蒲志新 郭建偉 潘玉奇 白楊溪

遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,阜新,123000

0 引言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)因定位精度高、負(fù)載能力強(qiáng)、可操作性好等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用在工業(yè)領(lǐng)域中[1-2]。目前,3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的一類(lèi),應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,因此對(duì)此類(lèi)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究備受學(xué)者的關(guān)注。由PIERROT等[3]提出的四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是在Delta機(jī)器人基礎(chǔ)上額外添加一條RUPU支鏈,從而增加了一組可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度。然而添加的此條運(yùn)動(dòng)支鏈在高速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較大的磨損,為解決這一問(wèn)題,孔民秀等[4]針對(duì)Delta-4機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)缺點(diǎn)提出一種改進(jìn)的機(jī)構(gòu),將RUPU支鏈中的移動(dòng)副用四邊形連桿機(jī)構(gòu)代替,有效地減小了傳動(dòng)過(guò)程中的摩擦,并分析了機(jī)構(gòu)運(yùn)行的可靠性。文獻(xiàn)[5-8]介紹了一類(lèi)由雙動(dòng)平臺(tái)組成的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu),使末端執(zhí)行器的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍有較大的增大。

3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用前景十分廣泛,故研究其性能指標(biāo)并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)促進(jìn)其性能的提高具有重要意義。在滿(mǎn)足實(shí)際工況下可以通過(guò)遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等優(yōu)化方法,對(duì)各項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化以達(dá)到更優(yōu)的效果[9-10]。李菊等[11]提出了三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu),以可達(dá)工作空間和能量傳遞效率為性能指標(biāo)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。曾達(dá)幸等[12]基于主成分分析法對(duì)Delta機(jī)器人多維全域指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,驗(yàn)證了主成分分析法在并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)優(yōu)化求解中的有效性。周亞杰等[13]提出了一種具有高精度、高強(qiáng)度的3-PUS-PU柔順并聯(lián)機(jī)構(gòu),提出定位精度指標(biāo)和緊湊性指標(biāo),對(duì)機(jī)構(gòu)的幾何尺寸參數(shù)通過(guò)粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),從而獲得最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

除此之外,并聯(lián)機(jī)構(gòu)在結(jié)構(gòu)上也向著結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)、構(gòu)型簡(jiǎn)單的方向發(fā)展。文獻(xiàn)[14-15]提出了一種由兩條對(duì)稱(chēng)支鏈組成的并聯(lián)機(jī)構(gòu),本文根據(jù)此類(lèi)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)一種新型的2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu),以它為研究對(duì)象進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,并以其可達(dá)工作空間、定位精度和可操作度為目標(biāo),通過(guò)粒子群算法對(duì)機(jī)構(gòu)幾何尺寸參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 機(jī)構(gòu)分析

1.1 構(gòu)型分析

2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1,該機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和兩條對(duì)稱(chēng)分布的PaPa支鏈組成,其中,Pa是指平行四邊形機(jī)構(gòu),由4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副組成。以其中一條支鏈為例進(jìn)行分析,支鏈上端平行四邊形機(jī)構(gòu)(Pa)與主動(dòng)移動(dòng)副(P)相連接,沿直線導(dǎo)軌移動(dòng);支鏈下端平行四邊形機(jī)構(gòu)(Pa)與繞豎直方向轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)相連接,兩條支鏈通過(guò)這兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)與動(dòng)平臺(tái)連接在一起;支鏈上端平行四邊形機(jī)構(gòu)(Pa)與下端平行四邊形機(jī)構(gòu)(Pa)通過(guò)共用的一根連桿,剛性地連接在一起。主動(dòng)副共有4個(gè),分別為移動(dòng)副B1、B2和轉(zhuǎn)動(dòng)副C12、C22。

(a)2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

(b)2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)側(cè)視圖

(c)2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)俯視圖圖1 2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structural diagram of the 2PPaPaRparalleling manipulator

建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系。定坐標(biāo)系oxyz建立在定平臺(tái)的兩條平行導(dǎo)軌之間的起始端,原點(diǎn)o定義為兩導(dǎo)軌起始端連線中點(diǎn);x軸方向由導(dǎo)軌的起始端指向終止端;y軸位于導(dǎo)軌開(kāi)始端的連接線上,方向由第一支鏈指向第二支鏈;z軸位于導(dǎo)軌起始端連接線中點(diǎn)豎直向上。同時(shí)在動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)處建立動(dòng)坐標(biāo)系px′y′z′,原點(diǎn)p位于動(dòng)平臺(tái)中心,三個(gè)軸的方向在初始條件下與定坐標(biāo)系的軸線方向相同。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示,其中i表示支鏈的編號(hào),i=1,2。

1.2 自由度計(jì)算

各支鏈上運(yùn)動(dòng)螺旋的形式如圖1a所示。在支鏈1上,$11為移動(dòng)副B1的軸線方向,$12為連接定平臺(tái)的四邊形機(jī)構(gòu),$13為連接動(dòng)平臺(tái)的四邊形機(jī)構(gòu),$14為轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線;在支鏈2上,$21為移動(dòng)副B2的軸線方向,$22為連接定平臺(tái)的四邊形機(jī)構(gòu),$23為連接動(dòng)平臺(tái)的四邊形機(jī)構(gòu),$24為轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線。對(duì)該機(jī)構(gòu)支鏈1進(jìn)行分析,其運(yùn)動(dòng)螺旋系可以表示為

表1 2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

(1)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)螺旋與約束螺旋互易積為0的概念,計(jì)算第一支鏈的約束螺旋,具體表示為

(2)

同理,對(duì)2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈2進(jìn)行分析,其運(yùn)動(dòng)螺旋系可以表示為

(3)

對(duì)式(3)求其反螺旋,可得支鏈2的約束螺旋為

(4)

繼續(xù)對(duì)式(2)、式(4)進(jìn)行反螺旋求解,可得該機(jī)構(gòu)的自由度性質(zhì)及數(shù)量:

(5)

由式(5)可以看出,該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有4個(gè)自由度,并且在該并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)方式為三移動(dòng)一轉(zhuǎn)動(dòng),分別是沿x軸方向、y軸方向和z軸方向的移動(dòng)以及繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 位置分析

位置分析的目的是為了找出輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)之間的關(guān)系,即分析主動(dòng)副的輸入量(q1,q2,α1,α2)與動(dòng)平臺(tái)的位姿(x,y,z,θ)之間的變換關(guān)系。通過(guò)分析2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性,可得定坐標(biāo)系到動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣:

(6)

根據(jù)圖1、表1所建立的并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系以及結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)置,可以得到點(diǎn)C12和點(diǎn)C22在參考坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)為

(7)

根據(jù)幾何關(guān)系,動(dòng)平臺(tái)各個(gè)端點(diǎn)Ri在定坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)為

(8)

同時(shí)動(dòng)平臺(tái)各個(gè)端點(diǎn)通過(guò)動(dòng)坐標(biāo)系到定坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換,又可以得到另一種表達(dá)式,其端點(diǎn)Ri在動(dòng)坐標(biāo)系px′y′z′中的坐標(biāo)為

(9)

將動(dòng)平臺(tái)端點(diǎn)Ri在動(dòng)坐標(biāo)系px′y′z′中的坐標(biāo)通過(guò)轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換得到其在定坐標(biāo)系oxyz中的另一種坐標(biāo)表達(dá)式:

(10)

將式(9)代入到式(10)的轉(zhuǎn)換矩陣中可得

(11)

通過(guò)動(dòng)平臺(tái)端點(diǎn)Ri在定坐標(biāo)系中的兩種表達(dá)式,消去中間變量sinβi和cosβi,可以得到如下約束方程:

(12)

2.2 位置逆解

位置逆解是指當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與動(dòng)平臺(tái)位姿(x,y,z,θ)確定時(shí),對(duì)主動(dòng)副位置(q1,q2,α1,α2)進(jìn)行求解。

(13)

M1=y-dcosθ/2+a/2

M2=y+dcosθ/2-a/2

N=z+n

2.3 位置正解

位置正解是指當(dāng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與主動(dòng)副位置(q1,q2,α1,α2)確定時(shí),對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿(x,y,z,θ)進(jìn)行求解。

對(duì)約束方程式(12)解方程組可得4組關(guān)于位置正解的方程,經(jīng)分析最終可以確定位置正解公式為

(14)

由式(14)可知,2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析較為簡(jiǎn)單。

2.4 正逆解算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證位置分析表達(dá)式的正確性,通過(guò)代入幾組數(shù)據(jù)列出算例,分別進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和逆解的驗(yàn)證。結(jié)構(gòu)參數(shù)賦值如下:a=0.4 m,b=0.7 m,c=1.0 m,d=0.15 m,e=0.06 m,f=0.08 m,h=0.2 m,n=0.34 m。

根據(jù)式(13)、式(14)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解公式,通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行編程,取三組動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)(x,y,z,θ)代入運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解程序中,確定的主動(dòng)副位置(q1,q2,α1,α2)如表2所示。然后將表2中求得的主動(dòng)副位置(q1,q2,α1,α2)代入運(yùn)動(dòng)學(xué)正解程序中,可以求得動(dòng)平臺(tái)位姿(x,y,z,θ)的三組解,如表3所示。

表2 位置逆解數(shù)值表

由表2與表3的數(shù)據(jù)可以看出,位置逆解算例和位置正解算例的結(jié)果相同,這驗(yàn)證了2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置分析和正逆解公式的正確性。

2.5 工作空間

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能優(yōu)劣在很大程度上取決于其工作空間的形狀及大小,因此并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間求解是十分必要的。

工作空間的求解較為復(fù)雜,且求解方法眾多,其中基于位置逆解的求法是最為簡(jiǎn)單、實(shí)用的。本文采用數(shù)值法對(duì)工作空間進(jìn)行研究,其搜索過(guò)程如圖2所示。

圖2 工作空間搜索流程圖Fig.2 Workspace search flowchart

為了更直觀地了解2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu),根據(jù)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)的分析,分別對(duì)其驅(qū)動(dòng)副中移動(dòng)副的移動(dòng)距離和轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍進(jìn)行以下約束:

(15)

2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)相關(guān)的尺寸參數(shù)如表1所示,通過(guò)MATLAB編寫(xiě)工作空間搜索程序,進(jìn)而求解得到機(jī)構(gòu)工作空間,結(jié)果如圖3所示。

圖3 2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間Fig.3 Workspace of a 2PPaPaR parallel agency

由圖3可以看出,2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間近似由x=0處動(dòng)平臺(tái)中點(diǎn)能到達(dá)的區(qū)域沿x軸拉伸得到。該機(jī)構(gòu)具有良好的工作空間對(duì)稱(chēng)性,這也表明該機(jī)構(gòu)在實(shí)際條件下能夠?qū)崿F(xiàn)較好的位置調(diào)整功能。

3 奇異性分析

3.1 速度雅可比矩陣求解

速度雅可比矩陣是一個(gè)變換矩陣。建立各支鏈主動(dòng)關(guān)節(jié)輸入速度與末端執(zhí)行器輸出速度之間的映射關(guān)系,求得2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣的數(shù)學(xué)關(guān)系式為

(16)

從該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)中可以得到如下約束關(guān)系:

(17)

將式(17)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)代入式(16)中,化簡(jiǎn)得

(18)

(19)

可以得到機(jī)構(gòu)雅可比矩陣為

(20)

3.2 正向奇異

對(duì)矩陣Ja和Jb求取行列式得

(21)

當(dāng)|Ja|=0、|Jb|≠0時(shí)發(fā)生正向奇異,稱(chēng)之為邊界奇異。由式(21)可知:

(22)

由式(22)求解可得,驅(qū)動(dòng)桿CiDi與輸出桿EiFi的夾角γi=αi+βi中,至少有一條支鏈上的夾角γi=0或π。此時(shí)可分為三種情況進(jìn)行討論。

情況一:當(dāng)γi=0時(shí),有|Ja|=0,此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的第i條支鏈的驅(qū)動(dòng)桿CiDi與輸出桿EiFi向內(nèi)折疊至平行,如圖4a所示。

情況二:當(dāng)γi=π時(shí),也有|Ja|=0,此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的第i條支鏈的驅(qū)動(dòng)桿CiDi與輸出桿EiFi向外展開(kāi)至平行,如圖4b所示。

(a)γi=0

(b)γi=π圖4 正向奇異Fig.4 Forward singularity

情況三:一條支鏈滿(mǎn)足情況一,另一條支鏈滿(mǎn)足情況二,此時(shí)機(jī)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生干涉現(xiàn)象?？梢酝ㄟ^(guò)限制主動(dòng)副C12和C22的轉(zhuǎn)動(dòng)角度α1和α2來(lái)避免此類(lèi)情況的發(fā)生。

3.3 逆向奇異

當(dāng)|Ja|≠0、|Jb|=0時(shí)發(fā)生逆向奇異,稱(chēng)之為位形奇異。由式(21)可知:

(23)

當(dāng)式(23)成立時(shí),同樣分三種情況進(jìn)行討論。

情況一:結(jié)構(gòu)尺寸d=0,即轉(zhuǎn)動(dòng)副R1和R2間距離為0,此時(shí)并聯(lián)機(jī)構(gòu)失去轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,因此此種情況不做考慮。

情況二:當(dāng)sin(β1+β2)=0時(shí),輸出桿E1F1與輸出桿E2F2之間的夾角δ=π-(β1+β2)=0或π,驅(qū)動(dòng)桿CiDi與輸出桿EiFi不平行,逆向奇異如圖5a所示。通過(guò)在其結(jié)構(gòu)參數(shù)之間添加a+2b≤2c+d的約束關(guān)系,可以有效避免此類(lèi)情況的發(fā)生。

情況三:當(dāng)cosθ=0,即動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ=±π/2時(shí),逆向奇異發(fā)生,如圖5b所示,此類(lèi)情況可以通過(guò)限制主動(dòng)副B1、B2的相對(duì)位移來(lái)避免。

(a)δ=0

(b) θ=±π/2圖5 逆向奇異Fig.5 Reverse singularity

3.4 混合奇異

當(dāng)|Ja|=0、|Jb|=0時(shí),發(fā)生混合奇異,稱(chēng)之為構(gòu)形奇異,此時(shí)該機(jī)器人同時(shí)滿(mǎn)足正向奇異和逆行奇異兩種情況。受到機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)限制,此類(lèi)情況很難實(shí)現(xiàn)。

4 性能指標(biāo)分析

4.1 可達(dá)工作空間

可達(dá)工作空間性能指標(biāo)可以直觀地表達(dá)機(jī)構(gòu)的工作空間大小。通過(guò)對(duì)機(jī)構(gòu)工作空間的求解,可以得到機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)Wi,搜索點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)為Q,則可達(dá)工作空間的性能指標(biāo)WV為

(24)

WV越趨近于1,其可達(dá)工作空間性能指標(biāo)越好,工作空間體積越大。

4.2 定位精度

定位精度是并聯(lián)機(jī)構(gòu)重要的性能指標(biāo)之一,對(duì)機(jī)構(gòu)輸入速度的偏差與輸出速度的偏差進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,可以得到誤差放大因子為

(25)

其中,誤差放大因子CJ可以代表機(jī)構(gòu)的定位精度,CJ越小其定位精度越高;λmax、λmin分別為速度雅可比矩陣奇異值的最大值和最小值。

以x=1000 mm處y∈[-300,300]mm、z∈[-1800,-900]mm的二維平面為例,繪制定位精度指數(shù)分布情況,如圖6所示,可以看出定位精度具有對(duì)稱(chēng)性,與機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征吻合。

為衡量機(jī)構(gòu)在工作空間全域下的定位精度,引入全局條件數(shù):

(26)

4.3 可操作度

可操作度性能指標(biāo)是指動(dòng)平臺(tái)在可達(dá)位置工作空間內(nèi)變化位姿的能力,是并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分析中的重要部分。通過(guò)分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣,選取可操作度評(píng)價(jià)指標(biāo)ωJ作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)可操作度性能指標(biāo):

(27)

可操作度評(píng)價(jià)指標(biāo)ωJ為1時(shí),并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可操作度為最佳;若可操作度評(píng)價(jià)指標(biāo)ωJ趨于0或者無(wú)窮時(shí),機(jī)構(gòu)趨向于奇異位置。再次取中間位置x=1000 mm處的平面,繪制可操作度指數(shù)分布如圖7所示,可以看到,可操作度指數(shù)也呈對(duì)稱(chēng)性分布,且與機(jī)構(gòu)特點(diǎn)相符。

圖7 可操作度指數(shù)分布圖(優(yōu)化前)Fig.7 Actionability exponential distribution plot (before optimization)

機(jī)構(gòu)在工作空間全域下的可操作度為

(28)

5 優(yōu)化設(shè)計(jì)

5.1 數(shù)學(xué)模型建立

5.1.1設(shè)計(jì)變量

通過(guò)2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)各性能指標(biāo)分析可以看出,尺寸參數(shù)中,a、b、c、d(圖1和表1)對(duì)各性能指標(biāo)的影響最為明顯,因此在優(yōu)化設(shè)計(jì)中取尺寸參數(shù)a、b、c、d為設(shè)計(jì)變量。

5.1.2目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu),在滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的前提下,通常希望得到最大的工作空間和最優(yōu)的工作性能。對(duì)于上節(jié)提出的可達(dá)工作空間性能指標(biāo)、全域定位精度指標(biāo)和全域可操作度性能指標(biāo),可利用參考目標(biāo)距離法,將三個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)單目標(biāo)函數(shù),該方法類(lèi)似于將多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行同向化處理,應(yīng)用簡(jiǎn)單且廣泛。采用該方法可將目標(biāo)函數(shù)定義為

(29)

式中,Zi為目標(biāo)函數(shù)參考值。

5.1.3約束條件

根據(jù)2.4節(jié)對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的賦值,給出了2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)各設(shè)計(jì)參數(shù)的尺寸約束范圍,如表4所示。

表4 設(shè)計(jì)參數(shù)的約束范圍

為了避開(kāi)奇異位形和干涉情況,設(shè)計(jì)變量需滿(mǎn)足以下約束條件:

(30)

5.2 優(yōu)化算例

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法是一種仿生算法,其全局收斂性與遺傳算法(genetic algorithm,GA)相近,但它具有更快的收斂速度,因此本文選用PSO算法作為優(yōu)化方法。

利用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí),其優(yōu)化的結(jié)果會(huì)因?yàn)槎x的參數(shù)不同而改變。經(jīng)過(guò)不斷調(diào)試后,最終確定本次優(yōu)化求解的參數(shù)配置如表5所示,通過(guò)MATLAB進(jìn)行編程計(jì)算,目標(biāo)函數(shù)收斂過(guò)程如圖8所示,最終得到的優(yōu)化結(jié)果如表6所示。

表5 粒子群算法參數(shù)設(shè)置

圖8 目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)變化曲線Fig.8 Curve of objective function with number of iterations

表6 粒子群算法優(yōu)化結(jié)果

由圖8可以看出,目標(biāo)函數(shù)逐漸趨于某一固定值,并在之后保持不變,經(jīng)過(guò)428次迭代優(yōu)化結(jié)果達(dá)到最佳。

由表6可以看出,在運(yùn)用粒子群算法對(duì)2PPaPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化求解后,機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副C12與C22之間的距離a和動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副R1、R2之間的距離d都有所增大,從動(dòng)桿的桿長(zhǎng)b有所減小,通過(guò)計(jì)算,機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間性能指標(biāo)提高了53%,全域定位精度指標(biāo)提高了74%,全域可操作度指標(biāo)提高了46%,為機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)設(shè)計(jì)提供了參考。

5.3 結(jié)果對(duì)比

由于機(jī)構(gòu)在實(shí)際加工中,其精度和制造成本會(huì)受到限制,因此將優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)圓整,得到一組新的機(jī)構(gòu)參數(shù)為:a=430 mm,b=800 mm,c=1100 mm,d=400 mm。依據(jù)此參數(shù)重新對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如圖9所示。

圖9 機(jī)構(gòu)優(yōu)化后的工作空間Fig.9 The workspace after the organization is optimized

同樣取中間位置x=1000 mm處的二維平面,繪制優(yōu)化后的定位精度指數(shù)分布如圖10所示。對(duì)比圖6可以發(fā)現(xiàn),定位精度指標(biāo)得到了明顯的提高,在工作空間內(nèi)均小于8.5。

圖10 定位精度指數(shù)分布圖(優(yōu)化后)Fig.10 Positioning accuracy index distribution (after optimization)

圖11所示為尺寸優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的可操作度指數(shù)分布情況,可以發(fā)現(xiàn)整個(gè)平面在x=1000 mm處的可操作度均趨近于1,對(duì)比圖7可以發(fā)現(xiàn)其可操作度性能也得到了明顯提高。

圖11 可操作度指數(shù)分布圖(優(yōu)化后)Fig.11 Actionability exponential distribution plot (after optimization)

6 結(jié)論

(1)提出了一種新型的3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、構(gòu)型對(duì)稱(chēng)、工作空間大、靈巧度好等特點(diǎn)。

(2)建立了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,基于閉環(huán)矢量法求解了其運(yùn)動(dòng)學(xué)的正逆解,然后求解了工作空間,并對(duì)機(jī)構(gòu)的奇異性進(jìn)行分析。

(3)分析了機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間性能指標(biāo)、定位精度指標(biāo)和可操作度性能指標(biāo),并利用粒子群算法以三個(gè)指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù),對(duì)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì),得到了較優(yōu)的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù),同時(shí)機(jī)構(gòu)的性能指標(biāo)有了明顯提高,為樣機(jī)的搭建奠定了基礎(chǔ)。