■徐 勇

“痛點”是當下比較熱的互聯(lián)網(wǎng)術語,一般指市場不能充分滿足的,而客戶迫切需要滿足的需求。在數(shù)學解題過程中,我們也會經(jīng)常碰到類似的“痛點”,明明覺得思路清晰,解答正確,而最終還是出現(xiàn)偏差。下面就復合函數(shù)的定義域這一“痛點”加以剖析。

一、表層“痛點”——復合函數(shù)的定義域問題

分析:根據(jù)自變量x的取值范圍確定x2-1的取值范圍,即為函數(shù)y=f(x)的定義域。

評析:運算類的復合型函數(shù)的定義域,涉及加、減、乘、除等綜合運算的應用,可先確定對應函數(shù)的定義域,再求相應的交集。

二、中層“痛點”——復合函數(shù)的基本性質(zhì)問題

復合函數(shù)的基本性質(zhì)包括復合函數(shù)的值域,復合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等,其前提條件是離不開復合函數(shù)的定義域,這是求解過程中的“痛點”所在,要引起同學們的重視。

1.復合函數(shù)的值域問題

評析:按照“由內(nèi)到外”的順序來研究復合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)值域A與外層函數(shù)定義域B之間的關系,要保證內(nèi)層函數(shù)值域A是外層函數(shù)定義域B的子集,再結合條件加以分析與處理。

2.復合函數(shù)的單調(diào)性問題

評析:復合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的法則,即內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時復合函數(shù)的單調(diào)性為增函數(shù),內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相反時復合函數(shù)的單調(diào)性為減函數(shù)。

三、內(nèi)層“痛點”——復合函數(shù)的綜合應用問題

復合函數(shù)的綜合應用問題,離不開復合函數(shù)的定義域。解答這類問題,可利用函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域與值域,結合函數(shù)的圖像進行分析與處理。

1.復合函數(shù)的最值問題

評析:求復合函數(shù)的最值,必須在優(yōu)先考慮定義域的前提下,進行分析與求解。

2.復合函數(shù)的參數(shù)問題

故實數(shù)a的取值范圍為(-4,4]。

評析:求復合函數(shù)的綜合應用問題,為避免因忽略內(nèi)層函數(shù)或外層函數(shù)的定義域而造成的“痛點”,可以從復合函數(shù)自身的結構出發(fā),采取“由內(nèi)到外”或“由外到內(nèi)”的方法,逐層分析復合函數(shù)的相關定義域。