定,現(xiàn)給出引理1 如下,作為設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模面的理論依據(jù).

引理1[39]. 考慮如下分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng):

式中,0＜v＜2,x∈Rm,A∈Rm×m,若矩陣A滿(mǎn)足|arg(eig(A))|＞vπ/2,則系統(tǒng)的解是漸近穩(wěn)定的.

為證明有限時(shí)間收斂性,現(xiàn)給出引理2 如下,作為論證滑模面有限時(shí)間收斂性的基礎(chǔ)理論依據(jù).

引理2[40]. 考慮非Lipschitz 自治系統(tǒng),x∈Rn,滿(mǎn)足f(0)=0,若存在正定連續(xù)函數(shù)V(x):U→R,以及某平衡點(diǎn)附近的鄰域U0?U滿(mǎn)足cV α(x)≤0,x∈U0{0},其中,c＞0 且0＜α＜1,則函數(shù)V(x)將在有限時(shí)間tr內(nèi)收斂到平衡點(diǎn),收斂時(shí)間tr ≤V1-α(x(0))/(c(1-α)).

2 非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階終端滑?？刂?/h2>

假設(shè)非匹配不確定子系統(tǒng)(3)中的fu(t,x)滿(mǎn)足如下匹配條件:

當(dāng)虛擬控制增益矩陣A12不存在右偽逆矩陣時(shí),即,為實(shí)現(xiàn)m＜n/2 型非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)的控制,首先對(duì)非匹配不確定子系統(tǒng)(3)進(jìn)行兩步非奇異狀態(tài)變換.

對(duì)子系統(tǒng)(3)進(jìn)行非奇異狀態(tài)變換x′=F1x1,F1為狀態(tài)變換常數(shù)矩陣[41],結(jié)合式(19)可得如下塊能控標(biāo)準(zhǔn)型:

式中,分塊矩陣的維數(shù)di為:

對(duì)式(21)進(jìn)行第二步非奇異狀態(tài)變換x′=F2z[11],消除塊能控標(biāo)準(zhǔn)型中的狀態(tài)耦合,可得如下解耦塊能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng):

解耦塊能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)(22)可進(jìn)一步簡(jiǎn)寫(xiě)為如下形式:

針對(duì)解耦塊能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)設(shè)計(jì)Ni=-λiIni,i=2,···,r,其中,-λ2＜···＜-λr＜0,ni為狀態(tài)矢量zi的維數(shù),Ini為單位矩陣.當(dāng)狀態(tài)矢量zi-1依次收斂到零后,狀態(tài)矢量zi也將收斂到零.

針對(duì)解耦塊能控標(biāo)準(zhǔn)型(23)、(24)系統(tǒng),設(shè)計(jì)如下分?jǐn)?shù)階終端滑模面:

式中,2-α為分?jǐn)?shù)階微分的階次,0＜α＜1,滑模參數(shù)矩陣C21為正定對(duì)角陣,p和q為正奇數(shù)且滿(mǎn)足0＜p/q＜1.

推論 1.考慮分?jǐn)?shù)階終端滑動(dòng)面,當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)理想滑動(dòng)模態(tài)s21=0 時(shí),則系統(tǒng)狀態(tài)z1可收斂到平衡點(diǎn)附近的鄰域.

證明.由定義1 可知,1-α階積分型終端滑模面可表示為:

式中,l為常值矩陣,則進(jìn)一步可得:

且‖?‖≤ζ.將系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)解耦成j個(gè)子系統(tǒng):

根據(jù)積分型分?jǐn)?shù)階滑模面的特性,當(dāng)c21j-時(shí),系統(tǒng)(28)是穩(wěn)定的[42],則z1j=0 是s21=0 的解;當(dāng)時(shí),需要分兩種情況進(jìn)行討論:

命題 1.若選取如式(25)所示的分?jǐn)?shù)階終端滑模面s21,設(shè)計(jì)如下無(wú)抖振分?jǐn)?shù)階積分型滑模虛擬控制律x2ref,并定義跟蹤誤差矢量e2=x2-x2ref,當(dāng)且僅當(dāng)跟蹤誤差e2收斂至零,即非輸出狀態(tài)變量x2精確跟蹤虛擬控制量x2ref之后,非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)(3)～(5)的輸出變量y將收斂到零:

式中,k21(x)=‖B1,0‖(pu‖x‖+Pu)+η21為時(shí)變切換增益,pu和Pu由式(20)定義,η21為很小的正數(shù).

證明.將e2=x2-x2ref代入式(24)得:

誤差矢量e2將在實(shí)際控制律作用下由任意初始狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零,結(jié)合分?jǐn)?shù)階終端滑模面(25)以及無(wú)抖振滑?？刂坡?29)和(30)可得:

考慮切換控制律(31)有:

結(jié)合非匹配不確定性的邊界條件(20),則有:

將時(shí)變切換增益k21(x)代入上式,則當(dāng)Lyapunov 函數(shù)V1≠0 時(shí),滑模到達(dá)條件成立:

根據(jù)引理2 可知,在無(wú)抖振分?jǐn)?shù)階積分型滑?？刂坡傻淖饔孟?子系統(tǒng)(24)將由任意初始狀態(tài)s21(0)≠0,在有限時(shí)間t1r內(nèi)到達(dá)分?jǐn)?shù)階終端滑模面s21=0,t1r ≤‖s21(0)‖/η21,并在滑模面上維持理想滑動(dòng)模態(tài)s21=0.可知,狀態(tài)變量z1將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零,則系統(tǒng)(23)、(24)的全部狀態(tài)變量z將漸近收斂至零.因此,非匹配不確定系統(tǒng)中的輸出變量y也將收斂到零.

為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)相對(duì)階r=0 的全階滑動(dòng)模態(tài),設(shè)計(jì)全階終端滑模面s22∈Rm如下:

式中,誤差矢量e2=x2-x2ref,矩陣C22=diag{c221,···,c22m},,q和p為正奇數(shù),且滿(mǎn)足0＜q/p＜1.

定理 1.若選取全階終端滑模函數(shù)(32)以及無(wú)抖振分?jǐn)?shù)階積分型滑模虛擬控制律x2ref,并設(shè)計(jì)如下實(shí)際無(wú)抖振分?jǐn)?shù)階控制律u,則誤差系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡將從任意初始狀態(tài)s22(0)≠0 在有限時(shí)間t2r內(nèi)到達(dá)全階終端滑模面s22=0,t2r ≤‖s22(0)‖/η22,并在該滑模面上維持滑動(dòng)模態(tài),跟蹤誤差矢量e2也將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零,則非匹配不確定MIMO系統(tǒng)(3)～(5)的輸出變量y能夠收斂到零:

時(shí)變切換滑模控制增益函數(shù)k22(x)如下所示:

其中,dm,Dm(·),分別由式(7)和式(20)定義,η22為很小的正數(shù).

證明.將式(4)和式(29)代入全階終端滑模函數(shù)(32)中可得:

結(jié)合無(wú)抖振滑?？刂坡?33)和(34)有:

將無(wú)抖振切換控制律(35)代入上式得:

考慮匹配不確定性邊界條件式(7)和(20)有:

當(dāng)V2≠0 時(shí),代入時(shí)變切換增益函數(shù)k22(x)有:

根據(jù)引理2 可知,跟蹤誤差系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡將從任意初始狀態(tài)s22(0)≠0 出發(fā),在有限時(shí)間t2r內(nèi)到達(dá)全階終端滑模面s22=0,t2r ≤‖s22(0)‖/η22,并在滑模面上保持滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng),誤差矢量e2將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零點(diǎn).

本文的控制目的是設(shè)計(jì)實(shí)際控制律u迫使系統(tǒng)的非輸出狀態(tài)變量x2在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤虛擬控制量x2ref,進(jìn)而虛擬控制律x2ref使得系統(tǒng)輸出變量x1收斂到零.本文結(jié)合分?jǐn)?shù)階滑模和虛擬控制技術(shù)的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì),創(chuàng)新性地利用2-α階積分器處理虛擬控制律x2ref中的高頻切換函數(shù)項(xiàng),即,獲得了連續(xù)的虛擬控制信號(hào);在設(shè)計(jì)實(shí)際控制律時(shí),即使需要對(duì)虛擬控制律求一階導(dǎo)數(shù)的情況下,仍然可以保留1-α階積分器對(duì)實(shí)際控制律中的高頻切換函數(shù)項(xiàng)的處理效果,即,獲得連續(xù)的實(shí)際控制信號(hào),如式(34)所示.由于新的分?jǐn)?shù)階滑模面及其控制律的設(shè)計(jì),高頻切換函數(shù)項(xiàng)分別利用分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階積分器處理之后輸出,即因此,抖振被充分抑制,虛擬和實(shí)際控制信號(hào)為連續(xù)信號(hào).

分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴驁D如圖2 所示.首先對(duì)非匹配不確定MIMO 系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換得到新的狀態(tài)變量z,并設(shè)計(jì)虛擬控制律使得非匹配不確定性得到補(bǔ)償,再由實(shí)際控制律u使得跟蹤誤差在有限時(shí)間收斂到零,即非輸出狀態(tài)變量x2精準(zhǔn)跟蹤虛擬控制量x2ref,從而使系統(tǒng)輸出y能收斂到零而非其鄰域.

圖2 分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴驁DFig.2 Block diagram of the fractional-order sliding-mode control method

3 仿真結(jié)果及分析

作為控制理論分析中常見(jiàn)非匹配不確定系統(tǒng),L-1 011 固定翼巡航飛機(jī)側(cè)軸模型為一個(gè)滿(mǎn)足m＜n/2 維度關(guān)系(m=2 且n=5)的5 階MIMO 系統(tǒng)[43]:

式中,x∈R5為傾斜角、偏航角速度、滾轉(zhuǎn)角速度、側(cè)滑角速度、過(guò)濾狀態(tài)組成的狀態(tài)矢量;u∈R2為舵偏轉(zhuǎn)和側(cè)翼偏轉(zhuǎn)組成的控制列向量;fu=[fu1,0,0,fu4,fu5]T為該系統(tǒng)的非匹配不確定性:

同時(shí)在控制信道和非控制信道中引入了白噪聲干擾.

首先,進(jìn)行式(2)所示的狀態(tài)變換可得:

式中,x1=[x11,x12,x13]T,x2=[x21,x22]T.

經(jīng)過(guò)狀態(tài)變換后,系統(tǒng)(37)可以改寫(xiě)為如下匹配/非匹配子系統(tǒng)的形式:

根據(jù)式(21)和式(22)進(jìn)行兩步非奇異狀態(tài)變換有:

子系統(tǒng)(39)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為如下解耦塊能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng):

選取分?jǐn)?shù)階終端滑模面(25)和全階終端滑模面(32),其中,滑模面參數(shù)矩陣C21=diag{60,60},C22=diag{150,170}.控制器參數(shù)設(shè)計(jì)為:η21=0.01,pu=0,Pu=20,dm=0.005,

根據(jù)命題1,設(shè)計(jì)無(wú)抖振分?jǐn)?shù)階終端滑模虛擬控制律如下:

根據(jù)定理1,設(shè)計(jì)無(wú)抖振實(shí)際控制律如下:

針對(duì)非匹配不確定系統(tǒng)(39)、(40),本文將所提出的分?jǐn)?shù)階終端滑模(FOTSM)與四種適用于非匹配不確定系統(tǒng)的控制方法做對(duì)比分析:基于擾動(dòng)觀測(cè)器的滑模控制(DOBSM)[18]、二階滑?？刂?SOSM)[21]、全階滑?？刂?FSM)以及基于飽和函數(shù)的全階滑模控制(Saturation-based full-order sliding-mode,FSM-Sat)[27],其控制器主要設(shè)計(jì)參數(shù)如表1 所示.

表1 控制器主要設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 The design parameters of the controllers

在五種不同的控制方法對(duì)匹配和非匹配不確定性的補(bǔ)償下,不確定MIMO 系統(tǒng)輸出變量均能夠收斂至零,如圖3 所示.在圖4 中,由于DOBSM通常只可補(bǔ)償時(shí)不變/慢時(shí)變型不確定性,故系統(tǒng)輸出的收斂精度不高;SOSM 方法下的系統(tǒng)輸出變量x11存在高頻振動(dòng)且收斂精度數(shù)量級(jí)僅為10-2;通過(guò)對(duì)比FSM 和FSM-Sat 可知,系統(tǒng)輸出變量x11在FSM 下收斂精度10-4明顯高于FSM-Sat,也說(shuō)明了FSM-Sat 在實(shí)現(xiàn)控制信號(hào)連續(xù)性的同時(shí)犧牲的是收斂精度;而在FOTSM 控制下系統(tǒng)狀態(tài)變量x11的收斂精度較高,說(shuō)明本文所提的方法在保證控制信號(hào)連續(xù)的同時(shí)能夠獲得良好的控制精度.相似的結(jié)論也可以在圖5 所示輸出變量x12、圖6 所示輸出變量x13以及圖7 所示輸出變量的2-范數(shù)‖x1‖的仿真結(jié)果中得出.綜上,在非匹配不確定系統(tǒng)輸出變量x11、x12和x13的收斂精度方面,DOBSM、SOSM 和FSM-Sat 的收斂精度不高,而FSM 和FOTSM 具有相對(duì)較高的收斂精度.

圖3 五種不同控制方法的系統(tǒng)輸出相量x1Fig.3 System outputx1under the five control methods

圖4 五種不同控制方法的系統(tǒng)輸出相量x11Fig.4 System outputx11under the five control methods

圖5 五種不同控制方法的系統(tǒng)輸出相量x12Fig.5 System outputx12under the five control methods

圖6 五種不同控制方法的系統(tǒng)輸出相量x13Fig.6 System outputx13under the five control methods

圖7 五種不同控制方法的系統(tǒng)輸出的2 范數(shù)‖x1‖F(xiàn)ig.7 2-norm of system output‖x1‖under five methods

FOTSM 方法下的系統(tǒng)非輸出狀態(tài)變量x2收斂狀態(tài)以及系統(tǒng)虛擬控制信號(hào)x2ref的波形如圖8所示,系統(tǒng)非輸出狀態(tài)變量x2實(shí)現(xiàn)了對(duì)虛擬控制信號(hào)x2ref的精確跟蹤.本文結(jié)合反步法的控制思想,將可測(cè)非輸出狀態(tài)變量x2看作為子系統(tǒng)的虛擬控制量x2ref,迫使系統(tǒng)的輸出變量x1對(duì)子系統(tǒng)中的非匹配不確定性fu(·)具有不變性,進(jìn)而x1嚴(yán)格收斂到零;再設(shè)計(jì)實(shí)際控制量u迫使虛擬控制量x2ref跟蹤狀態(tài)變量x2.因此,系統(tǒng)輸出x1可以收斂到零,而追蹤x2的虛擬控制量x2ref需要補(bǔ)償非匹配不確定性fu(·)≠0,因而狀態(tài)變量x2為非零信號(hào).由于非匹配不確定性的存在,狀態(tài)變量x21和x22僅能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零附近的鄰域.

圖8 分?jǐn)?shù)階終端滑?？刂葡?tīng)顟B(tài)x2和虛擬控制信號(hào)x2refFig.8 Statesx2and virtual controlx2ref under FOTSM

五種不同控制算法的控制信號(hào)如圖9 所示,可見(jiàn)只有FSM-Sat 和FOTSM 的控制信號(hào)是連續(xù)的,其他控制信號(hào)均呈現(xiàn)出高頻的抖振.飽和函數(shù)的加入雖然能夠令FSM 控制信號(hào)連續(xù),但卻犧牲了一定的控制精度.而本文所提方法引入2-α階分?jǐn)?shù)階積分,使得虛擬控制信號(hào)x2ref為連續(xù)平滑的信號(hào),同時(shí),含有虛擬控制信號(hào)一階導(dǎo)數(shù)的實(shí)際控制信號(hào)u中存在切換控制項(xiàng)的1-α階分?jǐn)?shù)階積分,使得u仍為連續(xù)信號(hào).五種控制方法的性能對(duì)比如表2 所示.因此,本文對(duì)抖振的分析與仿真結(jié)果是相符合的.在上述方法中,只有所提出的FOTSM能夠在確保高控制精度的同時(shí)有效抑制抖振,獲得連續(xù)的控制信號(hào).

表2 不同控制方法性能對(duì)比Table 2 Performance comparison of the five methods

圖9 五種不同控制方法的實(shí)際控制信號(hào)u Fig.9 Actual controluunder the five control methods

4 結(jié)論

本文所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階終端滑模控制方法通過(guò)設(shè)計(jì)虛擬控制量以補(bǔ)償非控制信道中的非匹配不確定擾動(dòng),再利用實(shí)際控制信號(hào)迫使非輸出狀態(tài)變量精確逼近無(wú)抖振平滑的虛擬控制量,從而使得系統(tǒng)輸出能夠收斂到零,實(shí)現(xiàn)了對(duì)m＜n/2 型非匹配不確定MIMO 控制系統(tǒng)的高精度和強(qiáng)魯棒控制.所提出的控制策略解除了虛擬控制增益矩陣的右偽逆須存在的限制條件,設(shè)計(jì)的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階滑模切換律解決了由控制增益矩陣攝動(dòng)引起的代數(shù)環(huán)問(wèn)題,在降低切換增益幅值的同時(shí)也獲得了平滑的虛擬控制和實(shí)際控制信號(hào).最后,仿真研究驗(yàn)證了本文所提出的控制方法的正確性和優(yōu)越性.