袁曉明, 王維锜, 張睿聰, 周如林, 張立杰

(1. 燕山大學 河北省重型機械流體動力傳輸與控制實驗室, 河北 秦皇島 066004; 2.北京天瑪智控科技股份有限公司, 北京 101399)

引言

艦船在海上行駛過程中,海浪激勵是艦船搖擺運動的主要因素[1]。對于隨機海浪運動規(guī)律的分析,主要有切片理論[2-3]和譜分析法[4-5]兩種方法。切片理論以空氣動力學的細長體概念為基礎,在1955年被用于解決船舶搖擺問題[6],成為計算船舶縱搖運動的理論起點;譜分析法以海浪頻譜與方向譜為基礎,多用于隨機海浪造型演示[7-8]、海浪運動模擬平臺研發(fā)[9-10]等領域。

為了隔絕船舶運動對船舶設備的影響,通常使用艦船穩(wěn)定平臺補償船舶的運動,維持設備在慣性空間內的相對穩(wěn)定[11-13]。依據機構類型分類,艦船穩(wěn)定平臺可分為串聯穩(wěn)定平臺和并聯穩(wěn)定平臺兩種[14]。相對串聯穩(wěn)定平臺,并聯穩(wěn)定平臺以承載能力強、易于實現多軸耦合驅動等優(yōu)點,在高精度作業(yè)場合具有廣泛的應用前景[15]。

為進一步提高穩(wěn)定平臺的性能,通常采用具有響應速度快,累計誤差小等優(yōu)點的電液驅動形式[16-18]。但是流體工作介質引入導致的機液耦合作用[19-20]、機械構件的間隙與局部剛度帶來的非線性特征[21]、穩(wěn)定平臺工作過程中的姿態(tài)變化[22]等因素使機構的振動特性更為復雜,嚴重制約了穩(wěn)定平臺的補償與控制精度的提升[23]。當平臺在復雜海況下運行時,可能出現外部激勵接近穩(wěn)定平臺固有頻率的情況,嚴重時甚至可能導致設備的損壞[24],因此研究電液驅動的艦船并聯穩(wěn)定平臺振動特性具有重要意義。但是在研究電液驅動的艦船并聯穩(wěn)定平臺振動特性問題時,大多數學者建立動力學方程時通常忽略鉸鏈剛度的影響,對隨機海浪激勵條件下機構固有頻率變化規(guī)律的研究也尚未開展。

因此,以電液3-UPS/S艦船并聯穩(wěn)定平臺為研究對象,在考慮鉸鏈剛度的基礎上利用虛功原理建立機構的動力學方程。以6級海況下機構的姿態(tài)補償運動曲線作為輸入,分析了機構固有頻率的變化特性,以及機構固有頻率在連續(xù)變化工作空間內隨位姿的變化規(guī)律。本研究可為揭示電液驅動的并聯穩(wěn)定平臺振動的振動機理提供一定的理論基礎。

1 海浪擾動激勵下船舶運動規(guī)律分析

1.1 海浪運動描述

通常在工程中考慮的海浪為充分發(fā)展的海浪,因此基于海浪隨機理論,海浪被認為是長峰不規(guī)則波,即傳播方向單一,波峰線很長且相互平行。依據線性波理論,長峰不規(guī)則波可以被簡化為無限個不同波長、不同波幅、隨機初相位的單元規(guī)則波線性疊加組成,其數學表達式如式(1)所示:

(1)

式中,ζn—— 第n項組成波的波幅

kn—— 第n項組成波的波數

x—— 第n項自由度方向上的坐標

ωn—— 第n項組成波的頻率

εn—— 第n項組成波的隨機相位

實際海浪的運動過程可以看作是海浪的能量傳遞過程,因此為了描述海浪的統(tǒng)計特性引入了“能量譜”的概念。海浪的“能量譜”也被稱為海浪譜,描述了海浪的能量與各組成波的分布關系。現在常用的海浪譜多為半經驗半理論公式,為適應我國海域的海浪特點,我國海洋局也提出了適合我國海域的海浪譜函數,表達式如式(2)所示[25-26]:

(2)

式中,g—— 重力加速度

ωh—— 海浪波的頻率

U1—— 風速

1.2 船舶運動方程建立

在實際中,船舶受到海浪激勵而產生的運動是十分復雜的,同時受到自然環(huán)境、船體結構的影響,因此本研究對船舶運動數學方程的推導是基于以下三點假設:

(1) 船體是剛體,即在運動和受力時不發(fā)生彈性變形;

(2) 船體的運動可以使用線性疊加原理進行求解;

(3) 海浪為理想流體,不可壓縮,忽略其表面張力和流體黏性。

如圖1所示,分別建立固連于船舶的動坐標系O-xyz和固連于大地的慣性參考系G-XYZ,由假設(1)可知,船舶的運動可在動坐標系O-xyz中由6個相互獨立的空間坐標表示。

圖1 船體運動描述坐標系Fig.1 Description frame of hull motion

由假設(2)可知,船舶的復雜運動可分解為各空間坐標方向上的運動,依據微幅波理論,船舶在各空間坐標方向上的運動方程類似,可統(tǒng)一表示為如下形式:

(3)

表1 表征船舶運動的物理參數Tab.1 Physical parameters of ship motion

式中,Y(t) —— 船舶在海浪激勵下的運動響應

X(t) —— 海浪運動函數

χ—— 修正系數

c—— 衰減系數

ωc—— 船舶運動固有頻率

若船舶受到規(guī)則的波浪作用,則波浪的波面角方程可以擬合為正弦函數,則其復數形式為:

x(t)=Imx0ejωht

(4)

式中, Im —— 復數的虛部

j—— 虛數單位

船舶自身為一個二階線性系統(tǒng),則其響應也為簡諧運動,因此設式(3)特解如式(5)所示:

y(t)=Imy0ej(ωht+ε0)

(5)

式中,ε0為船舶運動與波面角的位相差。

將式(4)、式(5)代入式(3),并去掉虛部,可得:

(6)

由式(6)可得船舶運動的頻響函數為:

(7)

類比不規(guī)則海浪的簡化過程,船舶的運動也可以表示為無數個規(guī)則海浪激勵下的船舶運動的線性疊加。當船舶以一定航速和航向行駛時,遇到海浪時將會形成隨機海浪遭遇波能譜,其表達式為:

(8)

式中,Sx(ωe) —— 遭遇頻率的波能譜函數

Sζ(ωh) —— 海浪譜函數,選取式(2)

ωe—— 遭遇頻率

v1—— 船舶航速

σ—— 船舶航向角

則船舶運動的能譜密度函數與遭遇頻率的波能譜密度函數之間的關系為:

Sy(ωe)=|W(jωe)|2Sx(ωe)

(9)

為得到船舶在某段時間的運動樣本,參照隨機海浪模擬的方式,在船舶運動的譜空間內以Δω為間隔進行隨機抽樣,Δω的選取原則如表2所示,最終得到船舶運動響應解析表達式如下:

表2 海浪譜采樣頻段分布Tab.2 Distribution of wave spectrum sampling frequency

(10)

式中,Sy(ωi) —— 第i個遭遇波的能譜密度

ωi—— 第i個遭遇波頻率

εi—— 第i個遭遇波的初相位,εi∈[0,2π]

1.3 船舶運動響應仿真

電液3-UPS/S平臺在實際工況中主要功能是為了補償船舶的橫搖和縱搖方向上的運動,因此為了獲得平臺的運動規(guī)律,下文將對船舶在不規(guī)則海浪激勵下俯仰和回轉的運動響應進行求解,仿真相關參數如表3所示。

表3 仿真相關參數Tab.3 Correlation parameter of simulation

將表3中相關參數代入式(2)中,可得到6級海況條件下的海浪譜密度曲線,如圖2所示。從圖中可以看出,當波浪激勵頻率ωh∈[0.2,2.2]時,海浪譜存在有明顯能量,當ωh為0.471 rad/s時,海浪能量譜達到峰值,能量峰值為2.772 m2/s。

圖2 海浪譜密度曲線Fig.2 Density curve of wave spectral

船舶運動的相關參數如表4所示。

表4 船舶運動相關參數Tab.4 Related parameters of ship motion

將船舶橫搖、縱搖運動相關參數代入式(8)～式(10)中即可得到船舶橫搖、縱搖能量譜,如圖3所示。從圖3a中可以看出當波浪激勵頻率ωh∈[0.3,1.2]時,橫搖能量譜存在有明顯能量,當波浪激勵頻率ωh為0.696 rad/s時,船舶橫搖運動能量譜達到峰值,能量峰值為0.0114 m2/s;由圖3b可知,當波浪激勵頻率ωh∈[0.3,1.35]時,海浪譜存在有明顯能量,當波浪激勵頻率ωh為0.933 rad/s時,船舶縱搖運動能量譜達到峰值,能量峰值為0.0254 m2/s,縱搖運動能量譜峰值約為橫搖運動能量譜峰值的2倍。

仿真風速為12 m/s,根據表2可知采樣間隔Δω取為0.08 rad/s,將相關參數代入式(10),可得到不規(guī)則海浪激勵下的運動響應曲線如圖4所示。從圖4a中可看出,在船舶在6級海況下的橫搖運動響應最大值約為2.625°。從圖4b中可得知,船舶在6級海況下的縱搖運動響應最大值約為5.17°,對應圖3的分析結果,縱搖運動響應最大值約為橫搖運動響應響應最大值的2倍。橫搖與縱搖運動曲線變化具有周期性,這是隨機海浪運動具有周期性的結果。

圖4 船舶運動響應曲線Fig.4 Response curve of ship motion

2 電液3-UPS/S平臺動力學分析

2.1 電液3-UPS/S平臺姿態(tài)描述

為對電液3-UPS/S平臺機構進行運動學分析,需要建立如圖5所示的3-UPS/S平臺系統(tǒng)坐標系,各坐標系意義如下。

穩(wěn)定平臺動平臺固連坐標系U-xyz:坐標系原點U位于三角形u1u2u3的中點,x軸指向球鉸中心u1,z軸垂直于動平臺,y軸通過右手法則確定。

穩(wěn)定平臺靜平臺固連坐標系D-XYZ:坐標系原點D位于三角形d1d2d3的中點,X軸指向萬向鉸中心d1,Z軸垂直于靜平臺,Y軸通過右手法則確定。

船舶運動參考坐標系Os-xsyszs:坐標系原點Os固連于船舶搖蕩運動的中心,xs軸指向船舶航行方向,zs軸垂直于x軸,ys軸通過右手法則確定。

船舶固連坐標系O-xyz:無擾動時坐標系方向與船舶運動參考坐標系方向平行, 當船舶由于海浪激勵產生運動時方向隨船舶運動方向改變。

當進行姿態(tài)補償時,動平臺固連坐標系U-xyz應時刻與船舶運動參考坐標系Os-xsyszs方向平行。動平臺固連坐標系與船舶運動參考坐標系的旋轉矩陣可表示為:

(11)

采取RPY角描述平臺姿態(tài),即選取坐標系U-xyz相對于坐標系D-XYZ3個方向的轉動α,β,γ作為廣義坐標,則平臺的位姿也隨之相應確定。依據RPY角的描述,X,Y,Z軸方向上的旋轉為依次被稱為回轉、俯仰、偏轉姿態(tài),由此可得到坐標系U-xyz相對于坐標系D-XYZ的旋轉變換矩陣為:

(12)

s —— sin()

c —— cos()

將船舶在隨機海浪激勵下的運動響應代入式(11)、式(12)中計算在6級海況下平臺為保持設備的穩(wěn)定的運動曲線,結果如圖6所示。

對比圖6a和圖4a可以看出,平臺回轉姿態(tài)補償角度與船舶橫搖運動響應變化趨勢近似相同,但是當船舶進行小幅度的橫搖運動時, 回轉姿態(tài)補償角度與船舶橫搖運動角度存在數值差異;對比圖6b和圖4b可知,平臺俯仰姿態(tài)補償角度與船舶縱搖運動響應之間存在相同的規(guī)律。由圖6c可以看出,偏轉方向姿態(tài)補償角度最大值約為0.17°,且呈現一定的周期性,運動周期大于回轉與俯仰姿態(tài)補償角度的運動周期,這是船舶運動存在周期性的結果。

2.2 電液3-UPS/S平臺位置分析

球鉸中心ui(i=1, 2, 3)在坐標系U-xyz中的位置矢量可表示為:

(13)

ru—— 上平臺半徑

萬向鉸中心di在坐標系D-XYZ中的位置矢量可表示為:

(14)

rd—— 下平臺半徑

建立如圖7所示的支鏈位置矢量圖,坐標系U-xyz為穩(wěn)定平臺動平臺固連坐標系;坐標系D-XYZ為穩(wěn)定平臺靜平臺固連坐標系;局部坐標系di-xdiydizdi建立于萬向鉸中心處,局部坐標系ui-xuiyuizui建立于球鉸中心處。zdi軸,zui軸與支鏈單位方向向量ei方向相同,萬向鉸繞著xdi軸,ydi軸的轉角值分別為θdi,φdi;球鉸繞著xui軸,yui軸,zui的轉角值分別為θui,φui,γui;ψdi,ψui分別為萬向鉸和球鉸的安裝角度,由平臺結構確定。

由圖7可知,支鏈的閉環(huán)方程可表示為:

(15)

式中,li—— 第i條支鏈的長度,i=1,2,3

ei—— 第i條支鏈的單位方向向量

u0—— 坐標系U-xyz相對于坐標系D-XYZ的初始位移矢量

u—— 坐標系U-xyz相對于坐標系D-XYZ的位移矢量

由此可得機構的支鏈長度表達式為:

(16)

支鏈中下連桿質心位置可表示為:

(17)

式中,pgi—— 第i條支鏈下連桿質心位置矢量

qi—— 第i條支鏈下連桿質心到萬向鉸中心的距離

對于第i個萬向鉸,其局部坐標系di-xdiydizdi與坐標系D-XYZ之間的旋轉變換矩陣可表示為:

(18)

(19)

根據式(19)可計算萬向鉸的轉角值,所得表達式為:

(20)

(21)

式中, (RFi)a,b為矩陣RFi的元素,i,a,b=1,2,3。

2.3 電液3-UPS/S平臺速度分析

求解式(15)對時間的一階導數,即可得到支鏈的速度方程為:

(22)

式中,ωzi—— 第i條支鏈角速度

ωu—— 動平臺角速度

由此可得到支鏈伸縮速率與動平臺角速度之間的關系為:

(23)

由式(23)可得支鏈與動平臺之間的速度雅克比矩陣為:

(24)

計算式(22)與支鏈單位方向向量ei的乘積,并將結果在局部坐標系di-xdiydizdi中表示,則可得:

(25)

支鏈的角速度由萬向鉸的旋轉產生,因此支鏈轉動的角速度在局部坐標系di-xdiydizdi可表示為:

(26)

將式(26)中的矢量在局部坐標系di-xdiydizdi中表示,則式(26)可轉化為:

(27)

結合式(25)、式(27),可得萬向節(jié)轉動角速度為:

(28)

由此可以得到萬向鉸的速度雅克比矩陣為:

(29)

(30)

同理,考慮球鉸與動平臺之間的運動傳遞關系,支鏈的角速度可表達為:

(31)

將式(31)中矢量在局部坐標系ui-xuiyuizui中表示,可得到:

R(φui,yui)T(0 1 0)T+

(32)

結合式(25)和式(32)可求得球鉸轉動角速度表達式為:

(33)

由此可以得到球鉸的速度雅克比矩陣為:

(34)

(35)

(36)

求式(17)對時間的導數,則有:

(37)

結合式(20)和式(37),可到下連桿的速度雅克比矩陣為:

(38)

同理可得上連桿的速度雅克比矩陣為:

(39)

式中,hi為第i條支鏈上連桿質心到萬向鉸中心的距離。

2.4 電液3-UPS/S平臺動力學方程

為構建機構的動力學方程,需要做出如下假設:

(1) 忽略機構在加工和裝配過程中所產生的誤差;

(2) 支鏈對上平臺的作用力可等效為沿著支鏈伸縮方向的彈簧力;

(3) 忽略各構件之間的相對摩擦。

由此計算作用在機構各構件上作用力虛功率,則由虛功率原理可得式(40):

(40)

式中,fu—— 動平臺作用力矩陣

k—— 支鏈剛度矩陣

c—— 支鏈阻尼矩陣

Iu—— 動平臺慣量矩陣

ωu—— 動平臺角速度矢量

mgi—— 第i條支鏈下連桿質量

mhi—— 第i條支鏈上連桿質量

忽略科氏力和離心力,則式(40)可化簡為如下形式:

(41)

由于各廣義坐標相互獨立,則ωu各分量也是相互獨立的,則系數應全部為0,最終可得到機構的動力學方程如下:

(42)

式中,M—— 機構慣量矩陣

C—— 機構阻尼矩陣

K—— 機構剛度矩陣

(43)

(44)

(45)

3 電液3-UPS/S平臺振動特性分析

3.1 電液3-UPS/S平臺支鏈剛度分析

電液3-UPS/S平臺結構參數如表5所示。

表5 電液3-UPS/S平臺結構參數Tab.5 Structure parameter of electro-hydraulic 3-UPS/S platform

為避免機構的奇異位姿,取初始位姿為α=0°,β=0°,γ=28°,計算電液3-UPS/S平臺機構在該位姿下的剛度矩陣,如式(46)所示:

(46)

從剛度矩陣可以看出,電液3-UPS/S平臺機構在回轉、俯仰方向上液壓剛度數值相同,而偏轉方向上液壓剛度數值最小。同時可以看到在初始位姿下,剛度矩陣為軸對稱矩陣,各個方向上的耦合剛度較小,基本可忽略不計,剛度矩陣可近似看作對角陣。

3.2 電液3-UPS/S平臺固定位姿下模態(tài)分析

基于式(42)所示的自由振動模型和表5所示結構參數,計算了平臺在初始位姿α=0°,β=0°,γ=28°和隨機位姿α=10°,β=10°,γ=28°下的固有頻率和模態(tài)振型,結果如表6、表7所示。

表6 初始位姿下固有頻率和模態(tài)振型Tab.6 Natural frequency and mode shape at initial pose

表7 隨機位姿下固有頻率和模態(tài)振型Tab.7 Natural frequency and mode shapes at random pose

表8 模態(tài)試驗結果Tab.8 Results of modal test

對表6、表7的數據分析可知,可得到如下結論:

(1) 振動頻率依次為機構的各階固有頻率時,機構的最大振動響應依次出現于偏轉、俯仰和回轉方向,在實際工況中,激勵頻率最容易接近一階固有頻率,因此機構在偏轉方向上最易出現共振現象;

(2) 在初始位姿下,偏轉方向上固有頻率最小,回轉和俯仰方向上固有頻率近似相等,這與剛度矩陣分析的結果一致;俯仰和回轉方向上的振動響應存在一定的耦合性,但是二者與偏轉方向的耦合性較小;

(3) 隨著機構位姿發(fā)生改變,各方向上振動的耦合性增強,各階固有頻率數值也發(fā)生了改變,這是由于機構的速度雅克比矩陣發(fā)生改變,進而影響了機構的質量矩陣與剛度矩陣;

(4) 當機構位姿發(fā)生改變時,各階固有頻率的變化趨勢并不相同,一階、三階固有頻率增大,二階固有頻率減小。

3.3 海浪激勵下電液3-UPS/S平臺固有頻率分析

以圖6所示的平臺運動曲線作為輸入,通過式(42)即可得到在6級海況下電液3-UPS/S平臺機構在運動過程中固有頻率的變化規(guī)律,得到的最終結果如圖8所示。

圖8 固有頻率變化曲線Fig.8 Natural frequency curve

從圖8中可以看出,機構的固有頻率隨著位姿的不同而發(fā)生改變,其中一階固有頻率極差最小,對機構的位姿變化最不敏感。當機構偏離初始位姿的角度較小時,二階固有頻率和三階固有頻率近似相等,這是由于機構偏離初始位姿角度較小,機構在俯仰與回轉方向上的流體等效剛度近似相等。同時,各階固有頻率變化具有周期性,這是由于機構的運動軌跡具有周期性,進而影響了機構的轉動慣量與剛度。

3.4 電液3-UPS/S平臺工作空間固有頻率分析

由圖6可知,當平臺用于維持設備水平方向穩(wěn)定時,偏轉方向上姿態(tài)補償角度變化范圍較小,主要通過回轉、俯仰方向上的運動進行角度補償。根據工作空間搜索理論,當偏轉姿態(tài)角度γ=28°時,回轉、俯仰姿態(tài)角度連續(xù)變化范圍最大[27],因此以該位姿作為初始工作空間,得到機構的固有頻率變化曲線如圖9所示。

圖9 工作空間內固有頻率變化曲線Fig.9 Natural frequency curve in workspace

由圖9可知,在偏轉姿態(tài)角度不發(fā)生改變的情況下,各階固有頻率隨位姿的變化呈現明顯的對稱性,且以一階固有頻率最為明顯,對應的是偏轉姿態(tài)方向上的運動。當機構逐漸偏離初始位姿時,各階固有頻率變化趨勢并不相同,有的增大,有的減小。對比圖9a,圖9b發(fā)現,機構各階固有頻率取得最大值與最小值的姿態(tài)位置并不相同,通常情況下,當機構的俯仰姿態(tài)角度與回轉姿態(tài)角度相差較大時,機構的固有頻率會接近極限值,但是二階固有頻率在機構初始位姿下數值較大,當機構進行姿態(tài)補償而逐漸偏離初始位姿時,二階固有頻率逐漸減小,并在α=-20°,β=-20°附近取得最小值。另外可以看到,一階固有頻率受姿態(tài)影響最小,二階固有頻率次之,三階固有頻率受姿態(tài)影響最大。

4 電液3-UPS/S平臺動力學模型驗證

為驗證動力學模型的正確性,采用脈沖激振法對電液3-UPS/S平臺樣機進行模態(tài)試驗,樣機如圖10所示。

圖10 電液3-UPS/S平臺樣機Fig.10 Proto of electro-hydraulic 3-UPS/S platform

1.油箱 2.液位計 3.液溫計 4.過濾器 5.電機、液壓泵 6.溢流閥 7.截止閥 8.精過濾器 9.伺服閥 10.平臺樣機 11.加速度傳感器 12.力錘 13.下位機 14.計算機圖11 模態(tài)試驗原理圖Fig.11 Schematic diagram of modal test

圖12 模態(tài)試驗系統(tǒng)Fig.12 Modal test system

為驗證自由振動理論模型的正確性,采用脈沖激振法測量3-UPS/S平臺樣機在隨機位姿α=10°,β=10°,γ=28°下的固有頻率,實驗原理圖如11所示。力錘敲擊樣機動平臺給予脈沖激勵,樣機的加速度變化通過加速度傳感器收集并傳遞至下位機,由此產生的力信號經由力錘自帶的傳感器傳遞至下位機,最終下位機將收集到信號傳輸至電腦進行儲存。

實驗中所用采樣頻率為640 Hz, 因此滿足采樣定理要求,采集信號具有可信度,實驗所采集的激勵信號與振動信號的時域曲線,如圖13所示。

圖13 測量信號時域曲線Fig.13 Time domain curve of measure signal

對圖13所得數據進行數據處理,可得到樣機響應信號的功率譜密度PSD曲線,如圖14所示。觀察圖14可以看出,曲線在26.31, 126.41, 141.88 Hz處具有明顯峰值,通過與機構固有頻率理論值對比,理論值與實驗值的最大誤差為4.66%,因此可驗證理論模型的正確性。

圖14 功率譜密度曲線Fig.14 Density curve of power spectral

5 結論

(1) 在考慮球鉸、萬向鉸剛度的基礎上,應用虛功率原理建立了機構的動力學方程,并以6級海況下機構的姿態(tài)補償運動曲線作為輸入,分析了機構的固有頻率變化規(guī)律,結果表明:當機構主要維持設備水平方向的穩(wěn)定時,機構的二階、三階固有頻率將發(fā)生顯著改變,一階固有頻率則幾乎不變,且固有頻率的變化呈現周期性;

(2) 機構的固有頻率是機構位姿的函數,在初始工作空間內,機構的固有頻率變化具有對稱性,取得極值的位置也并不相同,且對比發(fā)現,隨著機構位姿的改變,機構的三階固有頻率變化最為劇烈,二階固有頻率次之,一階固有頻率變化最為平緩;

(3) 采用模態(tài)試驗方法對理論模型進行驗證,模態(tài)試驗中理論頻率與實際頻率最大誤差為4.66%,驗證了振動理論模型的正確性。