楊發(fā)旺 ，張慶賀 ,2,3 ，梁志威 ，王明剛

（1.安徽理工大學 土木建筑學院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學 深部煤礦采動響應與災害防控國家重點實驗室，安徽 淮南 232001；3.合肥綜合性國家科學中心能源研究院（安徽省能源實驗室），安徽 合肥 230031；4.中鐵四局集團第五工程有限公司，江西 九江 332000）

煤炭作為我國主體能源，對國家經濟起著舉足輕重的作用[1]。在煤礦開采過程中，如何快速安全實現(xiàn)巷道支護顯得尤為重要。由于錨桿支護具有經濟成本低、支護效果好、施工速度快等諸多優(yōu)點，因此被廣泛應用，目前已經成為礦井巷道工程最主要的支護形式，而錨桿托板則是錨桿支護系統(tǒng)中的關鍵構件之一[2-6]。其在錨桿支護系統(tǒng)中起到擴散預應力、增大錨桿的工作阻力、改變圍巖狀態(tài)等重要作用。在受到沖擊作用時，圍巖與托板間作用力瞬間增加，導致托板出現(xiàn)過載彎折、變形、撕裂等問題，嚴重影響了巷道錨桿支護效果[7-9]。目前專家學者對錨桿托板的研究主要包括以下3 個方面。一是在托板結構研究方面，鄭仰發(fā)等[10]采用實驗室加載試驗研究了不同板厚、不同拱高的方形托板承載力與變形特征，認為托板承載力與鋼板厚度、拱高與拱底圓直徑之比呈正相關關系；劉雙躍等[11]采用理論計算的方法對蝶形托盤的拱形結構進行了力學分析，研究了各參數(shù)對托板強度的影響；馬永忠等[12]研究了纖維增強復合材質托板的力學特性，獲取了非金屬托板合理的結構形式和參數(shù)。二是在托盤力學性能方面，康紅普等[13]測試了煤礦常用托板的力學性能，提出了托盤拱高是影響其承載力的關鍵因素；賈西閣等[14]、劉少偉等[15]研究了不同材質托板的破壞形式，并分析了影響托板變形破壞的因素。三是在托盤支護作用方面，林健等[16]利用錨桿支護應力場試驗臺，與金屬托板進行比對分析，揭示了木墊板對錨桿預應力的影響規(guī)律；陸士良等[17]分析了錨桿預應力在圍巖中的分布規(guī)律及托板對預應力分布的影響；張劍等[18]針對沿空留巷中托板強度低、錨桿（索）預應力低等問題，通過調整托板尺寸、結構和錨桿預應力，有效控制了沿空留巷圍巖變形破壞。以上研究促進了錨桿托板的發(fā)展，但也存在少許不足，即荷載作用下不同結構托板的吸能特性尚不明確。為此，研發(fā)了1 種新型高延性的微晶格穹頂結構錨桿托板，該托板能夠滿足理想支護材料的要求，從本質上實現(xiàn)超強吸能特性。研究首先對晶格結構的研究現(xiàn)狀進行分析，提出微晶格穹頂結構托板的設計基礎及方法；通過 python 編程構建三維微晶格穹頂結構托板模型，采用 Abaqus 平臺對靜載條件下新型托板的力學特性進行數(shù)值模擬，探究材料屬性及外形尺寸對新型托板的影響，并分析其吸能特性，選取最優(yōu)結果。

1 微晶格穹頂結構設計基礎

基于以下方程描述的三維麥克斯韋穩(wěn)定性準則[19]，基于三維支撐拓撲結構的力學響應通常被描述為柔性彎曲主導或剛性拉伸主導：

式中：M為麥克斯韋數(shù)；b為桿數(shù)；j為節(jié)點數(shù)。

理想單元形狀的示例如圖1，其中滿足麥克斯韋條件且剛性的孤立細胞被標記為“yes”，而“no”表示麥克斯韋條件不滿足。

圖1 理想單元形狀Fig.1 Ideal unit shapes

可以看出，任何具有三角形面的凸簡多面體都滿足麥克斯韋準則并且是剛性的，四面體和八面體組合在一起填充空間，形成1 個剛性的框架。因此，以拉伸為主的晶格來取代穹頂結構的固體部分比以彎曲為主的晶格更有助于其結構剛度，選擇最簡單的四面體晶格作為基本的單元拓撲，以取代穹頂結構的實體部分。

2 微晶格穹頂結構設計方法及流程

2.1 晶格結構研究現(xiàn)狀

晶格結構是1 種高效的幾何構型，由在連接處連接的各個元素組成的網狀結構，能夠承載一定的受力并實現(xiàn)某種特定的功能。金屬三維晶格結構具有比強度高、機械效率高、能量吸收能力強等優(yōu)良的力學性能，在輕型航空航天、交通運輸結構、沖擊防護裝置等多種工程領域具有廣闊的應用前景[20]。為此，大量學者對晶格結構也進行了大量研究。張志等[21]系統(tǒng)地綜述了晶格結構的吸能力學特性及其增材制造工藝的研究現(xiàn)狀，并展望了晶格結構的設計與增材制造的發(fā)展趨勢；ZHANG 等[22]提出了具有可控變形特征和可調力學性能的幾何梯度晶格結構，發(fā)現(xiàn)梯度晶格的變形機理有利于提高能量吸收效率；ZHANG 等[23]建立了自支撐晶格結構對能量吸收的理論力學模型，首次提出1 種能量吸收三維晶格結構的設計方法；WANG 等[24]提出了具有內層層疊單元的新型構型設計，新型晶格構型表現(xiàn)出增強能量吸收能力。結合相關文獻，可以充分認識到晶格結構具有強度高、能量吸收能力強等優(yōu)點。

2.2 設計方法

雙向穹頂?shù)幕締卧負淙鐖D2，其中雙層組件相對于中心xz平面對稱。此外，每一層都是關于xy和yz平面對稱的。

圖2 雙向穹頂?shù)幕就負銯ig.2 Basic topology of a two-way dome

與蜂窩、泡沫和晶格的細胞拓撲結構不同，1/4 半球殼的交叉重復排列構成了穹頂結構的基本拓撲如。對于穹頂結構，雖然相對于蜂窩、泡沫和晶格有更高的相對密度，但其獨特的半球形截面形狀產生了穩(wěn)定的剪切響應，有助于抑制核心剪切破壞[25-26]，而與鋼板的環(huán)形接觸區(qū)域有效地降低了鋼板屈曲的風險[27-28]，這是蜂窩和晶格的主要失效模式之一。然而，穹頂結構的剛度及能量吸收比其他蜂窩結構（格子、泡沫和蜂窩）要低得多。為了提高剛度及能量吸收的力學性能，提出將晶格結構和穹頂結構相結合，組成1 種新的結構，稱為微晶格穹頂結構，由于其相對于固體材料的優(yōu)勢，微晶格取代了穹頂結構的固體部分；由于是網狀框架，其密度較低，比固體材料支持更多的空氣以及更少的脆性，因為支柱或支柱對可以單獨壓縮，而固體材料不能。因此，可以合理地期望微晶格穹頂結構比傳統(tǒng)的固體穹頂結構具有更高的強度以及能量吸收能力。

雙向穹頂?shù)那耙晥D和結構參數(shù)如圖3，圖中：t為產生單層穹頂?shù)某跏己穸?；R1、R2為內部和外部穹頂半徑；R3為中心孔的半徑；h為高度；w為寬度。h和w滿足以下約束條件：h=w=2R2。

圖3 雙向穹頂?shù)慕Y構參數(shù)Fig.3 Structural parameters of a two-way dome

基于所提出的拉伸主導的四面體晶格可以取代雙向穹頂?shù)膶嶓w部分，以提高其強度和能量吸收的力學性能的設計理念，將四面體晶格與雙向穹頂?shù)慕M合，微晶格穹頂結構托板如圖4，其中四面體微晶格填充雙向穹頂?shù)膶嶓w部分。

圖4 微晶格穹頂結構托板Fig.4 Micro lattice dome structural pallet

可以看出，固體穹頂變成了多孔的微晶格穹頂，減輕了質量，通過這樣的組合，更輕的微晶格穹頂比傳統(tǒng)的固體穹頂具有更好的吸能力。

2.3 設計流程

在本研究中，設計了1 種具有高強、高吸能特性的微晶格穹頂結構托板，設計步驟如下：

1）預處理。建立三維宏觀穹頂結構，并存儲各單元及其節(jié)點的位置信息，用于拓撲優(yōu)化。由于四面體單元可劃分任意復雜形狀的宏觀幾何網格，因此四面體晶格可以與拓撲優(yōu)化集成來設計任意幾何形狀的結構。

2）拓撲優(yōu)化。在給定的邊界條件和體積分數(shù)的約束下，通過拓撲優(yōu)化得到微晶格的均勻密度分布。

3）構建微晶格穹頂結構托板。在獲得晶格結構的密度分布后，采用函數(shù)關系方法將晶格結構的結構參數(shù)與其相對密度聯(lián)系起來，構建微晶格穹頂結構托板模型。

4）有限元分析。將構建的微晶格穹頂結構托板模型進行有限元分析，通過改變其材料屬性及外形尺寸，得到壓縮作用下不同模型的模擬結果，對結果進行力學性能分析并選取最優(yōu)結果。

3 微晶格穹頂結構托板拓撲優(yōu)化

拓撲優(yōu)化方法是1 種在設計域內尋求材料最優(yōu)分布的方法，以設計域中的每一點材料特征為設計變量，采用優(yōu)化算法，尋求材料在設計域中的有或無來確定最優(yōu)的拓撲形式，得到結構形狀和尺寸特征[29]。

3.1 拓撲優(yōu)化與晶格結構結合

優(yōu)化問題一般由目標函數(shù)、設計變量和約束條件3 部分組成。基于密度的拓撲優(yōu)化是在給定的約束條件下，如邊界條件和體積分數(shù)約束，更新設計變量，如單元的相對密度，直到找到目標函數(shù)的最優(yōu)解，如符合度的最小值。由于研究的目標是使剛度及能量吸收最大化，以微晶格穹頂結構為例，即柔度最小化，選取優(yōu)化問題中的柔度作為目標函數(shù)。拓撲優(yōu)化用以下方程描述：

式中：c為柔度，目標函數(shù)；ρe為單元相對密度設計變量；ke、ue分別為單元剛度矩陣和單元位移矩陣；U為整體節(jié)點位移矩陣；K為整體剛度矩陣；N為元素個數(shù)；V、V0分別為固體物質體積和所有元素的體積；F為整體節(jié)點外載荷矩陣；f為規(guī)定的體積分數(shù)；ρmax、ρmin分別為相對密度的上界和下界。

用有限元法計算符合度的程序如下：如2.3 節(jié)步驟1 可以推導出單元的應變-位移矩陣B，然后用以下公式計算單元應變ε和應力σ，其中D為各向同性元的本構矩陣：

在此基礎上，根據虛功原理求出單元剛度矩陣ke：

最后由平衡方程得到整體節(jié)點位移矩陣U，再由式（2）計算目標函數(shù)柔度。

3.2 拓撲優(yōu)化模型

提出拓撲優(yōu)化方法用于尋找均勻的密度分布，以最大限度地提高微晶格穹頂?shù)膲嚎s剛度和能量吸收能力，壓縮模型的結構參數(shù)見表1。

表1 模型尺寸表Table 1 Model size table

在頂面施加垂直位移，其底面固定。在Abaqus優(yōu)化模塊中設置元素密度最大為0.75，最小為0.25，整體體積分數(shù)約束被設置為50%，并采用四面體單元對宏觀穹頂結構進行網格劃分，網格尺寸選擇為10 mm。

3.3 微晶格穹頂結構托板構造

通過拓撲優(yōu)化得到均勻密度后，下一步是構建三維模型進行有限元分析。在構建過程中，根據單元的密度生成相應的四面體晶格結構，這就需要建立四面體晶格的結構參數(shù)與其密度之間的關系。每個四面體晶格的基本結構如圖5。

圖5 四面體晶格基本結構Fig.5 Basic structure of tetrahedral lattice

每個四面體晶格由6 個半徑相同的圓柱體和分布在4 個節(jié)點上的球體組成。即，四面體晶格結構的構造可以轉化為生成每個節(jié)點對應半徑的球面和相鄰2 個節(jié)點之間對應半徑的圓柱體操作。因此，只要已知單元密度對應的圓柱體半徑，就可以通過 python 腳本在Abaqus 軟件中自動生成四面體晶格結構。單元密度與圓柱體半徑的關系如下：

四面體晶格的密度 ρe為：

式中：Ve為元素體積；Vs為固體部分的體積。

Ve可以計算為：

式中：xh、yh、zh（h=1,2,3,4）為4 個節(jié)點的坐標。

固體部分的體積由完全屬于元素的6 個圓柱體組成，四面體晶格實體部分的體積可以通過計算每個圓柱體中屬于該固體部分的體積并相加得到。由于每個圓柱體都由相鄰的單元共用，所以該單元的體積由柱軸作為公共邊的2 個面之間的夾角決定。

以OA邊為軸的圓柱體的體積計算為例，說明四面體晶格實體部分的體積計算。設∠BOC=α，∠AOC=β，∠AOB=γ，∠C'A'B'=φ，其中φ為以OA為公邊的兩面夾角。通過幾何計算，可以計算出圓角φ：

式中：φ為表面OAB與表面OAC的夾角。

由于以邊OA為軸的圓柱體的體積是由幾個相鄰單元共用的，所以以OA為軸的圓柱體的體積與整個圓柱體的體積之比為φ/2π，由式（12）計算。

因此，完全屬于以邊OA為軸的圓柱體的體積VL1為：

式中：L1為節(jié)點O到節(jié)點A的距離；r為圓柱體的半徑。

最后，四面體晶格結構的密度與半徑之間的關系可由式（14）得到：

基于均勻化的拓撲優(yōu)化和晶格結構的構造可用于生成超輕和超細結構。

4 微晶格穹頂結構托板有限元分析

由于試驗的局限性，且對比和分析不同材料和尺寸的微晶格穹頂結構托板力學特性時難以快速進行參數(shù)調節(jié)，材料成本提升的同時也浪費了人力資源。而有限元分析其便捷的模型設計和參數(shù)調節(jié)能力不僅可以為試驗研究和改進提供宏觀指導，并且可以較大程度地減小實驗量、降低研究成本。本節(jié)將利用數(shù)值模擬軟件 Abaqus 詳細介紹了靜力壓縮全過程，并對模擬結果進行力學性能分析，選取最優(yōu)結果，為后期3D 打印及應用于現(xiàn)場支護奠定堅實基礎。

4.1 模型力學參數(shù)及邊界條件

根據四面體單元密度與半徑的關系，構建三維微晶格穹頂結構托板模型，模型結構參數(shù)已在第3.2 節(jié)詳細描述。在 Abaqus 中將托板模型設置為梁截面，同時賦予梁截面直徑為1、2、3 mm 的圓形剖面，3 種不同剖面直徑托板模型如圖6。不同直徑的剖面尺寸則對應以下3 種材料：Q235 鋼、ABS 塑料、鋁合金，3 種材料的力學參數(shù)見表2。

表2 壓縮試驗的模型力學參數(shù)Table 2 Model mechanical parameters of compression tests

圖6 不同剖面直徑下微晶格穹頂結構錨桿托板Fig.6 Micro lattice dome structure anchor support plate with different profile diameters

根據錨桿托板在實際應用中受壓過程，為模型設置上下參考點，將頂面和底面分別與參考點進行耦合，在底面固定的情況下，對頂面施加60 mm 的垂直向下的位移。

4.2 模擬方案

設置托板材料參數(shù)及模型尺寸后，為部件進行網格劃分，在壓縮位移確定的前提下，分別模擬圓形剖面直徑在1、2、3 mm 時的壓縮試驗。

1）截面梁圓形剖面直徑為1 mm 時，其他條件不變，分別模擬材料為Q235 鋼、ABS 塑料、鋁合金的靜力壓縮試驗。

2）截面梁圓形剖面直徑為2 mm 時，其他條件不變，分別模擬材料為Q235 鋼、ABS 塑料、鋁合金的靜力壓縮試驗。

3）截面梁圓形剖面直徑為3 mm 時，其他條件不變，分別模擬材料為Q235 鋼、ABS 塑料、鋁合金的靜力壓縮試驗。

4.3 壓縮模擬結果

3 種材料壓縮時的應力云圖如圖7。根據有限元分析結果導出數(shù)據繪制載荷-位移曲線，不同直徑下3 種材料的載荷-位移曲線如圖8。

圖7 3 種材料壓縮云圖Fig.7 Compression cloud diagrams of three materials

圖8 不同直徑下3 種材料的載荷-位移曲線Fig.8 Load-displacement curves of three materials at different diameters

由圖7，通過對比不同材料的有限元模型的應力分布輪廓，發(fā)現(xiàn)剛度大的其應力大，并且不同材料密度高的區(qū)域應力較大，而密度低的區(qū)域應力較小，通過增加高應力區(qū)域的材料用量和減少低應力區(qū)域的材料用量是減少材料用量的有效策略。

由圖8 可以看出：在相同的剖面直徑下，Q235 鋼比ABS 塑料和鋁合金材料提高微晶格穹頂結構托板的承載力效果更為顯著，并且Q235 鋼和鋁合金材料載荷增加具有明顯相同的趨勢，都將隨著壓縮位移的增加，在一定范圍內載荷迅速增加，而后緩慢增加；而ABS 塑料一直是緩慢增加，增加速度低于另外2 種材料，載荷最大值遠小于另外2 種材料；在不同的剖面直徑下，3 種材料的載荷都將隨著剖面直徑的增加而提高。

為了更好地比較不同材料以及不同剖面直徑對微晶格穹頂結構托板載荷的影響，匯總了3 種材料在壓縮位移相同時不同剖面直徑下的載荷，載荷匯總表見表3，不同直徑下不同材料的微晶格穹頂結構托板的載荷增長曲線如圖9。

表3 載荷匯總表Table 3 Load summary table

圖9 不同剖面直徑下3 種材料的載荷曲線Fig.9 Load curves of three materials with different profile diameters

由表3 可以看出：3 種材料在相同剖面直徑下承載力大小順序為：Q235 鋼＞鋁合金＞ABS 塑料，當剖面直徑為3 mm 時，Q235 鋼承載力最高，約為4.26×105N，具有高強度。

由圖9 可知：Q235 鋼、ABS 塑料、鋁合金3種材料在剖面直徑2 mm 時，載荷的提升幅度分別為510%、556.94%和451.15%，而在剖面直徑3 mm 時，載荷提升幅度分別為189.8%、164.27%和182.59%，隨著剖面直徑的增加，載荷的提升幅度逐漸減小。

為了探究3 種材料在不同剖面直徑下能量吸收的大小，計算了載荷-位移曲線與水平軸圍成區(qū)域的面積，能量吸收的大小匯總表見表4，不同剖面直徑下能量吸收的大小如圖10。

表4 能量吸收大小匯總表Table 4 Summary table of energy absorption size

圖10 不同剖面直徑下能量吸收的大小Fig.10 Energy absorption per unit length under different section diameters

由表4 及圖10 可以看出：隨著剖面直徑的增加，3 種材料的能量吸收都有所提高，Q235 鋼能量吸收增加尤為明顯，而ABS 塑料能量吸收增加最慢；3 種材料的能量吸收大小順序都為：Q235鋼＞鋁合金＞ABS 塑料，當剖面直徑為3 mm時，Q235 鋼能量吸收最大，約為1.72×104J，具有高吸能特性。

綜上所述，當微晶格穹頂結構托板的剖面直徑為3 mm，材料為Q235 鋼時，為數(shù)值模擬的最優(yōu)結果，此時，微晶格穹頂結構托板具有高強、高吸能特性。此結果將為后期3D 打印，應用于現(xiàn)場支護奠定基礎。

5 結 語

1）根據麥克斯韋穩(wěn)定性原理，通過拓撲優(yōu)化得到均勻密度與四面體晶格結構參數(shù)的關系，利用 python 腳本在Abaqus 軟件中自動生成四面體晶格結構，將四面體晶格與穹頂結構相結合，構建了三維微晶格穹頂結構托板模型。

2）隨著剖面直徑的增加，3 種材料的載荷和能量吸收都有所增加，Q235 鋼材料增加的速度最快，鋁合金材料增加的速度居中，而ABS 塑料增加的最慢，且載荷和能量吸收的最大值遠小于另外2種材料。

3）托板在材料為Q235 鋼、剖面的直徑為3 mm時的承載力最大為426 kN，能量吸收最高為220 kJ，具有高強、高吸能特性，為此有限元分析的最優(yōu)結果，后期將進行3D 打印，應用于支護現(xiàn)場。

4）微晶格穹頂結構托板數(shù)值計算模型的載荷與位移在靜態(tài)下表現(xiàn)出很好的操控性，且晶格結構具有重量輕、強度大、吸收能量強等優(yōu)點，能夠在數(shù)值模擬計算及教學實踐中得到應用。