張一明，黃志剛*，徐 珍，程媛媛

（1. 北京工商大學(xué)人工智能學(xué)院，北京 100048；2. 塑料衛(wèi)生與安全質(zhì)量評(píng)價(jià)技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100048）

0 前言

作為如今最熱門的新型生物基生物降解材料，PLA 因其具有良好的熱穩(wěn)定性能、生物相容性和其易制作、成本低、制作效率高而被廣泛應(yīng)用于包裝、農(nóng)業(yè)、纖維紡織、醫(yī)用和工程塑料等領(lǐng)域［1］。

螺桿擠出機(jī)自19 世紀(jì)中葉開始就被廣泛應(yīng)用，到20世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)單螺桿擠出機(jī)并不能滿足發(fā)展需要，因此，在單螺桿擠出機(jī)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出雙螺桿擠出機(jī)。雙螺桿擠出機(jī)由于具有良好的加料性能、混煉塑化性能、排氣性能、擠出穩(wěn)定性等特點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于擠出制品的成型加工。到20 世紀(jì)60 年代，異向雙螺桿擠出機(jī)應(yīng)運(yùn)而生，區(qū)別于同向雙螺桿擠出機(jī)，螺桿在機(jī)筒內(nèi)的運(yùn)行方式為“C”字型，而非“8”字型，正向運(yùn)輸能力更好，并且封閉性好，減少了物料在流道內(nèi)的不規(guī)則流動(dòng)，同時(shí)提高了螺桿的自清潔能力。因此成為現(xiàn)在的主流產(chǎn)品，廣泛應(yīng)用于擠出成型和配料造粒及其他方面［2］。

張國才等［3］研究剪刀式單螺桿螺桿頭數(shù)對(duì)流場的影響，發(fā)現(xiàn)增加螺棱頭數(shù)，會(huì)提高螺桿的剪切速率和壓力，單使得螺桿擠出機(jī)的剪切擠出效果增強(qiáng)，物料的混合效果更好。張雪晨等［4］通過改變螺桿構(gòu)型，發(fā)現(xiàn)螺桿元件構(gòu)型的變化對(duì)嚙合同向雙螺桿擠出機(jī)流道的剪切作用和建壓能力有優(yōu)化作用。Gangadhar Angadi 等［5］研究發(fā)現(xiàn)，使用不同螺桿構(gòu)型，增加捏合塊錯(cuò)列角會(huì)提高擠出料的拉伸效率，增加徑向混合能力提高材料的拉伸強(qiáng)度、壓縮強(qiáng)度和彎曲強(qiáng)度。魏靜等［6］發(fā)現(xiàn)，異向嚙合型雙螺桿捏合機(jī)轉(zhuǎn)子型線演化，提高了軸向混合能力，提高了分離尺度，熔融體的分散性能。

本文擬針對(duì)PLA在嚙合異向雙螺桿擠出機(jī)中的流道進(jìn)行數(shù)值模擬，依據(jù)理論端面曲線方程在Solidworks中創(chuàng)立上述3 種不同螺桿構(gòu)型的三維模型，使用Workbench軟件進(jìn)行網(wǎng)格模型的建立，得到3種網(wǎng)格模型后，使用Polyflow 流體仿真軟件進(jìn)行模擬實(shí)際流場情況，得到后處理結(jié)果，在FieldView 軟件中進(jìn)行流場最終結(jié)果的分析；并采用示蹤粒子法（PTA）模擬粒子在流道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡［7］，研究PLA 流體在不同螺桿構(gòu)型下的壓力、剪切速率和黏度，停留時(shí)間分布以及分布混合特性的影響規(guī)律。

1 理論模型的建立

1.1 建立幾何模型

1.1.1 端面曲線的建立

依據(jù)雙螺桿的幾何學(xué)基本原理，使用相對(duì)運(yùn)動(dòng)法在Solidworks 上使用方程驅(qū)動(dòng)曲線推導(dǎo)出嚙合異向雙螺桿的理論端面曲線。

推導(dǎo)出的全嚙合異向雙螺桿的理論端面曲線的圓弧曲線和擺線方程［8］分別是：

圓弧曲線：規(guī)定圓弧曲線de 段圓弧為第1 段圓弧，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的圓弧依次為2、3、4 段圓弧，其中1≤n≤4，n為奇數(shù)時(shí)，方程如式（1）所示：

n為偶數(shù)時(shí)，方程如式（2）所示：

其次為擺線方程，規(guī)定cd 段為第1 段擺線，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的擺線依次為2、3、4 段擺線，方程如式（3）所示：

式（3）中參數(shù)區(qū)間因n的取值不同而不同，當(dāng)n為奇數(shù)是，參數(shù)區(qū)間如式（4）所示：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，參數(shù)區(qū)間如式（5）所示：

其中Rs為螺桿外徑，Rb為螺桿內(nèi)徑，CL=Rs+Rb。

取n=2，這樣就得到了頭數(shù)比為2∶2 的異向雙螺桿端面曲線如圖1所示。

圖1 頭數(shù)比為2∶2的理論端面曲線Fig.1 Theoretical end curve with a head ratio of 2∶2

魏靜等［9］在同速異向雙螺桿的基礎(chǔ)上，使用包絡(luò)法設(shè)計(jì)了差速異向雙螺桿的端面曲線，發(fā)現(xiàn)對(duì)于端面曲線的生成不僅受到中心距、頂圓直徑的影響而且也受到螺桿頂角的影響，而頭數(shù)比影響了角速度頻率，本文螺桿頂角為定值，只探討螺桿頭數(shù)比的變化。經(jīng)分析可得對(duì)于差速螺桿陰陽頭數(shù)比為i的端面曲線，其對(duì)應(yīng)的cd和b′c′的擺線方程分別為：

陰轉(zhuǎn)子螺桿cd段擺線方程如式（6）、（7）所示：

陽轉(zhuǎn)子螺桿b’c’擺線方程如式（8）、（9）所示：

其中，k=i+1，Zf和Zm分別為陰陽螺桿頭數(shù)，k1為陽轉(zhuǎn)子頂角，k2為陰轉(zhuǎn)子頂角。

這樣就能分別得到頭數(shù)比為3∶2 和4∶2 的異向雙螺桿端面曲線，理論端面曲線如圖2（a）和（b）所示。

圖2 頭數(shù)比為3∶2與4∶2的理論端面曲線Fig.2 The theoretical end curve with the ratio of 3∶2 to 4∶2

1.1.2 幾何模型的建立

通過表1、2 數(shù)據(jù)在Solidworks 軟件中繪制仿真用異向雙螺桿三維模型，將嚙合異向雙螺桿看作一個(gè)整體，取整體的中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，規(guī)定擠出方向?yàn)閆軸正方向，面向擠出端面，規(guī)定X軸正方向向右，Y軸正方向向上，因?yàn)樵O(shè)計(jì)螺桿要符合使用標(biāo)準(zhǔn)，因此嚙合螺桿上部分為出料口，下半部分為進(jìn)料口，因此，X軸正方向螺桿為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，負(fù)方向螺桿為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。根據(jù)設(shè)計(jì)的三維模型規(guī)定，坐標(biāo)軸X軸正方向?yàn)殛栟D(zhuǎn)子螺桿；X軸負(fù)方向?yàn)殛庌D(zhuǎn)子螺桿。命名方式為陰陽轉(zhuǎn)子螺桿加上對(duì)應(yīng)的螺桿頭數(shù)，因此對(duì)3組三維模型分別命名為AC22、AC32、AC42。圖3 所示為AC32 的異向雙螺桿三維模型。

表1 螺桿元件建模參數(shù)Tab.1 Screw element modeling parameters

表2 流道區(qū)域建模參數(shù)Tab.2 Channel area modeling parameters

圖3 AC32異向雙螺桿三維模型Fig.3 Three dimensional model of twin screw of AC32

1.2 建立數(shù)學(xué)模型

1.2.1 基本假設(shè)

在進(jìn)行異向雙螺桿仿真前，考慮到實(shí)際情況和環(huán)境等眾多影響因素，做出以下假設(shè)［10］，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真分析：

（1）熔融體充滿全部流體空間且為不可壓縮；

（2）熔融體在整個(gè)流場中是等溫的；

（3）機(jī)筒壁面為無滑移狀態(tài)；

（4）忽略重力與慣性力；

（5）選擇雷諾系數(shù)較小的層流流動(dòng)。

1.2.2 基本方程

流體力學(xué)中存在3個(gè)基本方程，即質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程、能量守恒方程。本文探討PLA滿足要求，同時(shí)因?yàn)樵O(shè)定條件為等溫條件，因此能量守恒方程可以忽略。基于上述條件，基本方程如式（10）～（11）所示［11］：

連續(xù)性方程：

運(yùn)動(dòng)方程：

式中?——哈密爾頓算子；

ν——速度矢量，m/s；

P——流體靜壓力，Pa；

T——應(yīng)力張量，Pa。

其中選用Bird-Careau 本構(gòu)方程［12］進(jìn)行模擬數(shù)值計(jì)算，探究PLA 剪切速率和黏度之間的關(guān)系，如式（12）所示：

式中η0——零剪切黏度，Pa · s

γ?——剪切速率，s-1

λ——松弛時(shí)間，s

η∞——無窮剪切黏度，Pa · s

n——流動(dòng)指數(shù)

因仿真過程設(shè)定為等溫條件，所以溫度設(shè)為190 ℃；PLA 材料在190 ℃下的零剪切黏度為2 504.235 Pa·s、松弛時(shí)間為0.060 7 s、流體指數(shù)為0.253、無窮剪切黏度為1 Pa·s［13］。

1.3 有限元模型

1.3.1 網(wǎng)格劃分

使用Workbench 軟件進(jìn)行網(wǎng)格劃分，3 種螺桿組合元件和對(duì)應(yīng)的流體區(qū)域使用掃略規(guī)則性網(wǎng)格進(jìn)行劃分［14］。劃分后的螺桿元件和流體區(qū)域如圖4所示。

圖4 螺桿元件及流道的有限元模型Fig.4 Finite element model of screw element and flow channel

1.3.2 邊界條件的設(shè)定

流體區(qū)域入口流體和出口流體為自由流動(dòng)［15］，因此法向力和切向力設(shè)為0 Pa；左右內(nèi)孔屬于滑移邊界，沒有流體能貫穿邊界，因此切向力設(shè)為0 Pa，法向速度設(shè)為0 m/s；法向速度和切向速度因流道內(nèi)壁面無滑移，設(shè)為0 m/s。螺桿轉(zhuǎn)速因?yàn)槁輻U頭數(shù)的不同而存在差異，頭數(shù)差越大，兩根螺桿的轉(zhuǎn)速之差越大。螺桿轉(zhuǎn)速參數(shù)如表3所示。

表3 螺桿模型轉(zhuǎn)速參數(shù)Tab.3 Screw model speed parameters

2 仿真結(jié)果分析

2.1 壓力場

圖5為不同螺桿構(gòu)型下的壓力分布云圖，因?yàn)楫愊螂p螺桿結(jié)構(gòu)復(fù)雜性及流場復(fù)雜性，并且因?yàn)榱鞯涝O(shè)計(jì)時(shí)，螺棱和流道之間的間隙較小，當(dāng)螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物料會(huì)在間隙處堆積，所以嚙合區(qū)出現(xiàn)局部高壓情況，這種情況被稱為壓力突變［16］。通常情況下，嚙合異向雙螺桿在螺棱處壓力較高，螺槽處壓力較低，3 種頭數(shù)不同的螺桿壓力分布普遍不均勻，但是符合規(guī)律。為了進(jìn)一步分析3種螺桿對(duì)應(yīng)的流道的壓力分布情況，在螺桿入料位置嚙合區(qū)沿?cái)D出方向建立壓力參考軸線，得出擠出方向距離和壓力的關(guān)系如圖6 所示，當(dāng)PLA 在進(jìn)入異向雙螺桿時(shí)，因?yàn)閴毫μ荻鹊拇嬖?，在入口處到一個(gè)螺棱時(shí)是逐漸增加，隨后出現(xiàn)規(guī)律波動(dòng)，在出口處，壓力重新減小，PLA 流出。雖然螺棱與螺槽的數(shù)量不變，但是隨著陰轉(zhuǎn)子螺桿頭數(shù)的增加，PLA 在流道內(nèi)分布更加充分，螺棱變窄，螺槽變寬，壓力的峰值點(diǎn)降低，更有利于PLA的整體混合。

圖5 不同螺桿構(gòu)型下的壓力云圖Fig.5 Pressure cloud diagram for different screw configurations

圖6 軸向壓力折線圖Fig.6 Axial pressure line diagram

2.2 剪切速率場

如圖7剪切速率分布云圖所示，隨著螺桿頭數(shù)比的增加，兩螺桿之間的轉(zhuǎn)速差越來越大，通常情況下，常規(guī)雙螺桿在螺桿嚙合區(qū)和機(jī)筒內(nèi)壁的間隙處出現(xiàn)最高的剪切速率。由于剪切速率梯度的存在，PLA 熔體可以充分地混合。差速比的存在，進(jìn)一步提高了PLA 熔融體的混合效率，為了進(jìn)一步分析3種螺桿對(duì)應(yīng)的流道的剪切速率分布情況，在螺桿嚙合區(qū)沿?cái)D出方向建立剪切速率參考軸線，得出擠出方向距離和剪切速率的關(guān)系如圖8所示。剪切速率的峰值點(diǎn)出現(xiàn)在螺棱位置，陽轉(zhuǎn)子螺桿頭數(shù)保持不變，隨著陰轉(zhuǎn)子螺桿頭數(shù)的增加，使得螺槽變寬，螺棱變窄，使得流道和螺棱的接觸面積減小，剪切速率波動(dòng)變大，剪切作用更強(qiáng)，分散混合效果更好。AC22 和AC32 模型在螺棱處出現(xiàn)突變值，說明在此處產(chǎn)生漏流現(xiàn)象。

圖7 不同螺桿構(gòu)型下的剪切速率云圖Fig.7 Shear rate nephogram of different screw configurations

圖8 軸向剪切速率折線圖Fig.8 Line chart of axial shear rate

2.3 黏度場

為觀察流道內(nèi)部的黏度云圖，選擇如圖9所示的中心截圖，可以看出，在靠近螺棱位置處的黏度較小，在螺槽中間處的黏度較大。這是因?yàn)椤凹羟凶兿　爆F(xiàn)象的存在［17］，即在流動(dòng)速度較大處剪切作用較大而黏度較?。辉诹鲃?dòng)速度較小處剪切作用較小而黏度較大。PLA 屬于剪切變稀流體，符合這種現(xiàn)象。為了進(jìn)一步分析3種螺桿對(duì)應(yīng)的流道的瞬時(shí)黏度分布情況，在螺桿嚙合區(qū)沿?cái)D出方向建立黏度參考軸線，得出擠出方向距離和黏度的關(guān)系如圖10 所示，PLA 在螺槽內(nèi)流動(dòng)，在2 個(gè)螺桿的螺棱和螺槽處發(fā)生擠壓剪切。圖10 的峰值點(diǎn)與螺槽一一對(duì)應(yīng)，因?yàn)槁輻U向前輸送，剪切作用并不是很大，因此整體黏度值較大。同時(shí)隨著陰轉(zhuǎn)子螺桿頭數(shù)的增加，陰轉(zhuǎn)子螺桿的轉(zhuǎn)速越來越慢，兩螺桿的速度差增加，所以在螺槽處的瞬時(shí)黏度和螺棱處的瞬時(shí)黏度之差增加。

圖10 軸向黏度折線圖Fig.10 Line chart of axial viscosity

2.4 停留時(shí)間分布

停留時(shí)間分布是衡量螺桿元件軸向混合性能的重要指標(biāo)［18］，采用示蹤粒子軌跡跟蹤法（PTA），將2 000個(gè)示蹤粒子布置在流道入口處，利用Polystat統(tǒng)計(jì)模塊計(jì)算分析示蹤粒子在流道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，以時(shí)間為切片，以陽轉(zhuǎn)子螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)角度12°為次數(shù)，記錄螺桿轉(zhuǎn)過60 次時(shí)的示蹤粒子分布，表4 為部分時(shí)間切片下示蹤粒子個(gè)數(shù)圖；根據(jù)時(shí)間切片建立出口切片，創(chuàng)建概率密度函數(shù)，函數(shù)表達(dá)式如式（13）所示：

表4 示蹤粒子分布Tab.4 Shows of the distribution of tracer particles

繪制停留時(shí)間分布曲線如圖11（a）所示。根據(jù)停留時(shí)間分布曲線，創(chuàng)建概率函數(shù)，函數(shù)表達(dá)式如式（14）所示。

圖11 停留時(shí)間分布曲線Fig.11 Residence time distribution curves

繪制累積停留時(shí)間分布曲線如圖11（b）所示。其中c（t）為時(shí)間切片對(duì)應(yīng)的函數(shù)。

對(duì)比后發(fā)現(xiàn)累積停留時(shí)間分布曲線趨勢大體上一致，但是在達(dá)到穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)存在先后順序，選取概率密度0.8 時(shí)，發(fā)現(xiàn)隨著螺桿陰轉(zhuǎn)子頭數(shù)的增加，停留時(shí)間逐漸變長。這是因?yàn)槁輻U頭數(shù)的增加，增加了螺槽寬度，使得有更大的接觸面積，更長的停留時(shí)間。隨著螺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，示蹤粒子在螺桿內(nèi)的停留的時(shí)間增長，軸向混合能力更好；對(duì)比停留時(shí)間分布曲線我們發(fā)現(xiàn)隨著螺桿陰轉(zhuǎn)子頭數(shù)的增加，拐點(diǎn)之間的距離越來越大，軸向混合能力變好。因?yàn)槁莶圩儗捠沟媒佑|面積增加，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間的增加，PLA 在螺桿內(nèi)的停留時(shí)間增長，不利于螺桿的自清潔。因此選擇合適的螺桿結(jié)構(gòu)有利于提高PLA材料的性質(zhì)，同時(shí)也能提高螺桿自清潔能力。

2.5 分布混合特性

2.5.1 分布指數(shù)

通常情況下，使用分布指數(shù)來衡量材料的分布混合性能，對(duì)于密閉的空間混合來說，在開始時(shí)，示蹤粒子會(huì)部分團(tuán)聚。隨著示蹤粒子向前運(yùn)動(dòng)，團(tuán)聚體會(huì)逐漸均勻在整個(gè)流體空間內(nèi)混合。因此可以假設(shè)示蹤粒子為物料，通過分布距離來判斷當(dāng)前示蹤粒子的分布均勻性以及與理想狀態(tài)下的示蹤粒子最優(yōu)分布之間的差異，差異越大，分布越差；差異越小，分布越好［19］。

通過修改停留時(shí)間分布的仿真條件，在示蹤粒子數(shù)量不變的情況下，使用Polystat統(tǒng)計(jì)模塊計(jì)算分析示蹤粒子在流道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，同樣以時(shí)間為切片，得到示蹤粒子時(shí)間切片的瞬態(tài)分布與最優(yōu)分布。

在以上示蹤粒子瞬態(tài)分布和最優(yōu)分布的基礎(chǔ)上，如式（15）所示根據(jù)分布指數(shù)的定義：

其中f(l)為瞬態(tài)分布函數(shù)曲線，fopt為最優(yōu)分布函數(shù)曲線。

進(jìn)行分布指數(shù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算，繪制出分布指數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如圖12 所示?？梢钥闯?，在0～30 的時(shí)間序列，3 種螺桿的示蹤粒子分布不呈現(xiàn)規(guī)律性，這是因?yàn)樵诼輻U入口處存在回流現(xiàn)象，但是隨著螺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，示蹤粒子成功的進(jìn)入螺桿中，分散均勻。同時(shí)，隨著螺桿頭數(shù)的增加，螺槽變寬，接觸面積增加，差異越來越小，AC42的差異迅速到達(dá)最小值，并且用的時(shí)間更短一些，說明分布均勻性要比AC32和AC22更好一些。

圖12 分布指數(shù)曲線Fig.12 Distribution exponential curves

在仿真軟件中對(duì)示蹤粒子進(jìn)行的觀察截圖，入口處布置有示蹤粒子，分別用紅色和藍(lán)色表示，螺桿旋轉(zhuǎn)，示蹤粒子往前輸送的同時(shí)，2 種顏色的示蹤粒子不斷摻混。圖13 為不同螺桿構(gòu)型下，陰轉(zhuǎn)子螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)2 圈時(shí)，螺桿的示蹤粒子混合圖，可以發(fā)現(xiàn)隨著陰轉(zhuǎn)子螺桿頭數(shù)的增加，混合程度越來越高。

圖13 示蹤粒子混合圖Fig.13 Shows of the mixing of tracer particles

2.5.2 分離尺度

分離尺度是混合物中相同組分區(qū)域平均尺寸的度量，其值隨著分散和混合程度的增加而減小，可以反映混合過程，是表征分布混合性能的重要參數(shù)，分離尺度的控制方程如式（16）、（17）所示［20］：

式中S——分離尺度

——平均分布密度

M——相對(duì)點(diǎn)的數(shù)量

圖14 展示了不同螺桿構(gòu)型下的分離尺度曲線，通過觀察發(fā)現(xiàn)，在0～30時(shí)間切片，隨著螺桿頭數(shù)的增加，分離尺度逐漸減小，30 切片以后，AC32 和AC42 的分離尺度迅速下降，說明螺槽變寬加快的粒子的分散效果軸向混合性能變好。AC22 在30 時(shí)間切片以后存在增大現(xiàn)象，說明回流現(xiàn)象嚴(yán)重，不利于熔融體的混合。

圖14 分離尺度曲線Fig.14 Separation scale curves

分布指數(shù)和分離尺度2 個(gè)指標(biāo)是從研究封閉區(qū)域內(nèi)分散混合性能所演變過來的指標(biāo)，由于實(shí)際情況的存在，只能理想化的描述螺桿的軸向混合能力，但是通過圖12 和圖14 仍然能得出結(jié)論：螺桿頭數(shù)的增加提高了軸向混合能力。

3 結(jié)論

（1）通過分析PLA 在不同螺桿構(gòu)型下的流場壓力云圖、剪切速率云圖、黏度云圖；給定螺桿陽轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，螺桿陰轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速與其頭數(shù)成反比，頭數(shù)越多，轉(zhuǎn)速越低；這也導(dǎo)致其壓力總體上隨著頭數(shù)的增加而減小，壓力場的峰值點(diǎn)減低，剪切總體上隨頭數(shù)增加而降低，剪切速率場的剪切速率波動(dòng)變大，剪切作用增強(qiáng)，黏度總體上相應(yīng)增大，黏度場的峰值點(diǎn)增加，更有利于PLA的在流道內(nèi)的分布和混合性能；

（2）通過分析了不同螺桿構(gòu)型下示蹤粒子的停留時(shí)間分布和軸向混合性能，發(fā)現(xiàn)隨著螺桿頭數(shù)的增加，增加了螺槽寬度，接觸面積增大，停留時(shí)間增加，PLA的分布更加均勻，軸向混合能力提高，但是會(huì)在一定程度影響異向雙螺桿的自清潔能力；

（3）進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，設(shè)置為等溫流場，但在實(shí)際中無法實(shí)現(xiàn)等溫情況，因此需要在非等溫流場中進(jìn)行數(shù)值模擬，獲得更加準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，并對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。