付云雷，周超，王志臣，2，陳濤，王澤悟

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，長春 130033；

（2.中國科學院大學，北京 100049；3.中國人民解放軍32036 部隊，重慶 400000）

隨著軍民需求的日益增加，小口徑的天文望遠鏡逐漸無法滿足現(xiàn)有的使用需求，眾多科研院所把研究目標集中在設(shè)計與建造大口徑望遠鏡上面。大口徑望遠鏡的安裝基礎(chǔ)一般分為兩類，一類是放置于海拔較高且視寧度較好的望遠鏡站址；另一類是將望遠鏡與車輛載體集成一體化的車載望遠鏡。對于前者，望遠鏡口徑往往可以做成數(shù)米量級，但對于后者而言，由于車輛載體本身高度、寬度的限制，望遠鏡口徑的上限值往往較低。

隨著大口徑望遠鏡的需求逐漸增加，近些年對于大口徑望遠鏡的研究也逐漸成為光機領(lǐng)域研究的熱點。周超等人［1］分析了望遠鏡在風載和地震波載荷作用下的動態(tài)響應(yīng)情況并給出了響應(yīng)結(jié)果。鄧永停等人［2］對2 m 口徑望遠鏡跟蹤機架伺服控制系統(tǒng)的動態(tài)性能進行了測試和分析，實驗結(jié)果驗證了跟蹤機架控制系統(tǒng)的良好性能。安其昌等人［3］比較并總結(jié)了三種主流的風載研究分析方法的優(yōu)缺點與適用場合。趙勇志等人［4］建立了1.2 m 口徑望遠鏡跟蹤機架有限元模型并分析了望遠鏡模態(tài)與風載對望遠鏡性能的影響。楊立保等人［5］以地平式U 型跟蹤架為例，分析了采用方鋼管桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計的四通與轉(zhuǎn)臺的固有頻率并與掃頻測試結(jié)果進行比較。蘭斌等人［6］計算了在以不同風速和俯仰角組合共16 種工況下非穩(wěn)態(tài)風載的功率譜密度作為輸入下的望遠鏡光學元件的位移響應(yīng)。曹玉巖等人［7］提出了一種基于二維隨機場的風速時程模擬方法，從時域角度對望遠鏡在風擾動作用下的響應(yīng)進行了時程模擬以及系統(tǒng)性能預(yù)測。胡佳寧等人［8］系統(tǒng)性地總結(jié)了地基大口徑望遠鏡主鏡的定位系統(tǒng)和支撐系統(tǒng)，并對國外大口徑望遠鏡的主動支撐技術(shù)進行了詳細介紹和總結(jié)分析。有限元仿真技術(shù)在大口徑望遠鏡的設(shè)計中扮演著不可或缺的角色，目前國內(nèi)外的望遠鏡在其設(shè)計中都離不開有限元的建模分析。隨著望遠鏡口徑的增大與日益提高的性能需求，問題與挑戰(zhàn)也隨之增加。通過借助有限元仿真工具進行準確地建模與合乎實際的仿真，其分析結(jié)果可對望遠鏡在各種工況下的使用性能提供預(yù)測。

本文以2 m 量級望遠鏡為例，借助HyperMesh與ABAQUS 強大的前后處理功能，對望遠鏡整體結(jié)構(gòu)進行了詳細的有限元建模，研究了望遠鏡主光學組件在重力載荷作用下主光學組件位移與傾角隨俯仰角的變化規(guī)律。同時還研究了主光學組件在風載作用下的靜態(tài)和動態(tài)響應(yīng)，分析了其對主鏡的面形與系統(tǒng)指向精度的影響。

1 望遠鏡系統(tǒng)有限元模型的建立

在構(gòu)建望遠鏡結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時所使用的全局坐標系如圖1 所示。望遠鏡系統(tǒng)主要由俯仰軸系、方位軸系、主鏡組件、次鏡組件等模塊組成。俯仰軸系與方位軸系分別賦予了光學系統(tǒng)在水平軸方向與豎直軸方向的旋轉(zhuǎn)自由度，使得整個望遠鏡系統(tǒng)獲得對目標的精確跟蹤與定位觀測的功能。主鏡組件包含主鏡、主鏡室、底支撐與側(cè)支撐，主鏡與主鏡室之間的相對連接即是通過底支撐與側(cè)支撐的協(xié)同作用實現(xiàn)的。次鏡組件中的桁架結(jié)構(gòu)與四葉梁結(jié)構(gòu)用于支撐次鏡。

圖1 望遠鏡系統(tǒng)三維結(jié)構(gòu)

在望遠鏡結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，首先定義X、Y、Z坐標系，具體為X正向表示從左立柱指向右立柱的俯仰軸方向；Z正向表示從次鏡指向主鏡的方位軸方向；Y正向按照右手定則確定方向，即Y正向表示從望遠鏡后方指向望遠鏡前方的與兩個軸系分別垂直的方向。在HyperMesh 中建立了望遠鏡系統(tǒng)的有限元模型，如圖2 所示。

圖2 望遠鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元模型

為了實現(xiàn)主次鏡的輕量化目標，主次鏡材料均采用碳化硅，同時將主次鏡的內(nèi)部設(shè)計為蜂窩狀結(jié)構(gòu)。由此選擇殼單元模擬主鏡與次鏡。望遠鏡跟蹤架的基座、轉(zhuǎn)臺、四通、立柱與主鏡室均采用板材焊接加工成型得到，因此其結(jié)構(gòu)也同樣采用殼單元模擬，次鏡桁架與四葉梁由于其在長度方向的尺寸遠大于截面尺寸，因此也仍采用殼單元模擬。全部模型劃分后共產(chǎn)生158 620 個單元，286 845 個節(jié)點。

在俯仰軸系與方位軸系中，軸承是整個軸系中最為關(guān)鍵的零件之一。一方面，軸承要承受望遠鏡系統(tǒng)的大部分重量，軸承的強度與剛度需要滿足很高的要求；另一方面，軸承性能的優(yōu)劣決定了伺服控制系統(tǒng)能否將方位角與俯仰角控制在所需要的精度之內(nèi)。由此，針對望遠鏡系統(tǒng)所使用的方位軸承與俯仰軸承，本文提出使用轉(zhuǎn)動副模擬軸承。在對望遠鏡軸承模擬的過程中，出現(xiàn)了許多簡化方法。其中，桿單元由于只承受沿桿軸向的拉力與壓力，比較符合軸承的實際受力情況，得到許多研究人員的青睞。同樣的，彈簧單元由于可以承受拉力與壓力，可以通過賦予彈簧的軸向剛度值進而模擬軸承。此外，GAP 間隙單元也可以對軸承進行簡化并與實際較為相符［9-10］。然而，上述對軸承的簡化方式均存在同樣的問題，即軸承在承受外載荷的作用時，其剛度值不是一個確定值。同時，大型望遠鏡軸承一般需要定制，軸承的剛度值很難通過實驗獲取其真實值。分析軸承的使用原理可知，軸在與軸承內(nèi)圈進行連接后，以轉(zhuǎn)動副的方式與軸一同相對軸承外圈做旋轉(zhuǎn)運動。ABAQUS 軟件中提供了一種連接屬性bushing，可以通過定義沿局部坐標系下的6 個自由度方向的剛度值模擬軸承。通過計算俯仰軸承的承載與俯仰軸承鋼球的變形之間的關(guān)系，可近似得到俯仰軸承的剛度值量級。對于俯仰軸承所具有的旋轉(zhuǎn)自由度，通過設(shè)置較小的剛度值模擬，該值在設(shè)定時參考經(jīng)驗值。對于俯仰軸承所具有的平動自由度，根據(jù)計算得到的剛度值量級進行設(shè)置。對于其余自由度，選擇高出該計算剛度值若干數(shù)量級的剛度值進行設(shè)定。該方法同樣適用于方位軸承。

2 望遠鏡結(jié)構(gòu)有限元分析

2.1 望遠鏡在重力載荷作用下的分析

在對望遠鏡整體結(jié)構(gòu)進行靜力學分析時，由于望遠鏡整體質(zhì)量較大，因此重力對望遠鏡的影響是最先需要考慮的。望遠鏡在工作過程中，由于俯仰角需要跟隨觀測目標的位置不斷調(diào)整，光學組件在重力的作用下會發(fā)生不同程度的變形，從而引入各種像差。本文以望遠鏡俯仰角0°、5°、15°、30°、60°和90°為例，對光學組件進行了重力載荷作用下的變形分析。其中，俯仰角0°表示望遠鏡光軸指向天頂，俯仰角90°表示望遠鏡光軸指向水平，研究結(jié)果著重關(guān)注重力載荷引起的光學組件的離焦和傾斜。

分析結(jié)果表明，主鏡與次鏡的平均位移均隨俯仰角的增加呈現(xiàn)減小趨勢，在俯仰角為0°時，即望遠鏡光軸指向天頂，主鏡處最大平均位移達到80.0 μm，次鏡處最大平均位移達到93.4 μm，如圖3（a）所示。與主次鏡位移隨俯仰角變化趨勢相反，主鏡與次鏡的平均傾角均隨俯仰角的增加呈現(xiàn)增大趨勢，在俯仰角為90°時，即望遠鏡光軸指向水平，主鏡處最大平均傾角達到1.97″，次鏡處最大平均傾角達到0.57″，如圖3（b）所示。比較俯仰角從0°變化到90°的變化過程發(fā)現(xiàn)，主鏡處的平均位移變化與平均傾角變化范圍均較次鏡更大。

圖3 主光學組件在不同俯仰角下的位移與傾角

圖4中曲線表明，主次鏡的相對位移在Z向變化較大且呈現(xiàn)隨俯仰角增加而逐漸增大的趨勢，而在X向與Y向則無明顯變化趨勢。主次鏡的相對傾角在X向變化較大且呈現(xiàn)隨俯仰角增加而逐漸增大的趨勢，而在Y向與Z向則無明顯變化趨勢。當俯仰角為90°時，主次鏡相對位移在Z向分量為0.03 mm，相對傾角在X向分量為1.40″。分析主次鏡在不同俯仰角下的相對位移與相對傾角的各方向分量的變化關(guān)系，在望遠鏡光機裝調(diào)時將會對光學組件有關(guān)的離焦與傾斜的調(diào)整提供參考。

圖4 主光學組件在不同俯仰角下的相對位移與相對傾角

圖5給出了望遠鏡結(jié)構(gòu)在重力載荷作用下的變形云圖，其中當俯仰角為0°時，即望遠鏡光軸指向天頂時，最大變形位置在次鏡與四葉梁處，最大變形量約為87.3 μm。當俯仰角為90°時，即望遠鏡光軸指向水平時，最大變形位置在四葉梁處，最大變形量約為90.5 μm。

圖5 望遠鏡結(jié)構(gòu)在重力作用下的變形云圖

2.2 望遠鏡模態(tài)分析

模態(tài)分析是設(shè)計望遠鏡結(jié)構(gòu)時必須考慮的因素之一，望遠鏡結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)直接影響望遠鏡對各種輸入激勵的動態(tài)響應(yīng)。此外，模態(tài)分析是計算望遠鏡各種動力學響應(yīng)的基礎(chǔ)，模態(tài)分析詳細給出了每種模態(tài)的振型與頻率。針對本文研究的望遠鏡結(jié)構(gòu)，在后處理結(jié)果中提取了前10 階模態(tài)，如表1 所示。

表1 望遠鏡前10 階固有頻率與振型

2.3 望遠鏡風載分析

望遠鏡由于其結(jié)構(gòu)龐大，當風載作用于望遠鏡結(jié)構(gòu)和鏡面時，光學組件的成像質(zhì)量與望遠鏡系統(tǒng)的控制精度將受到影響。因此，研究望遠鏡在風載作用下的動態(tài)響應(yīng)得到越來越多研究工作者的重視。風是由空氣流動造成的一種自然現(xiàn)象，風載就是風對結(jié)構(gòu)造成的隨機作用。風載可視為由靜態(tài)風載與動態(tài)風載兩部分組成。其中，靜態(tài)風載由平均風速作用在結(jié)構(gòu)表面引起，動態(tài)風載由物體造成的風的湍動和隨機風速本身引起。靜態(tài)風載的表達式如下：

式中，F(xiàn)為靜態(tài)風載作用力，單位為N；P為風頭壓力，單位為Pa；A為結(jié)構(gòu)的迎風面積，單位為m2；CD為風阻系數(shù)；ρ為該海拔高度處的空氣密度，單位為kg/m3；為平均風速，單位為m/s。

動態(tài)風載即隨機風載。其研究方法一般分為兩種，即等效風速法與風載功率譜分析法。等效風速法考慮了靜態(tài)風載與動態(tài)風載綜合作用的效果，計算時需要將平均風速換為等效風速后代入公式（1）進行計算，其中等效風速的常用計算方法如公式（2）。等效風速法從原理上仍然屬于一種線性時域計算方法，在實際分析動態(tài)風載對于望遠鏡結(jié)構(gòu)的影響時，風載功率譜分析法有著更加廣泛的應(yīng)用。

式中，Vequ為等效風速；Vm為平均風速；σv為風速的標準差。

風載功率譜分析法的原理是，由風的隨機風速的能量譜得出力頻譜，加載到物體上得出物體對風載的響應(yīng)。這種方法可以獲得物體響應(yīng)與頻率的關(guān)系，屬于一種頻域分析方法。下面推導(dǎo)隨機風速能量譜的表達式。假設(shè)在離地高度z處的風速由平均風速與隨機風速組成，如公式（3），風頭壓力與風速的二次方成正比，由此可推導(dǎo)得到公式（4）。由公式（4）知，在某一瞬時下的風壓可以近似看作是平均風速產(chǎn)生的風壓與隨機風載產(chǎn)生的風壓的疊加。

式中，z為離地高度，單位為m；Vt為瞬時風速，單位為m/s；z為離地高度z處的平均風速，單位為m/s；Vr為隨機風速，單位為m/s；Pt為在某一瞬時下的風壓，單位為Pa；Pr為由隨機風載產(chǎn)生的分壓，單位為Pa。

在天文望遠鏡工程中，有關(guān)風載的研究積累下很多的數(shù)學模型。其中，在描述地面風運動的數(shù)學模型中，比較常見的是Von Karman 譜和Davenport 譜［11］。在后續(xù)對風運動研究的數(shù)學模型中，已有的功率譜模型得到改進，新模型更加準確地描述了低頻區(qū)域的能量分布特征，同時將離地高度這一因素考慮在內(nèi)，稱為Kaimal 譜，其表達式如下：

式中，f為頻率；Vτ為地面摩擦剪切風速，單位為m/s；z0為地面粗糙度，對于開闊地選為0.01 m，對于鄉(xiāng)村選為0.3 m。

當風作用到大型結(jié)構(gòu)上時，結(jié)構(gòu)對風的衰減作用是明顯的。為了表征這一現(xiàn)象，引入動力響應(yīng)因子Xaero，其表達式如公式（8）。對于大型結(jié)構(gòu)，由于它自身尺寸很接近風的波長，因此空氣動力響應(yīng)因子的值一般近似取為1［12］。

由上述公式可推導(dǎo)得到隨機風載的風速能量譜與風壓能量譜，分別如公式（9）、公式（10）所示。

本文選取靜態(tài)風載分析方法與風載功率譜分析法研究望遠鏡結(jié)構(gòu)對風載的動態(tài)響應(yīng)。有限元計算軟件為大型結(jié)構(gòu)的仿真分析提供了便捷且準確的手段。其中，靜態(tài)風載分析一般在通用靜力學通用分析模塊實現(xiàn)，風載功率譜分析則借助有限元軟件中的PSD 分析模塊進行計算。

2.3.1 靜態(tài)風載分析

假設(shè)本文研究的望遠鏡工作環(huán)境處于長春市某地區(qū)，該地區(qū)海拔高度為300 m，其基本風壓的標準值為650 Pa。考慮望遠鏡工作時所在環(huán)境的地形地貌，同時考慮望遠鏡工作時外部防護罩對風具有一定程度的阻擋作用，導(dǎo)致望遠鏡工作時其承受的實際風速是外部風速的十分之一，由此推導(dǎo)得出實際作用于望遠鏡上的風壓值約為13 Pa，因此作用于望遠鏡的風速為4.67 m/s，公式如下：

式中，c*為望遠鏡工作時所在環(huán)境的地形地貌系數(shù)；P*為長春市基本風壓的標準值，單位為Pa。

在ABAQUS 中構(gòu)建主鏡的有限元模型，如圖6 所示。望遠鏡在工作狀態(tài)中，主鏡沿俯仰軸旋轉(zhuǎn)的范圍為-90°～+90°。當望遠鏡光軸指向水平方向時，主鏡呈現(xiàn)豎直站立的姿態(tài)，此時在重力載荷的作用下，主鏡面形會表現(xiàn)得較差。當主鏡處于該位置時，位于主鏡與主鏡室之間的12個側(cè)支撐則保證了主鏡的位置姿態(tài)。在圖6 中，約束這12 個側(cè)支撐處的平移與旋轉(zhuǎn)自由度，同時沿鏡面法向施加壓力用以模擬靜態(tài)風載對主鏡面形的作用。

圖6 主鏡在靜態(tài)風載作用下的有限元模型

圖7為主鏡在靜態(tài)風載作用下的變形云圖，通過提取鏡面節(jié)點與相應(yīng)節(jié)點處的位移可計算得到鏡面面形的PV 值為20.15 nm，RMS 值為3.32 nm［13］。在圖6 中主鏡有限元模型的基礎(chǔ)上對主鏡同時施加重力載荷，計算得到的主鏡變形云圖如圖8 所示，此時鏡面面形的PV 值為115.14 nm，RMS 值為19.91 nm。主鏡的一階模態(tài)為461 Hz，模態(tài)振型為沿著光軸方向前后振動，如圖9 所示。

圖7 主鏡在靜態(tài)風載作用下的變形云圖

圖8 主鏡在靜態(tài)風載與重力綜合作用下的變形云圖

圖9 主鏡的一階約束模態(tài)振型

2.3.2 風載功率譜分析

根據(jù)上述計算公式得到隨機風載的壓力譜PSD 曲線，如圖10 所示。

圖10 隨機風載壓力譜的PSD 曲線

在望遠鏡光軸指向天頂位置處，假設(shè)隨機風向沿Y軸正向，將壓力譜曲線加載到望遠鏡結(jié)構(gòu)沿Y軸正向的迎風面處，將主鏡與次鏡均簡化為質(zhì)量點處理，得到如圖11 所示的望遠鏡在隨機風載作用下的有限元模型。

圖11 隨機風載作用下的望遠鏡有限元模型

借助ABAQUS 中的PSD 模塊對望遠鏡進行隨機響應(yīng)分析，其中主鏡與次鏡的位移響應(yīng)PSD曲線如圖12 所示。

圖12 主光學組件在風壓力譜PSD 下的位移響應(yīng)

由此計算主鏡與次鏡在三個方向的位移RMS 值，見表2。由表2 中數(shù)據(jù)可知，當對望遠鏡施加沿Y向的隨機風載時，望遠鏡主光學組件在Y向的位移也會較其他方向更大。其中主鏡在Y向和Z向的位移較X向大很多，因此主鏡X向位移可忽略。對于次鏡，Y向的位移較X向和Z向均大很多，因此次鏡X向位移與Z向位移均可忽略。主次鏡在Y向的相對位移為7.744E-3 mm，由此造成的望遠鏡光軸指向誤差為0.941 5″，其值滿足光學設(shè)計要求。

表2 主光學組件在各個方向的位移RMS 值

3 結(jié)論

（1）在重力載荷作用下，主鏡與次鏡的平均位移均隨俯仰角的增加呈現(xiàn)減小趨勢，主鏡處最大平均位移達到80.0 μm，次鏡處最大平均位移達到93.4 μm。主鏡與次鏡的平均傾角均隨俯仰角的增加呈現(xiàn)增大趨勢，主鏡處最大平均傾角達到1.97″，次鏡處最大平均傾角達到0.57″，主鏡處的平均位移變化與平均傾角變化范圍均較次鏡更大。

（2）在重力載荷作用下，主次鏡的相對位移在Z向變化較大且呈現(xiàn)隨俯仰角增加而逐漸增大的趨勢，主次鏡的相對傾角在X向變化較大且呈現(xiàn)隨俯仰角增加而逐漸增大的趨勢，主次鏡相對位移的最大Z向分量為0.03 mm，相對傾角的最大X向分量為1.40″。

（3）主鏡在光軸指向水平方向時，靜態(tài)風載與重力載荷會引起鏡面面形質(zhì)量下降，其中靜態(tài)風載引起的鏡面RMS 值變化相對于重力載荷是小量，但對于越來越大口徑的望遠鏡而言仍不可忽視。

（4）隨機風載的壓力譜作用于望遠鏡時，會對主光學組件造成0.941 5″的光軸指向誤差。有限元的分析結(jié)果，將有助于望遠鏡在實際光機裝調(diào)中光學組件的調(diào)整過程，同時對后續(xù)大口徑望遠鏡結(jié)構(gòu)的設(shè)計與優(yōu)化有一定的借鑒意義。