蔡成松

“設(shè)元”是列方程（組）解應(yīng)用題中至關(guān)重要的一環(huán).根據(jù)不同的實(shí)際問題，采用不同的設(shè)元方法，可以使解題事半功倍.那么，在解應(yīng)用題時(shí)如何正確有效地設(shè)元呢？可以參考以下三種方法.

一、找準(zhǔn)等量，直接設(shè)元

直接設(shè)元即根據(jù)題目中的等量關(guān)系，把要求的量直接用未知數(shù)表示.簡(jiǎn)單地說，就是題目需要求什么，就直接設(shè)什么，有幾個(gè)待求量，就設(shè)出幾個(gè)未知數(shù).只要題中的數(shù)量關(guān)系能用未知量明確地表示出來時(shí)，就可采用此方法.

例1

分析

解

二、回避問題，間接設(shè)元

間接設(shè)元即不直接對(duì)所求的目標(biāo)量進(jìn)行設(shè)元，而是先選取某個(gè)與目標(biāo)量密切相關(guān)的其他量作為未知元，再利用這個(gè)未知元求出目標(biāo)量.在解應(yīng)用題時(shí)，當(dāng)直接設(shè)元不容易解題時(shí)，可先回避所求目標(biāo)量，充分挖掘題目中與目標(biāo)量存在某種數(shù)量關(guān)系或某種比例關(guān)系的量，間接設(shè)元，從而順利解題.

例2小明騎自行車從甲地出發(fā)，先以每小時(shí)15千米的速度下坡后，再以每小時(shí)12千米的速度走平路到乙地，共用45分鐘.回來時(shí)，他又以每小時(shí)9千米的速度通過平路后，以每小時(shí)5千米的速度上坡，從乙地到甲地共用了1小時(shí)20分鐘，求甲乙兩地相距多少千米？

分析：本題涉及多個(gè)量，直接設(shè)元求解難度較大.若能找準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)南嚓P(guān)量，間接設(shè)元，則可以化難為易.

解法1：

解法2

三、設(shè)而不求，增設(shè)輔助元

有些應(yīng)用題，數(shù)量關(guān)系交錯(cuò)復(fù)雜，條件隱而不顯，無論是直接設(shè)元還是間接設(shè)元都不能清晰地表示出其等量關(guān)系，這時(shí)不妨增設(shè)輔助元，在已知量和未知量之間搭建解題的“橋梁”，以便理順各個(gè)量之間的關(guān)系，列出方程.增加一個(gè)輔助元，是為了便于我們找到等量關(guān)系列出方程，只起到輔助解題的作用，并不需要求出它的值.

例3某商店一種商品的進(jìn)價(jià)降低8%，而售價(jià)保持不變，可以使得商店的利潤(rùn)提高10%，則原來的利潤(rùn)率是百分之幾？

分析：本題涉及商品利潤(rùn)和利潤(rùn)率，直接設(shè)元求解較為棘手.由利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）/進(jìn)價(jià)×100%可知，利潤(rùn)、利潤(rùn)率均與商品售價(jià)、進(jìn)價(jià)有著千絲萬縷的聯(lián)系，但是商品的具體進(jìn)價(jià)、售價(jià)未知，而解題又需要它們，不妨將其作為輔助元.

解法1：

解法2：

總之，在列方程解應(yīng)用題時(shí)，通常是將要求的量設(shè)為未知數(shù)（直接設(shè)元）；而有時(shí)直接設(shè)元不易找出題目中的相等關(guān)系時(shí)，應(yīng)選擇題目中與要求的未知量相關(guān)的某個(gè)量為未知數(shù)（間接設(shè)元）；或增加一個(gè)可以輔助我們列出方程的量為未知數(shù)（增設(shè)輔助元）.巧妙恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元會(huì)給我們的解題帶來很大的方便.