劉青松 李明鵬 柴 利

近年來,社會網(wǎng)絡(luò)分析成為網(wǎng)絡(luò)科學研究的熱點之一,吸引了來自控制科學、社會心理學和經(jīng)濟學等多個領(lǐng)域研究者的廣泛關(guān)注[1-3].隨著對多智能體系統(tǒng)[4-6]和復雜網(wǎng)絡(luò)[7-10]研究的深入,觀點動力學中觀點的形成和演化引起了學者們極大的關(guān)注,產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果,促進了觀點動力學相關(guān)方向的發(fā)展[11-12].觀點動力學的研究,不僅僅關(guān)注觀點的一致現(xiàn)象[1],而且還關(guān)注觀點的極化現(xiàn)象[13]和觀點的分簇現(xiàn)象[14].例如,采用仿真分析方法,Zhang 等[15]研究了連續(xù)時間有界置信模型的觀點演化問題;通過引入個人決策樹和社會網(wǎng)絡(luò),Friedkin 等[12]分析了耦合矩陣對信念系統(tǒng)動力學的影響;Parsegov 等[16]在靜態(tài)社會網(wǎng)絡(luò)中,提出了一個新的觀點動力學模型,并分析了觀點的穩(wěn)定性和收斂性.此外,Li 等[17]提出了一種新的快速、準確檢測集群結(jié)構(gòu)的動態(tài)方法,并且研究了電子商務(wù)系統(tǒng)中的動態(tài)聚類問題.

一直以來,學者們希望提出的觀點動力學模型既簡單又便于嚴格的數(shù)學分析,與此同時,又可以捕捉到豐富的社會性質(zhì).故研究者從建立優(yōu)異的數(shù)學模型模擬現(xiàn)實世界中個體的觀點演變這一根本問題出發(fā),提出了許多經(jīng)典的觀點動力學模型.例如,1974 年DeGroot[1]提出了基于智能體的觀點演化模型(DeGroot 模型).在DeGroot 模型中,個體通過吸收上一時刻鄰居的觀點形成當前時刻的觀點,使得社會群體觀點達成一致.然而,DeGroot 模型無法解釋在良好的通訊條件下,個體觀點極化的現(xiàn)象.為此,Friedkin 等[2]通過引入持續(xù)的外部輸入(外部環(huán)境因素),提出了Friedkin-Johnsen 模型.考慮個體間相互信任的情況,Hegselmann 和Krause提出一個新的具有有界置信區(qū)間的觀點動力學模型(Hegselmann-Krause (H-K)模型)[14],仿真結(jié)果表明在不同的置信區(qū)間內(nèi),觀點產(chǎn)生一致、極化和分簇的現(xiàn)象[14].后來,學者們對DeGroot 模型和HK 模型等進行改進并做了較為深入的研究[18-19].

從社會心理學的角度完善觀點動力學模型,以增強模型的泛化能力和應(yīng)用范圍,是一個值得研究的問題.1951 年Asch[20]做了一個關(guān)于因從眾壓力而產(chǎn)生觀點扭曲的著名實驗.基于Asch 的實驗,許多學者建立了相關(guān)的觀點動力學模型,并給出了嚴格的數(shù)學分析.例如,Javarone[21]在全連通的網(wǎng)絡(luò)條件下,分析了從眾壓力對觀點演化的影響,Cheng等[22]考慮了同時具有有界置信和個體壓力的觀點動力學模型.最近,Shang[23]研究了表達觀點和私人觀點的一致性問題;Ye 等[24]在社交網(wǎng)絡(luò)是強連通的條件下,提出了具有表達觀點和私人觀點的社會網(wǎng)絡(luò)模型,并分析了其收斂性.基于合作與競爭的社交網(wǎng)絡(luò),Lin 等[25]分析了觀點的傳播現(xiàn)象.Su 等[26]研究了噪聲導致H-K 觀點動力學模型擬一致性問題.

受Ye 等[24]研究強連通社會網(wǎng)絡(luò)中觀點演化問題的啟發(fā),本文研究具有遺忘個體的擬強連通社會網(wǎng)絡(luò)中觀點演化問題,并分析了觀點動力學的收斂性和表達觀點與私人觀點之間的差異.本文主要貢獻如下:

1)提出了新的具有遺忘個體的多維觀點動力學模型,刻畫出了不同話題之間表達/私人觀點的相互影響 (詳見第3 節(jié));

2)不同于Ye 等[24]所研究的社會網(wǎng)絡(luò)是強連通的和非周期的,且不含有遺忘個體,本文研究的社會網(wǎng)絡(luò)是擬強連通的且含有遺忘個體;

3)應(yīng)用本文提出的多維觀點動力學模型,復現(xiàn)了“多元無知”這一經(jīng)典的社會現(xiàn)象;

4)給出了從眾壓力的恢復力越小,表達觀點與私人觀點的差異越大這一重要結(jié)論,并且分析了邏輯矩陣對表達觀點和私人觀點演化的影響.

1 問題描述

本節(jié)首先介紹圖論中的一些基本概念[27].設(shè)G=(V,ε,W)是一個具有加權(quán)鄰接矩陣的有向圖,其中,V={1,2,···,n}和ε ?V×V分別表示節(jié)點的集合和邊的集合,非負矩陣W=[wij]∈Rn×n為加權(quán)鄰接矩陣.如果存在從節(jié)點j到節(jié)點i的邊,則wij＞0.如果節(jié)點i能夠到達任意剩下的節(jié)點,則節(jié)點i稱為根節(jié)點.如果所有節(jié)點都是根節(jié)點,則圖G(W)是強連通的.如果至少存在一個根節(jié)點,則圖G(W)是擬強連通的.Ni表示所有能夠影響個體i的個體集合.如果則稱矩陣W是行隨機的(行次隨機的).

定義 1[16]. 如果λi＜1,則稱個體i是固執(zhí)的.如果個體既不是固執(zhí)的也不受任何固執(zhí)個體的影響,則稱為遺忘個體.

定義 2[16]. 對于矩陣A∈Rn×n,如果極限A*=limk→∞Ak存在,則稱矩陣A是正則的.如果A*=1nvT,v∈Rn,則正則行隨機矩陣A稱為完全正則的.

本文將研究具有遺忘個體的擬強連通社會網(wǎng)絡(luò)G(W)上觀點演化問題,具體的觀點動力學模型描述如下:

其中,yi(k)∈R和分別表示個體i在k時刻的私人觀點和表達觀點,i∈I[1,n]={1,2,···,n}.注意到,在Ye 等[24]的工作中,社會網(wǎng)絡(luò)G(W)是強連通的和非周期的,且不含有遺忘個體.與Friedkin-Johnsen 模型[16]的本質(zhì)區(qū)別是在觀點動力學模型(1)中,每個個體都包含私人觀點和表達觀點.

在觀點動力學模型(1)中,λi∈[0,1]表示個體i的私人觀點受人際關(guān)系影響的敏感程度,?i∈[0,1]表示個體i對于從眾壓力的恢復程度.?i的值越大,則個體i所承受到的從眾壓力就越小,意味著個體i的表達觀點和私人觀點之間的差異越小.實際上,私人觀點是個體的主觀觀點,個體根據(jù)上一時刻私人觀點和上一時刻鄰居的表達觀點來更新當前時刻的私人觀點.然而,表達觀點會進行修正以符合鄰居表達觀點的加權(quán)平均.表示個體i分配給個體j的表達觀點權(quán)重且?i,wii≥0表示個體i對自身私人觀點的自信程度.設(shè)λi∈[0,1]表示個體i對人際交互影響(鄰居的表達觀點)的敏感程度,1-λi則反映對于本身初始觀點yi(0)的固執(zhí)程度.類似于Friedkin-Johnsen 模型的“耦合關(guān)系”,令λi=1-wii.模型(1)第2 個子式的右側(cè)表示個體i對于“本地輿論”的從眾壓力.假設(shè)φij≥0,且.矩陣Ψ=[φij]∈Rn×n是行隨機的,“本地輿論”對于個體的影響可以通過圖G(Ψ)的連通性來描述.

從眾壓力的形成過程并非恒定不變的,根據(jù)通訊方式的不同,個體承受從眾壓力的情況就會不同.例如,在較小的會議室中,無論是否存在私下交流,個體都可了解其余所有個體的表達觀點.在這種情況下,所有個體的表達觀點所分配的影響權(quán)重是相同的,即

然而,如果個體很多,通訊條件實際上會影響個體i對“本地輿論”的認知.例如,個體在大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)空間里通過網(wǎng)絡(luò)交流時,由于距離和通訊方式的限制,個體實際上也許無法獲知部分個體的表達觀點.在這種情況下,個體只能通過給定的通訊方式獲取外部信息.換言之,個體通過人際影響網(wǎng)絡(luò)認知“本地輿論”,即

注意到模型(1)的第1 個子式可寫成

根據(jù)式(1)和式(2),可得

其中,矩陣Λ=diag{λ1,λ2,···,λn}和Φ=diag{?1,?2,···,?n}分別表示個體的固執(zhí)程度和對從眾壓力的彈性恢復能力,人際網(wǎng)絡(luò)影響矩陣,為初始的表達觀點和私人觀點,y(1)=(ΛW+In-Λ)y(0).

本文將研究具有遺忘個體的擬強連通社會網(wǎng)絡(luò)G(W)中表達觀點和私人觀點的收斂問題 (詳見第2 節(jié)).另一方面,為了描述多個相互依賴話題上表達觀點和私人觀點演化問題,建立了多維的觀點動力學模型(詳見第3 節(jié)).本文主要的研究框架如圖1所示.

圖1 本文研究框架Fig.1 The research framework of this paper

2 收斂性分析

本節(jié)將分析擬強連通社會網(wǎng)絡(luò)G(W)中觀點動力學模型(1)的收斂性.為了便于分析,將固執(zhí)個體和受固執(zhí)個體影響的個體編號為1 到n1(n1≤n),遺忘個體的編號則為n1+1 到n.根據(jù)定義1,易知所有遺忘個體只受鄰居觀點的影響(λi=1,?i∈I[n1+1,n]).故可分解為

其中,m=n-n1為遺忘個體量,y(1)(k)∈Rn1和分別表示固執(zhí)個體的私人觀點和表達觀點,分別表示遺忘個體的私人觀點和表達觀點.

不同于Ye 等[24]所提出的觀點動力學模型,本文推廣的觀點動力學模型包含遺忘個體.顯然,式(3)可改寫為

顯然,如果n1=n,則式(5)退化成Ye 等[24]所建立的觀點動力學模型.此外,如果Ψ=W,則基于遺忘個體私人觀點的觀點動力學模型類似于De-Groot 動力學模型[1].

假設(shè) 1.矩陣Ψ和W是行隨機的,網(wǎng)絡(luò)G(W11)是強連通且非周期的.此外,?i∈(0,1),?i∈I[1,n]和λi∈(0,1),?i∈I[1,n1].

引理 1[24]. 對于矩陣A∈Rn×n,如果A是行次隨機且不可約的,則譜半徑ρ(A)＜1.

引理 2.在假設(shè)1 滿足的條件下,如果社會網(wǎng)絡(luò)G(W)中不含有遺忘個體(即n1=n),則觀點動力學模型(1)是收斂的.

證明.根據(jù)Ye 等[24]的證明易知,如果社會網(wǎng)絡(luò)G(W)中不含有遺忘個體,則易得私人觀點yi(k)和表達觀點都是收斂的.

定理 1.在假設(shè)1 滿足的條件下,如果矩陣W22是正則的,則具有遺忘個體的社會網(wǎng)絡(luò)G(W)中表達觀點和私人觀點是收斂的.

證明.首先證明具有遺忘個體且Ψ=W的觀點動力學模型(1)的收斂性.

易知式(5)可寫成

注意到遺忘個體的觀點演化不受初始的表達觀點和私人觀點的影響,其演化過程類似于DeGroot 模型,即

注意到式(8)可寫成

根據(jù)式(9)和式(10),可得

另一方面,由Ψ=W,可得,Ψ22=W22=.進一步地,由式(11)可得

將式(12)代入式(8)中,可得

故遺忘個體的私人觀點y(2)(k)和表達觀點都收斂到.注意到

由式(14)和式(15)可知,如果ρ(B)＜1,則式(16)是收斂的.

下面只需證明ρ(B)＜1.設(shè)標記從1 到n1的節(jié)點屬于集合V1,剩下的節(jié)點都屬于集合V2.根據(jù)網(wǎng)絡(luò)G(W11)的連通性可知,網(wǎng)絡(luò)G(B11)和G(B22)都是強連通的.進一步地,由于矩陣B21和B12都存在大于0 的元素,故在節(jié)點集合V1和節(jié)點集合V2中,節(jié)點之間存在雙向路徑.因此,網(wǎng)絡(luò)G(B)是強連通的.

根據(jù)矩陣Λ11,,Φ11,(In1-Φ11),Ψ11都是非負矩陣,可得B≥0.由于W11和Ψ11都是行次隨機矩陣,故

是行次隨機矩陣,1n=[1,1,···,1]T.

根據(jù)引理1 可知,ρ(B)＜1.因此,

由Ravazzi 等[28]的命題1 可得

其中,Ω1=(I2n-P)-1.故具有遺忘個體且Ψ=的社會網(wǎng)絡(luò)中觀點是收斂的.

將定理1 與Ye 等[24]的結(jié)論比較,本文研究的社會網(wǎng)絡(luò)G(W)是擬強連通的且含有遺忘個體,意味著觀點動力學模型(1)更加符合現(xiàn)實情況且不需嚴格的通訊方式.

3 多維觀點動力學分析

為了描述具有遺忘個體的社會網(wǎng)絡(luò)中不同話題之間表達觀點和私人觀點的相互影響,建立如下多維觀點動力學模型:

其中,yi(k)∈Rd,,i∈I[1,n],邏輯矩陣C∈Rd用于描述不同話題之間表達觀點和私人觀點的相互關(guān)系.yip(k)＞0.5 表示個體i的私人觀點是支持話題p,yip(k)＜0.5 表示個體i的私人觀點是反對話題p,yip(k)=0.5 表示個體i的私人觀點是中立的,表示個體i的表達觀點是支持話題p,表示個體i的表達觀點是反對話題p,表示個體i的表達觀點是中立的.

注意到將觀點動力學模型(17)的第2 個子式代入其第1 個子式可得

類似于單維情形下的式(3),由式(18)和式(17)的第2 個子式可得

定理 2.在假設(shè)1 滿足的條件下,如果邏輯矩陣C是行隨機的,則不含有遺忘個體的社會網(wǎng)絡(luò)G(W)上觀點動力學模型(17)是收斂的,且收斂值為

證明.注意到

其中,?表示Kronecker 積.由C是行隨機矩陣可得,ρ(C)=1.根據(jù)定理1 易知,當時,不含遺忘個體的觀點動力學模型(17)是收斂的.設(shè)y*=limk→∞y(k)且由式(19)易知

由上式可得觀點的收斂值.

當擬強連通社會網(wǎng)絡(luò)G(W)含有遺忘個體時,在單維觀點情形時,式(5)可寫成式(7).類似地,在多維觀點情形下有

定理 3.在假設(shè)1 滿足的條件下,如果矩陣W22和C都是正則的,則具有遺忘個體的社會網(wǎng)絡(luò)G(W)上觀點動力學模型(17)是收斂的.

證明.類似于定理1 的證明,根據(jù)矩陣Ψ的結(jié)構(gòu)將證明過程分為兩個部分.

1)當Ψ=W時.注意到

意味著遺忘個體的私人觀點和表達觀點不受其余固執(zhí)個體的影響.因此,由式(20)可得

由于矩陣W22和C都是正則的,可得遺忘個體的觀點是收斂的,即

類似于定理1 的證明,由Ravazzi 等[28]的命題1 可知,和y(1)(k)是收斂的,故觀點動力學模型(17)是收斂的.

易知,

根據(jù)Ravazzi 等[28]的命題1 可知,觀點動力學模型(17)是收斂的,即由式(20)可知

其中,Ω3=(I2dn-P ?C)-1.

綜上所述,具有遺忘個體的社會網(wǎng)絡(luò)G(W)觀點動力學模型(17)是收斂的.

本節(jié)在擬強連通社會網(wǎng)絡(luò)中,提出新的具有遺忘個體的多維(表達和私人)觀點動力學模型,刻畫出不同話題之間表達/私人觀點的相互影響;另一方面,本文僅需社會網(wǎng)絡(luò)是擬強連通,意味著個體之間無需嚴格的通訊方式,更加符合現(xiàn)實社會的情景,故應(yīng)用范疇取得突破.

4 仿真實驗

4.1 應(yīng)用于多元無知個體

應(yīng)用本文所提出的多維觀點動力學模型重現(xiàn)“多元無知”這一經(jīng)典的社會現(xiàn)象[29].“多元無知”是指在一個個體中,只要反對意見不以明確、強烈的形式表現(xiàn)出來,一般成員就會產(chǎn)生一種錯覺,以為大家的意見都是一致的.在現(xiàn)實中,不充分的信息交流(網(wǎng)絡(luò)是擬強連通的)是導致“多元無知”社會現(xiàn)象的主要原因之一,與本文社會網(wǎng)絡(luò)是擬強連通的條件相吻合.考慮由7 個個體組成的社會群體,其中,含有3 個遺忘個體(藍色).網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示(未畫出自環(huán)),其所對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)影響矩陣為

圖2 具有遺忘個體的社會網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Social networks with oblivion individuals

以及敏感度矩陣為Λ=In-diag{wii}.設(shè)個體的初始觀點為

個體恢復力參數(shù)矩陣為

易知,個體2,4 和6 是不受外界因素影響的遺忘個體,且持反對觀點.根據(jù)圖3 可得,個體1,3,5 和7 的表達觀點從開始持支持態(tài)度演化到持反對態(tài)度,其私人觀念和表達觀念產(chǎn)生顯著的差異.這是因為從眾壓力的影響,個體1,3,5 和7 不斷修改已形成的表達觀點來適應(yīng)持反對態(tài)度的“本地輿論”.圖3中,不同顏色的線型表示不同個體的表達/私人觀點.

圖3 多元無知Fig.3 Pluralistic ignorance

4.2 仿真分析

本節(jié)將分析邏輯矩陣C和恢復力參數(shù)?i對個體私人觀點與表達觀點之間(差異)的影響.考慮由7 個個體組成的一個網(wǎng)絡(luò)G(W),其中,含有3 個遺忘個體(藍色).人際影響網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4 所示(未畫出自環(huán)),所對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)影響矩陣為

圖4 具有遺忘個體的社會網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Social networks with oblivion individuals

以及敏感度矩陣為Λ=In-diag{wii}.根據(jù)個體數(shù)量,設(shè)定“本地輿論”包含所有個體的表達觀點,即,,且

設(shè)?i=0.1,分別設(shè)邏輯矩陣C為

由圖5～11 可知,當不同話題的觀點互不影響(C=C1)時,社會網(wǎng)絡(luò)G(W)中所有個體的私人觀點和表達觀點都是支持話題1,反對話題2.當C=C2時,所有個體的私人觀點和表達觀點都還支持話題1,但支持的態(tài)度有所減弱.所有個體的表達觀點卻由之前都是反對話題2 變成了支持話題2,個體1～4 的私人觀點仍然反對話題2,但反對的態(tài)度有所減弱,遺忘個體5～7 的私人觀點由之前都是反對話題2 演化成了支持話題2.

圖5 個體1 的觀點Fig.5 Opinions of individual 1

圖6 個體2 的觀點Fig.6 Opinions of individual 2

圖7 個體3 的觀點Fig.7 Opinions of individual 3

圖8 個體4 的觀點Fig.8 Opinions of individual 4

進一步地,由圖9～11 可知,當C=C1時,遺忘個體5～7 分別對于話題1 和話題2 的私人觀點與表達觀點非常相近,相對于話題1 和話題2,產(chǎn)生觀點兩極分化的現(xiàn)象.當C=C2時,針對話題1 和話題2,遺忘個體5～7 的私人觀點與表達觀點都非常相近,產(chǎn)生觀點一致的現(xiàn)象.

圖9 個體5 的觀點Fig.9 Opinions of individual 5

圖10 個體6 的觀點Fig.10 Opinions of individual 6

圖11 個體7 的觀點Fig.11 Opinions of individual 7

為了分析從眾壓力對于個體表達觀點和私人觀點差異的影響,設(shè)?i=0.1,?i=0.3,?i=0.6,?i=0.9 和C=C1.由圖12 可知,恢復力參數(shù)?i越大,個體的私人觀點與表達觀點越接近.換言之,從眾壓力越大,個體私人觀點與表達觀點的差異越大.這與現(xiàn)實世界的經(jīng)驗一致,即個體會因外部環(huán)境的影響而適當?shù)馗淖冏约旱闹饔^觀點.圖12 中,不同顏色的線型表示不同個體的表達/私人觀點.

圖12 觀點動力學模型(17):C=C1Fig.12 Opinion dynamics model (17)withC=C1

5 結(jié)束語

本文提出了一個新的具有遺忘個體的多維觀點動力學模型,刻畫出了不同話題之間表達/私人觀點的互相影響.在社會網(wǎng)絡(luò)是擬強連通的條件下,根據(jù)邏輯矩陣和網(wǎng)絡(luò)影響子矩陣的正則性,給出了表達觀點和私人觀點收斂的充分條件.應(yīng)用本文所提出的觀點動力學模型,復現(xiàn)了“多元無知”的社會現(xiàn)象.仿真分析表明從眾壓力的恢復力越小,表達觀點與私人觀點的差異越大.另外,進一步討論了邏輯矩陣對表達觀點和私人觀點演化的影響.

在現(xiàn)實社會中,個體的表達觀點在傳播和演變過程中,觀點傳播的速度可能受個體自由意志或者社交媒體的影響.因此,針對觀點傳播速度的研究是一個值得考慮的問題.這是本文的不足之處.在未來的工作中,一方面,在考慮時間復雜度的基礎(chǔ)上,建立連續(xù)型的觀點動力學社會模型,深入研究觀點傳播或者演化的速度;另一方面,借鑒探究Bass模型在新領(lǐng)域擴展應(yīng)用的思想[30]和利用DEA 模型評價優(yōu)勢的思想[31],從一個全新的角度拓展社會網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用及說明觀點動力學模型具有的優(yōu)勢.