徐 宏 傅景禮

(山東外事職業(yè)大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,山東威海 264500)

引言

伺服驅(qū)動的數(shù)控機(jī)床中,進(jìn)給系統(tǒng)的定位精度高低決定了零部件的加工精度、表面質(zhì)量[1-3],且進(jìn)給動作進(jìn)行時,其運(yùn)動平穩(wěn)性還直接影響機(jī)床的刀具壽命,故現(xiàn)代加工與制造業(yè)對進(jìn)給傳動系統(tǒng)有更高的速度與定位精度要求[4-5],以使數(shù)控設(shè)備具有更高性能.激光切割機(jī)具有典型的進(jìn)給傳動系統(tǒng)在校準(zhǔn)后能夠保證加工精度,但是,一段時間過后,其精度無法滿足加工需要.若重新校準(zhǔn)需要大量的工作步驟,使激光切割機(jī)的加工效率大大降低,還會帶來成本問題[6-8].因此,本文對激光切割機(jī)伺服電機(jī)驅(qū)動的滾珠絲杠進(jìn)給傳動系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模,研究其動態(tài)特性,成為有效地降低及控制伺服電機(jī)驅(qū)動的進(jìn)給過程中扭轉(zhuǎn)振動的關(guān)鍵技術(shù).

分析力學(xué)選擇坐標(biāo),基于理想約束的概念,從能量的角度提出動力學(xué)系統(tǒng)的基本原理,建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程,適合解決質(zhì)點(diǎn)系和多剛體系統(tǒng)的機(jī)械裝置的復(fù)雜問題[9],在約束力學(xué)系統(tǒng)和機(jī)械動力系統(tǒng)的建模方面得到廣泛應(yīng)用[10-11].通過構(gòu)造系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù),寫出其Lagrange 方程,從能量的角度建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程Lagrange 方程[12-13].1918 年Noether 提出了著名的Noether 定理,描述了動力學(xué)系統(tǒng)的某種對稱性和守恒量之間一一對應(yīng)的關(guān)系.近年來,Noether 對稱性已被推廣應(yīng)用到多種約束力學(xué)系統(tǒng)(例如非保守系統(tǒng)、非完整系統(tǒng)、Birkhoff 系統(tǒng)和機(jī)電耦合系統(tǒng)等)中[9,14-21],理論趨于完善.事實(shí)上,不論是機(jī)械系統(tǒng)、機(jī)電耦合系統(tǒng)還是一般電路系統(tǒng),都可用Noether 對稱性理論得到系統(tǒng)的解[22-24].

本文將Noether 對稱性理論應(yīng)用于激光切割機(jī)伺服電機(jī)驅(qū)動的滾珠絲桿傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動問題.給出該系統(tǒng)的動能、勢能和Lagrange 函數(shù);建立該系統(tǒng)的第二類Lagrange 方程和約束方程;引入關(guān)于時間和廣義坐標(biāo)的變換Lie 群,給出該系統(tǒng)的Noether定理和守恒量;利用得到的守恒量給出激光切割機(jī)傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),并對動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬.

1 激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的模型及其動力學(xué)方程

本文以具有3 個方向自由度的激光切割機(jī)為研究對象,如圖1 所示的激光切割機(jī)是由直線模組搭建的示意圖.該切割機(jī)以X,Y,Z軸三分方向進(jìn)行進(jìn)給傳動運(yùn)動,各軸傳動均采用滾珠絲杠進(jìn)行動作[25],并且X,Y,Z軸均由伺服電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動,表1 列出了以江蘇亞威機(jī)床股份有限公司生產(chǎn)的HLH2040 激光切割機(jī)為研究對象的技術(shù)參數(shù).

表1 HLH2040 激光切割機(jī)技術(shù)參數(shù)Table 1 Technical parameters of HLH2040 laser cutting machine

圖1 激光切割機(jī)示意圖Fig.1 Schematic of a laser cutting machine

下面給出激光切割機(jī)的進(jìn)給傳動系統(tǒng)主要部件的組成示意圖,如圖2 所示.在傳動進(jìn)給過程當(dāng)中,軸向載荷引起該系統(tǒng)的軸向變形和振動,在此振動過程中,可等效為激光切割機(jī)滾珠絲杠和伺服電機(jī)系統(tǒng)發(fā)生的振動位移[26].

圖2 進(jìn)給系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic of feed drive system

本文將帶負(fù)載沿X軸方向一側(cè)的傳動系統(tǒng)作為研究對象.因激光切割機(jī)在傳動進(jìn)給過程中沿該方向的移動運(yùn)行次數(shù)是最多的,且負(fù)載相對較大,運(yùn)行速度相對較快,故此方向傳動系統(tǒng)動態(tài)特性對激光切割機(jī)在運(yùn)行過程中的定位精度影響最大[27].

現(xiàn)對滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的軸向進(jìn)行集中質(zhì)量建模,滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的2 個自由度將被保留.滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)簡化后的等效軸向振動模型如圖3 所示.

圖3 進(jìn)給系統(tǒng)等效軸向振動模型Fig.3 Equivalent axial vibration model of feed system

一般機(jī)電系統(tǒng)Lagrange 方程[28]為

式中,zs,qs為系統(tǒng)相互獨(dú)立的機(jī)械與電氣廣義坐標(biāo),D為耗散函數(shù),Qs和Ek為對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力和電源電壓,Λs為非完整約束力.其中

λβ為約束乘子,系統(tǒng)的非完整約束為

在簡化動力學(xué)模型中,假設(shè)激光切割機(jī)作X軸方向一側(cè)的傳動進(jìn)給產(chǎn)生振動.系統(tǒng)中等效的伺服電機(jī)質(zhì)量ms、滾珠絲杠質(zhì)量為mg,伺服電機(jī)驅(qū)動位移xs、滾珠絲杠的位移xg,滾珠絲杠轉(zhuǎn)動慣量為Jg,伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量為Js,θs和 θg分別是伺服電機(jī)和滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動角度,k1和k2為伺服電機(jī)和滾珠絲杠的等效剛度.c1和c2是伺服電機(jī)和滾珠絲杠的等效阻尼,系統(tǒng)中的耗散函數(shù)為

故xs與xg為廣義坐標(biāo),則激光切割機(jī)進(jìn)給系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的動能為

不計激光切割機(jī)在傳動進(jìn)給過程負(fù)載重量的影響,勢能為存儲于變形的彈簧中的勢能,則

假設(shè)伺服電機(jī)與滾珠絲杠轉(zhuǎn)動的角度與位移之間的系數(shù)為E1與E2,有如下的約束關(guān)系

那么,此系統(tǒng)存在非完整約束.

故系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)可表示為

因激光切割機(jī)床的激光器不直接與工件接觸,在加工過程中,沒有外力的作用,系統(tǒng)廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力為Qs=0.考慮系統(tǒng)耗散公式D,將式L方程和廣義力方程代入一般Lagrange 方程,可以得到系統(tǒng)運(yùn)動微分方程為

2 激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 對稱性與守恒量

引進(jìn)群關(guān)于時間、坐標(biāo)的無限小變換[29]

其中,ε 為無限小參數(shù),ξ0,ξ1,ξ2為無限小變換的生成元.

引入激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動Hamilton作用量[30],若γ 表示某曲線,則

在變換式(11)下,曲線γ 將變?yōu)棣?,那么此時系統(tǒng)的Hamilton 作用量表示為

作用量S的變分 ΔS為S(γ*)-S(γ) 的相對 ε 的主線性部分,有

將無線小變換代入變分公式,并注意到

式(16)和式(18)為該系統(tǒng)Hamilton 作用量變分的基本公式.

定義1如果激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Hamilton 作用量是無限小變換下的不變量,即無限小變換滿足

則無限小變換是完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)的Noether 對稱性變換.

定義2如果系統(tǒng)Hamilton 作用量是無限小群變換的廣義準(zhǔn)不變量,即對每一個無限小變換,始終存在

其中,G為規(guī)范函數(shù),Q1和Q2為廣義力,本系統(tǒng)中的兩個廣義力為0,Λ1和 Λ2表示廣義非完整約束力,則稱變換式(11)為系統(tǒng)廣義準(zhǔn)對稱變換.

由上述定義公式(19)和系統(tǒng) Hamilton 作用量變分的基本公式可以得到完整系統(tǒng)的如下判據(jù)1:對于無限小群變換式(11),若滿足條件

則變換式(11)為完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 對稱性變換.

由于 ε 獨(dú)立性可以得到完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 恒等式

Noether 定理 1:假設(shè)無限小變換式 (11) 是完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的 Noether 對稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理 1 也可以表示為 Noether 定理2.

Noether 定理 2:對于完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動,若無限小變換式 (11)滿足Noether恒等式 (22),則完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)存在守恒量(23).

用定義公式 (20) 和系統(tǒng) Hamilton 作用量變分的基本公式可以得到保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳系統(tǒng)動扭轉(zhuǎn)振動廣義Noether 準(zhǔn)對稱性的如下判據(jù)2:對于無限小群變換式(11),若滿足條件

則變換式(11)是保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換.

由于 ε 獨(dú)立性,可以得到保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether 恒等式

Noether 定理 3:若存在規(guī)范函數(shù)G,使得無限小變換式(11)是保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動廣義Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理 3 也可以表示為: 對于保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng),如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無限小變換式 (11) 滿足Noether 恒等式(25),則該系統(tǒng)存在守恒量 (26).

定義3如果無限小變換式(11)是保守非完整廣義 Noether 準(zhǔn)對稱性變換,且變換還滿足條件

則稱變換式 (11) 是保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的強(qiáng)廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換.

Noether 定理 4:如果存在規(guī)范函數(shù)使得無限小變換式 (11) 是保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的強(qiáng)廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量 (26).

當(dāng)條件(27)放寬為以下條件

便可以得出激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的弱廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換.

Noether 定理 5:如果存在規(guī)范函數(shù)使得無限小變換式 (11) 是保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的弱廣義 Noether 準(zhǔn)對稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量 (26).

由 Noether 守恒量 (26) 再給定初始條件便可得出保守非完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動相應(yīng)保守完整激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動在進(jìn)給過程中的運(yùn)動規(guī)律.

對于該振動系統(tǒng),如果存在規(guī)范函數(shù)G=G(t,xs,,xg,),那么系統(tǒng)的Noether 等式

Noether 等式可以寫成Killing 方程的形式

將系統(tǒng)的Lagrange 方程代入廣義Killing 方程,得到以下3 個方程

設(shè)生成函數(shù)有下面的形式

將G和生成函數(shù)代入Killing 方程式(30)得

將等式兩邊相同項(xiàng)系數(shù)整理出來,得

經(jīng)計算,可得

生成元可表示為

當(dāng)s0,s1,s2取特殊值時,可以得到以下幾種對稱性

由激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Noether定理形如下

代入系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)可以得到以下守恒量

我們觀察到守恒量I3=0,顯然這是平庸的;I1=-I2,說明它們不是相互獨(dú)立的;且I1,I2,I4和I5是系統(tǒng)的能量積分.如果有足夠的守恒量,守恒量就可以用于求運(yùn)動方程的精確解,同時可以用于對方程求數(shù)值解.

3 激光切割機(jī)傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的動態(tài)響應(yīng)

激光切割機(jī)傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的守恒量以及對稱性解的計算可以借助MATLAB 軟件,通過它可以編寫程序繪制相應(yīng)的動態(tài)曲線[31].HLH2040 激光切割機(jī)加工范圍是4000 mm×2000 mm,工作臺最大載重1500 kg,其加、減速初始階段會有機(jī)床振動現(xiàn)象產(chǎn)生[32],在0～0.2 s 時間段內(nèi)應(yīng)用前文研究的守恒量.

激光切割機(jī)啟動的初始值設(shè)定為0

系統(tǒng)中各技術(shù)參數(shù)列于表2.

表2 技術(shù)參數(shù)Table 2 Technical parameters

伺服電機(jī)選擇額定容量為1.5 kW 的電機(jī)模型,轉(zhuǎn)動扭矩約為9.5 N·M

根據(jù)得到的守恒量、系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以求得系統(tǒng)的響應(yīng)方程

代入初始值可得到如圖4 和圖5 所示的動態(tài)響應(yīng).

圖4 伺服電機(jī)的速度和加速度響應(yīng)Fig.4 The velocity response and acceleration response of the servo motor

圖5 滾珠絲桿的速度和加速度響應(yīng)Fig.5 The velocity response and acceleration response of the ball screw

圖4(a)和圖4(b)為伺服電機(jī)的速度響應(yīng)和加速度響應(yīng),從這兩張圖可以看出,在啟動瞬間隨著時間的推移,系統(tǒng)趨于穩(wěn)定運(yùn)行,本文所用的對稱性方法的加入使得系統(tǒng)能夠在極短的時間,約10 ms 的時間,即迅速穩(wěn)定.

圖5(a)和圖5(b)為滾珠絲桿的速度響應(yīng)和加速度響應(yīng),從這兩張圖可以看出,在啟動瞬間隨著時間的推移,系統(tǒng)趨于穩(wěn)定運(yùn)行,同樣使用分析力學(xué)Noether 對稱性方法約10 ms 的時間,系統(tǒng)快速趨于穩(wěn)定.

4 結(jié)論

本文將Lie 群理論應(yīng)用于伺服電機(jī)驅(qū)動的進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動問題,研究了兩自由度非完整保守激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動現(xiàn)象.首先,根據(jù)現(xiàn)有的一般機(jī)電系統(tǒng)模型,結(jié)合扭轉(zhuǎn)振動的力學(xué)模型,給出了機(jī)械動力學(xué)模型.其次,引入關(guān)于時間和坐標(biāo)的無窮小變換,描述激光切割機(jī)進(jìn)給驅(qū)動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的Hamilton 作用,并給出扭轉(zhuǎn)振動的相關(guān)定義,從而給出其相應(yīng)的Noether 定理.

然后,根據(jù)給出的定理,求出激光切割機(jī)進(jìn)給傳動系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動的守恒量.最后,將守恒量與扭轉(zhuǎn)振動的機(jī)械動力學(xué)方程相結(jié)合,得到系統(tǒng)的對稱解,并利用 MATLAB 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬.此外,本文給出的Lie 群分析方法還可應(yīng)用于其他復(fù)雜的機(jī)械振動系統(tǒng).