■江蘇省張家港中等專業(yè)學(xué)校 龔 瑜 韓文美

我們把具有某一共同性質(zhì)的所有圓的集合叫作圓系,它的方程叫作圓系方程。相比于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或圓的一般方程,圓系方程更加直接,體現(xiàn)圓的相關(guān)性質(zhì),同時(shí)所含的參數(shù)較少,可以有效減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量,優(yōu)化解題過程,使得問題迅速獲解。理解并掌握一些常見的圓系方程,可以開拓解題思路,優(yōu)化解題過程。

1.同心的圓系方程

與圓(x-a)2+(y-b)2=r2同心的圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ＞0);與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0(λ∈R)。

例1經(jīng)過點(diǎn)M(2,-2)且與圓x2+y2+2x-4y+4=0同心的圓的方程為_____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)出同心的圓系方程,直接根據(jù)已知點(diǎn)在所求的圓上,借助點(diǎn)的坐標(biāo)代入所設(shè)的圓的方程,結(jié)合方程的構(gòu)建并通過待定系數(shù)法確定參數(shù)λ的值,進(jìn)而得到所求圓的方程。

解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+λ=0。

把點(diǎn)M(2,-2)代入,可得22+(-2)2+2×2-4×(-2)+λ=0,解得λ=-20。

所以所求圓的方程為x2+y2+2x-4y-20=0。

點(diǎn)評(píng):此類問題的常規(guī)解法是根據(jù)圓的一般方程進(jìn)行配方處理,確定圓心坐標(biāo),結(jié)合圓心與圓上點(diǎn)的兩點(diǎn)間的距離公式來確定圓的半徑并求解。而借助同心的圓系方程的構(gòu)造,求解目標(biāo)更加明確,合理利用待定系數(shù)法并結(jié)合題設(shè)條件來分析與求解,處理起來更加簡(jiǎn)捷方便。

2.過圓上一定點(diǎn)的圓系方程

所求圓的方程為x2+y2+2x+2y-8=0。

點(diǎn)評(píng):此類問題的常規(guī)解法是利用圓的一般方程進(jìn)行待定系數(shù)法處理,利用求解三元一次方程組來分析與求解。而借助過圓上一定點(diǎn)的圓系方程的構(gòu)造,相比圓的一般方程而言,可以適當(dāng)減少參數(shù)的引入,在一定程度上優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算過程,使問題分析與處理得更加方便快捷。

3.過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程

過直線Ax+By+C=0 與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R)。

例3(2022～2023 學(xué)年廣西欽州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷)已知直線l:x-2y+4=0與圓C:x2+y2+2x+2y-8=0相交于A,B兩點(diǎn),則經(jīng)過A點(diǎn)和B點(diǎn)且面積最小的圓的方程為____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)出經(jīng)過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程,利用二元二次方程的整理與配方,從幾何思維視角,結(jié)合圓心坐標(biāo)的確定,借助圓心經(jīng)過直線l來保證所求圓的面積最小;從函數(shù)思維視角,利用半徑平方的關(guān)系式的構(gòu)建,通過配方處理,利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定半徑的最小值。

所求圓的方程為x2+y2+4x-2y=0。

點(diǎn)評(píng):此類問題的常規(guī)解法是聯(lián)立方程組,通過確定直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo),利用線段AB為所求圓的一條直徑時(shí)滿足條件來分析并求解。而借助過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程的構(gòu)造,結(jié)合題設(shè)條件加以分析與處理,目標(biāo)更加明確,處理起來更加快捷,思維方法更多樣。

4.過兩圓交點(diǎn)的圓系方程

過兩圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圓系方程不包括圓C2。

例4(2022～2023 學(xué)年河北省保定市定州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷)已知圓C1:x2+y2=10與圓C2:x2+y2+2x+2y-7=0,則經(jīng)過兩圓的交點(diǎn),且圓心在直線x+y-6=0上的圓的方程為____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)出經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程,利用關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,結(jié)合配方法確定對(duì)應(yīng)圓的圓心,代入相應(yīng)的直線方程即可確定相關(guān)參數(shù)的值,進(jìn)而求解相應(yīng)的圓的方程。

點(diǎn)評(píng):此類問題的常規(guī)解法是聯(lián)立方程組確定相應(yīng)的兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo),利用交點(diǎn)弦的中垂線方程求解,并與對(duì)應(yīng)直線方程聯(lián)立來確定圓心坐標(biāo),進(jìn)而得以求解相應(yīng)圓的方程。而借助過兩圓交點(diǎn)的圓系方程的構(gòu)造,可以回避二元二次方程組的求解與交點(diǎn)坐標(biāo)的確定,減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量。而在圓系方程的構(gòu)造與應(yīng)用時(shí),要注意方程的變形與轉(zhuǎn)化的準(zhǔn)確性。

5.與圓切于圓上一定點(diǎn)的圓系方程

與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0切于圓上一定點(diǎn)P(x0,y0)的圓系方程為(xx0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(λ≠-1)。

例5(2022～2023學(xué)年江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué)高二10月份月考數(shù)學(xué)試卷)過點(diǎn)A(1,4),且與已知圓M:x2+y2-6x-2y+5=0切于點(diǎn)B(1,2)的圓C的方程為____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)出與圓切于圓上一定點(diǎn)的圓系方程,利用已知點(diǎn)在所求的圓上,把定點(diǎn)的坐標(biāo)代入所設(shè)的圓的方程,結(jié)合方程的構(gòu)建并通過待定系數(shù)法確定參數(shù)λ的值,從而求解所求圓的方程。

點(diǎn)評(píng):此類問題的常規(guī)解法是根據(jù)圓的一般方程進(jìn)行配方處理,確定已知圓的圓心坐標(biāo),利用已知圓的圓心與切點(diǎn)的連線,再利用切點(diǎn)與圓上已知點(diǎn)的中垂線,聯(lián)立直線方程來確定所求圓的圓心,進(jìn)而分析與處理。而借助圓系方程的構(gòu)造,通過待定系數(shù)法來處理,直接簡(jiǎn)單。

在解決圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等相關(guān)問題時(shí),借助圓系方程的巧妙構(gòu)建,更加直接地建立具有特殊性質(zhì)的圓的方程,可以很好地優(yōu)化解題過程,減少數(shù)學(xué)運(yùn)算量,效果事半功倍。