■安徽省安慶市第一中學(xué) 洪汪寶

隨著新高考的不斷推進(jìn),對(duì)直線和圓的方程的考查出現(xiàn)了一些新題型,比如開(kāi)放型問(wèn)題、多項(xiàng)選擇題、結(jié)構(gòu)不良題、數(shù)學(xué)文化題、新定義概念題等。這些新題型綜合性和靈活性比較強(qiáng),創(chuàng)新力度大,對(duì)同學(xué)們的閱讀理解能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力等多種思維能力和綜合素養(yǎng)要求比較高,體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求。下面結(jié)合具體例題談?wù)勥@些新題型的求解策略,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、開(kāi)放型問(wèn)題

評(píng)注:本題是一道典型的條件開(kāi)放型問(wèn)題,設(shè)圓心C到直線AB的距離為d,并用距離d表示弦長(zhǎng)|AB|,從而用d表示三角形的面積。先結(jié)合已知的三角形面積大小得到關(guān)于d的方程,解出d的值,再利用點(diǎn)到直線的距離公式得到參數(shù)m的方程,即可求出滿(mǎn)足題意m的值。

例2(2022年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷)寫(xiě)出與圓x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程 。

圖1

圖2

評(píng)注:本題是一道典型的結(jié)論開(kāi)放型問(wèn)題。先根據(jù)兩圓的圓心距與半徑之和進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)兩圓相外切,于是其公切線有3 條,作為填空題,只需填一個(gè)最有把握的、最易求出的直線方程,很明顯,填寫(xiě)x=-1比較合適,解題時(shí)注意這種開(kāi)放題的答題技巧。

二、多項(xiàng)選擇題

例3已知圓M:(x+cosθ)2+(ysinθ)2=1,直線l:y=kx,下列四個(gè)命題為真命題的是( )。

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k和θ,直線和圓相切

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)k和θ,直線和圓有公共點(diǎn)

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線與圓相切

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線與圓相切

解：圓M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1恒過(guò)定點(diǎn)O(0,0),直線l:y=kx也恒過(guò)定點(diǎn)O(0,0),故B正確。

故選BD。

評(píng)注:注意題中的圓是動(dòng)圓,其圓心在圓x2+y2=1 上,半徑為1,直線l是過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線,結(jié)合選項(xiàng)對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行判斷,注意對(duì)量詞的正確理解。

例4對(duì)于兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義如下:若兩條直線中至少有一條與圓相切,則稱(chēng)該位置關(guān)系為“平行相切”;若兩條直線都與圓相離,則稱(chēng)該位置關(guān)系為“平行相離”;否則稱(chēng)為“平行相交”。已知直線l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0 與圓C:x2+y2+2x=b2-1(b＞0)的位置關(guān)系是“平行相交”,則實(shí)數(shù)b的取值可以是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解：由已知得直線l1:ax+3y+6=0 與l2:2x+(a+1)y+6=0平行,則a×(a+1)=3×2,解得a=2或a=-3。

當(dāng)a=2時(shí),兩條直線方程相同,兩條直線重合,不合題意。

當(dāng)a=-3時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,故a=-3。

此時(shí)兩條直線方程分別為x-y-2=0,x-y+3=0。

將x2+y2+2x=b2-1(b＞0)配方整理得(x+1)2+y2=b2,其圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為b。

故選BCD。

評(píng)注:正確理解“平行相切”“平行相離”“平行相交”等概念是解決本題的關(guān)鍵。先求出“平行相切”時(shí)參數(shù)b的值,再求出“平行相離”時(shí)參數(shù)b的取值范圍,從而得到“平行相交”時(shí)參數(shù)b的取值范圍,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行選擇。

三、結(jié)構(gòu)不良題

所以圓C的方程為(x+4)2+(y+2)2=2。

評(píng)注:本題是一道典型的結(jié)構(gòu)不良題,實(shí)際上也是一道條件半開(kāi)放問(wèn)題,要求先從所給兩個(gè)(有時(shí)更多)條件中選一個(gè)(不能多選)補(bǔ)充到題目中,再結(jié)合題目中其他條件給出正確答案。同學(xué)們可以根據(jù)自身情況靈活選擇其中一個(gè)解答,但盡量保證選能正確解答的條件,千萬(wàn)不要選自己不熟悉的條件,防止給自己設(shè)置陷阱。

四、數(shù)學(xué)文化題

評(píng)注:本題以“歐拉線”為背景考查直線方程的求法,求解的關(guān)鍵是抓住歐拉線就是三角形的外心、重心、垂心所在的直線?？疾閿?shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)向同學(xué)們闡述數(shù)學(xué)家的突出貢獻(xiàn)。注意三角形的外心是三角形外接圓的圓心,是三條中垂線的交點(diǎn);三角形的重心是三條中線的交點(diǎn);三角形的垂心是三條高所在直線的交點(diǎn)。千萬(wàn)不要弄混這三個(gè)概念。

例7古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262年-公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果。著作中有這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比

評(píng)注:先根據(jù)定義求出阿波羅尼斯圓(通常簡(jiǎn)稱(chēng)“阿氏圓”)的方程,挖掘出點(diǎn)實(shí)際上是兩圓的公共點(diǎn),從而得到兩圓的位置關(guān)系是相切或相交,轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑之和、半徑之差的不等關(guān)系,從而求出參數(shù)范圍?？疾橹苯臃ㄇ髨A的方程、圓與圓的位置關(guān)系等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),同時(shí)向同學(xué)們闡述古希臘數(shù)學(xué)的輝煌成就,激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

五、新定義概念題

例8(多選)“出租車(chē)幾何”或“曼哈頓距離”(Manhattan Distance)是由19 世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯,是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)。在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),對(duì)于任意兩點(diǎn)A(x1,y1),

故選AC。

評(píng)注:本題新定義“曼哈頓距離”,注意與“歐幾里得距離”的不同,正確理解“曼哈頓距離”并靈活運(yùn)用定義是關(guān)鍵。解題時(shí)利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值,同時(shí)注意絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用,對(duì)同學(xué)們的分類(lèi)討論思想及整體策略要求比較高。

例9若函數(shù)f(x)是定義域和值域均為[0,1]的單調(diào)遞增函數(shù),我們稱(chēng)曲線y=f(x)為洛倫茲曲線,它在經(jīng)濟(jì)學(xué)上被用來(lái)描述一個(gè)國(guó)家的家庭收入分布情況。如圖3,設(shè)曲線y=f(x)與直線y=x所圍成的區(qū)域面積為A,曲線y=f(x)與直線x=1,x軸所圍成的區(qū)域面積為B,定義基尼系數(shù)G=

圖3

評(píng)注:本題新定義“洛倫茲曲線”和“基尼系數(shù)”兩個(gè)概念,正確理解新定義是解題的關(guān)鍵,注意到所給洛倫茲曲線是圓的四分之一區(qū)域,實(shí)際上是一個(gè)弓形,“基尼系數(shù)”實(shí)際上就是兩個(gè)面積之比,問(wèn)題即可迎刃而解。