祝二浩，袁明道，史永勝，張旭輝，徐云乾，2

（1. 廣東省水利水電科學研究院，廣東 廣州 510610； 2. 河海大學水利水電學院，江蘇 南京 210098）

0 引 言

襯砌是應用非常廣泛的支護結構，與圍巖協調變形。它不僅可以限制巖體變形，為隧洞壁提供支護力，而且可以封閉圍巖，防止圍巖風化。通過現場試驗、模型試驗、理論分析和數值模擬，學者們一直在探索襯砌支護的作用機理［1-14］。很多研究闡釋了襯砌支護的工作原理，并考慮了各種影響因素，如接觸面粗糙度、巖石節(jié)理發(fā)育程度、開挖面的空間效應和支護時間等。其中，Muskhelishvili 提出的復變函數方法是分析巖體與襯砌相互作用有效的分析方法［11-16］。而呂愛鐘教授的團隊利用這種方法做了大量工作并得到很多重要的結論［12-15］，他們利用復變函數理論和保角映射方法，根據位移連續(xù)條件和力的邊界條件確定相應解析函數的系數后進行應力計算，解決了不同洞型的深埋或淺埋隧洞單層襯砌問題，得到了無限域內任意形狀襯砌隧洞的應力和位移的解析解［13，14］。本文延續(xù)該思路，進一步考慮了雙層襯砌水工隧洞的情況，建立了圍巖、初襯和二襯相互作用的力學模型，可以求解三者中任意位置處的應力分量，并通過數值模擬對結果進行了驗證，隨后分析了影響襯砌應力分布的因素，揭示了隧洞開挖引起的山巖壓力在初襯和二襯中的荷載傳遞機制，對雙層襯砌水工隧洞的設計工作提供了一種思路。雙層襯砌圓形水工隧洞示意圖如圖1。

本文的假定條件如下：隧洞埋深較深，初襯和二襯同時承擔開挖引起的山巖壓力和內水壓力，且?guī)r體和襯砌始終處于彈性狀態(tài)，隧洞軸線方向的應變?yōu)榱?。也就是說，本文的問題可以簡化為平面應變問題。襯砌與圍巖是完全接觸的，即襯砌與圍巖接觸面處的接觸應力和位移是連續(xù)的。

1 基本原理和公式

隧洞的支護問題可以簡化為平面應變問題來求解，在體力為常數的前提下，平面彈性問題的應力解法最終歸結為：在給定邊界條件下求解雙調和方程，而根據復變函數理論，應力函數可以用兩個勢函數來表示，通過邊界條件確定下兩個解析函數的具體形式后，域內任意點的應力和位移即可求出。

1.1 隧洞無支護

當隧洞沒有設置襯砌支護，圓形隧洞開挖相對應的兩個勢函數可以用Laurent級數表示為［11］：

式中：p為初始垂直地應力；λ為側壓力系數；R1是圓形隧洞的半徑；z為圍巖內任意點位置。

1.2 考慮襯砌支護

安置雙層襯砌后，隧洞開挖引起的應力釋放過程中圍巖與初襯相互作用。初襯作用下對應的圍巖的兩個解析函數可以用Taylor級數表示為：

而初襯在圍巖和二襯接觸荷載作用下對應兩個復勢函數可以用Laurent級數表示為：

類似地，二襯在初襯接觸荷載以及內水壓作用下的兩個復勢函數可以用Laurent級數表示為：

式（2）～（4）中的ck、dk、ek、fk、gk、hk、ak、bk、mk、nk為待定常數。如圖1 所示，假定靜水壓力p0作用于二襯的內邊界，且初襯、二襯與圍巖三者之間完全接觸。那么，根據圍巖與初襯接觸面上（r=R1）的應力和位移連續(xù)性條件，初襯與二襯接觸面上（r=R2）的應力與位移連續(xù)性條件，以及二襯內邊界上（r=R3）的應力邊界條件可以得到以下方程：

式中：（μ1，G1，E1），（μ2，G2，E2），（μ3，G3，E3）分別是圍巖、初襯和二襯的泊松比、剪切模量和楊氏模量，并且滿足：k1=3-4μ1，k2=3-4μ2，k3=3-4μ3。h為位移釋放系數［12-14］，由掌子面與襯砌段之間的距離決定，表示隧洞在發(fā)生總位移的h倍后得到支護。

1.3 建立方程并求解

將式（1）、（2）代入式（5），比較式子等號兩邊eikq的系數，可以得到以下等式：

而將式（3）、（4）代入式（6）并對比式子等號兩邊eikq的系數可以得到下列等式：

將式（4）代入式（7），因為式對任意q恒成立，因此可以得到下面等式：

將式（1）、（2）和（3）代入式（8），并比較式等號兩邊eikq的系數，可以得到下面的等式：

將式（3）、（4）代入式（9）并比較式等號兩邊eikq的系數則可以得到：

從式（10）～（31）可以看出，除了a1，b1，b3，c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3，h1，m1，m3，n1不等于零外，其他待求系數均為零。這些系數可以通過由等式（10）～（13）、（15）、（17）～（18）、（20）～（23）、（26）、（28）和（30）～（31）組成的線性等式（32）～（46）來確定：

聯立以上等式，由此便得到了圍巖和雙層襯砌對應的復勢函數具體表達式。

2 雙層襯砌及圍巖內的應力解

在給定（R1，R2，R3，p，p0，λ，μ1，μ2，μ3，E1，E2，E3，h）參數值并通過式（32）～（46）計算出系數（a1，b1，b3，c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3，h1，m1，m3，n1）情況下，初襯和二襯內任意位置處的應力可通過式（47）和（48）求解，只需將式中的φ0（z）、ψ0（z）分別替換成對應的φ2（z）、ψ2（z）以及φ3（z），ψ3（z）即可：

整理可得初襯內應力分量分別是：

二襯內應力分量分別是：

至于圍巖中的應力，它是由開挖前圍巖的應力、開挖引起的應力變化和施加襯砌后的應力變化疊加而成，相應地，兩個復勢函數等于開挖前的勢函數再加上式（1）、（2）對應的勢函數，即：

式（55）、（56）中的第一項即代表著隧洞開挖前的勢函數。同樣地，將式（47）、（48）中φ0（z）、ψ0（z）分別替換成與φ4（z）、ψ4（z）即可得到圍巖內任意位置的應力分量如下：

3 驗證與討論

3.1 理論解與數值解的對比

驗證采用的相關參數有：圓形隧洞半徑R1=2.3 m；初襯厚度為0.3 m（R2=2.0 m）；二襯厚度為0.4 m（R3=1.6 m）；垂直地應力σv=1 MPa；側壓力系數λ=0.5；隧洞內水壓p0=0.3 MPa；圍巖、初襯和二襯的楊氏模量分別為E1=1 GPa、E2=35.5 GPa、E3=32.5 GPa；圍巖的泊松比μ1=0.2，雙層襯砌的泊松比為μ2=μ3=0.167；位移釋放系數η=0.2。數值解采用有限元法進行模擬計算：模型尺寸為50 m×50 m，雙層襯砌和圍巖采用不同材料性質的Plane42單元模擬，雙層襯砌之間以及初襯、圍巖之間的接觸（面面接觸）關系則采用targe169 和contac172 單元模擬。通過Duncan 和Dunlop［17］提出的“應力釋放法”模擬隧洞開挖過程。圖2給出了雙層襯砌支護的圓形隧洞的數值模型：最外圍部分為圍巖區(qū)域；內部的兩個圓環(huán)即初襯和二襯；作用在二襯上的4個紅色箭頭指代內水壓力，而作用圍巖上的整圈紅色箭頭指代的是開挖荷載；藍色三角即為模型的對稱約束。圖3 到圖7 則給出了二襯內邊界、初襯與二襯交界面、初襯與圍巖交界面處的解析應力解與數值應力解的比較。由于對稱性，只給出了從模型上部x軸正向開始θ=0°到θ=180°的應力結果。

圖2 雙層襯砌圓形隧洞數值模型Fig.2 Numerical model of circular tunnel with double lining

圖3 二襯內邊界應力Fig.3 Inner boundary stress of the secondary lining

從圖3 到圖7 可以看出，本文方法得到的雙層襯砌和圍巖的應力結果與數值解吻合良好。并且通過觀察圖3 可以發(fā)現σr/p0=-1，τrθ=0，（負號表示壓應力），這符合我們預設的二襯內邊界的應力情況，即在二襯內邊界上的徑向正應力等于隧洞的內水壓。此外，通過比較圖4 和圖5、圖6 和圖7 中的徑向應力和剪切應力結果，可以發(fā)現二襯外邊界上的徑向應力、剪切應力和初襯內邊界的徑向應力、剪切應力基本相等，即在雙層襯砌之間的接觸面上、初襯和圍巖間的接觸面上都滿足應力連續(xù)性條件，同樣在很大程度上證明了該模型的有效性。

圖4 二襯外邊界應力Fig.4 Outer boundary stress of the secondary lining

圖5 初襯內邊界應力Fig.5 Inner boundary stress of the primary lining

圖6 初襯外邊界應力Fig.6 Outer boundary stress of the primary lining

圖7 圍巖內邊界應力Fig.7 Inner boundary stress of the surrounding rock

3.2 參數分析與討論

在開挖隧洞引起的山巖壓力和隧洞內水壓力的不同荷載組合下，雙層襯砌內的應力分布也不盡相同，二襯的切向應力時有會出現拉應力區(qū)的情況，特別是當內水壓力值較大時更是如此。以3.1 節(jié)提供的參數為例，從圖3 中可以很容易看出，這種工況下的二襯的切向應力在θ=68°和θ=112°之間為正值，即該部分的切向應力為拉應力。根據Tresca 破壞準則，最大主應力和最小主應力的差值越大越容易引起屈服破壞（這里切向應力和徑向應力分別對應最大主應力和最小主應力），因此這種應力狀態(tài)下的襯砌容易屈服破壞?；谶@種認識，為了在工程設計階段更好地把握山巖壓力和內水壓在雙層襯砌和圍巖內的荷載傳遞規(guī)律，接下來對影響雙層水工襯砌應力分布情況的參數進行分析和討論。

（1）水工隧洞內水壓的影響。采用3.1 節(jié)中的參數，令水工隧洞的運行內水壓p0分別等于0.3， 0.25， 0.2， 0.15，0.1 MPa。采用本文方法計算二襯的切向應力，結果如圖8、圖9所示。

圖8 不同p0對應的二襯內邊界的切向應力Fig.8 The tangential stress at the inner boundary of the secondary lining corresponding to different p0

從圖8、圖9 可以看出，在此算例的參數條件下，隨著水工隧洞內水壓的減小，二襯內邊界出現的拉應力區(qū)隨之減小，而在二襯的外邊界上的徑向應力（壓應力）也隨之減小。也就是說，對于開挖隧洞引起的山巖壓力，是初襯、二襯、以及隧洞內的水體三者共同在承擔，反之，水工隧洞運行時的內水壓也是由初襯、二襯以及圍巖共同承擔。內水壓的改變，使襯砌和圍巖的荷載分配發(fā)生改變：內水壓減小，水體和襯砌承擔的荷載隨之減小，圍巖本身需承擔更多開挖引起的荷載，因此在工程實踐中應該注意水工隧洞運行內水壓，避免出現不利的應力組合情況。

（2）互換襯砌彈性模量的影響。保持其他參數值不變，令初襯和二襯厚度相等，即R2=1.95 m，互換初襯和二襯彈性模量，當E2=40 GPa，E3=20 GPa 時，記為“原始”狀態(tài)；當E2=20 GPa，E3=40 GPa 時，記為“互換”狀態(tài)，分析其對荷載傳遞的影響。采用本文的方法，可以得到初襯和二襯內、外邊界的徑向應力和切向應力結果如圖10、圖11所示。

圖10 互換襯砌彈模后的徑向應力Fig.10 The radial stress after exchanging the elastic modulus of linings

圖11 互換襯砌彈模后的切向應力Fig.11 The tangential stress after exchanging the elastic modulus of linings

從圖10 可以看出，在本節(jié)給定的參數條件下，互換雙層襯砌彈模后的徑向應力結果：二襯內邊界和初襯外邊界的徑向應力改變的幅度很小，但是二襯、初襯接觸面上的徑向應力整體降低了0.14 MPa左右。而從切向應力角度看（圖11），二襯絕大部分的切向應力值均有所增大，不管是拉應力，還是壓應力均是如此；而初襯的情況正好與二襯相反。也就是說，互換襯砌彈模后，彈模較大，即較硬的襯砌承受的荷載較大，且最大主應力與最小主應力的差值較大，容易發(fā)生屈服破壞。

（3）襯砌厚度的影響。最后改變初襯和二襯的厚度，觀察二襯切向應力的變化（保持隧洞半徑和二襯內邊界半徑不變）。結果如圖12所示，發(fā)現調整初襯和二襯厚度不能明顯改善二襯內邊界的應力分布。

圖12 不同R2對應的二襯內邊界的切向應力Fig.12 The tangential stress at the inner boundary of the secondary lining corresponding to different R2

4 結 論

采用復變函數方法建立了深埋雙層襯砌圓形水工隧洞的力學模型。圍巖、初襯和二襯三者之間處于完全接觸的狀態(tài)，而通過三者之間接觸面的連續(xù)性條件和邊界條件，可以建立相應的線性方程組，并求解相關解析函數的系數。然后推導了圍巖和雙層襯砌中任意點的應力分量，通過與數值解比對，證明了該方法的正確性和有效性。

最后對影響襯砌應力分布的因素進行了參數分析和探討，得出以下結論：①內水壓可以承擔一部分隧洞開挖引起的山巖壓力，使襯砌充分發(fā)揮材料的抗壓特性，但是過大的內水壓將會引起襯砌和圍巖出現較大拉應力區(qū)，從而發(fā)生屈服破壞，因此在水工隧洞運行過程中要避免這類不利應力組合。②當雙層襯砌厚度相同，互換襯砌的彈性模量的結果是較硬的襯砌承受的荷載較大，最大主應力和最小主應力的差值較大，容易出現屈服破壞。③調整襯砌厚度對改善二襯的應力分布沒有明顯的效果。