田 鵬 熊亞莉

(重慶市長(zhǎng)壽中學(xué))

數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的方向標(biāo),在數(shù)學(xué)思想的指引下,解題方向是明確的,需要建立的目標(biāo)關(guān)系是確定的.高中數(shù)學(xué)中有很多數(shù)學(xué)思想,如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想以及分類討論思想等.三角函數(shù)問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想非常豐富,本文通過實(shí)例談?wù)剶?shù)學(xué)思想在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用.

1 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想旨在借助圖形的直觀性解決問題,其既包含將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,又包含將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠達(dá)到“以形助數(shù),以數(shù)解形”的目的.

1.1 繪制函數(shù)的圖像解題

依據(jù)題意可判斷出ω＞0,如若不然,設(shè)ω＜0,則函數(shù)離y軸的最近的一個(gè)極值點(diǎn)在y軸左側(cè),如果在(0,π)恰有三個(gè)極值點(diǎn),則此時(shí)必有三個(gè)零點(diǎn),與題設(shè)矛盾.根據(jù)五點(diǎn)畫圖法,繪制出函數(shù)f(x)的圖像如圖1所示.

圖1

例2 (2014年全國Ⅱ卷理12)設(shè)函數(shù)f(x)＝,若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足＋[f(x0)]2＜m2,則m的取值范圍是( ).

A.(－∞,－6)∪(6,＋∞)

B.(－∞,－4)∪(4,＋∞)

C.(－∞,－2)∪(2,＋∞)

D.(－∞,－1)∪(1,＋∞)

由于存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足＋[f(x0)]2＜m2,故只需求解＋[f(x0)]2的最小值即可,此式還可以看成點(diǎn)(x0,f(x0))到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.

由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù),因此只需對(duì)m＞0 時(shí)函數(shù)f(x)的圖像進(jìn)行分析.如圖2所示,點(diǎn)A和B到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離相等,且是函數(shù)f(x)的所有極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小值.不妨以點(diǎn)B為例,根據(jù)五點(diǎn)畫圖法可得),所以,解得m＜－2或m＞2,故選C.

圖2

1.2 繪制單位圓解題

例3 (2023年新高考Ⅰ卷15)已知函數(shù)f(x)＝cosωx－1(ω＞0)在[0,2π]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是________.

設(shè)t＝ωx,則t∈[0,2ωπ],問題轉(zhuǎn)化為方程cost＝1在[0,2ωπ]上有3個(gè)零點(diǎn).

如圖3 所示,設(shè)角t的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,根據(jù)題意,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)需要3 次經(jīng)過點(diǎn)A,而旋轉(zhuǎn)一次是2π,所以有4π≤2ωπ＜6π,解得2≤ω＜3,所以ω的取值范圍為[2,3).

圖3

求函數(shù)的零點(diǎn)就是求對(duì)應(yīng)的方程的根,本解法巧妙地構(gòu)造單位圓,將有3個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)需要3 次經(jīng)過點(diǎn)A,從而構(gòu)建角t＝2ωπ所滿足的不等關(guān)系.當(dāng)然,本題也可以直接畫出函數(shù)f(x)的圖像或換元后再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決.若熟悉余弦函數(shù)的性質(zhì),則可以這樣解:由cosωx＝1,可得ωx＝2kπ(k∈Z),即在[0,2π]上有3個(gè)解,可得,解得2≤ω＜3.

例4 (2018 年全國Ⅰ卷理16)已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋sin2x,則f(x)的最小值是_______.

因?yàn)閒(x)＝2sinx＋2sinxcosx,f(x)為奇函數(shù)且周期為π,所以不妨設(shè)A(cosx,sinx),其中,則點(diǎn)A在單位圓上運(yùn)動(dòng),如圖4所示.

圖4

本題的解法較為新穎,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可將函數(shù)f(x)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式,進(jìn)而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為一條曲線和單位圓的位置關(guān)系問題,顯然當(dāng)曲線與單位圓相切時(shí)取得最值.本題的解法很多,如導(dǎo)數(shù)法和不等式法,在此不再一一羅列,感興趣的讀者可自行求解.利用單位圓可以求解與三角函數(shù)有關(guān)的問題,如求函數(shù)f(x)＝3sinx＋4cosx的最值問題,只需要研究直線t＝4x＋3y與單位圓的位置關(guān)系問題,事實(shí)上有,解得－5≤t≤5,所以函數(shù)f(x)的最大值為5,最小值為－5.當(dāng)然,運(yùn)用單位圓還能解決運(yùn)用導(dǎo)數(shù)不易求得的最值問題,如求函數(shù)f(x)＝sinx＋2cosx＋sin2x的最值.

2 齊次思想

如果一個(gè)代數(shù)式中的每一項(xiàng)字母的次數(shù)相等,則稱此代數(shù)式為齊次式,如果一個(gè)分式的分子和分母中每一項(xiàng)的次數(shù)都相等,則稱此分式為齊次分式.齊次思想指的是利用相應(yīng)的關(guān)系將一個(gè)齊次的整式變成一個(gè)齊次分式,進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)問題求解.齊次思想也是將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題的重要思想方法,在高中數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用,如處理導(dǎo)數(shù)問題中的比值換元法、解析幾何中的坐標(biāo)平移法等.

由二倍角公式可知sin2θ＝2sinθcosθ,再由同角三角函數(shù)關(guān)系可知sin2θ＋cos2θ＝1,則

而

故選C.

由三角函數(shù)間的關(guān)系及tanθ＝－2可直接求解出sinθ和cosθ的值,進(jìn)而再代入目標(biāo)式子中求得答案,此種解法體現(xiàn)了從條件向問題的解題路徑,另外該種解法中需要注意角的象限問題,也即由tanθ＝－2的值確定sinθ和cosθ的值并不唯一,但不影響最終的答案.實(shí)際上,若tanθ的值已知,形如f(sin2θ),f(sinθcosθ),f(cos2θ)的整式都可以通過除以cos2θ＋sin2θ變成一個(gè)齊次分式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanθ的代數(shù)式,進(jìn)而求得答案.

3 轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想指的是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題,將不熟悉問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題,將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題.三角函數(shù)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想重點(diǎn)考查利用三角函數(shù)間的各種變換關(guān)系,轉(zhuǎn)化代數(shù)式中的角度、名稱以及代數(shù)形式相關(guān)的問題.

3.1 轉(zhuǎn)化角度

例7 (2020年全國Ⅰ卷理9)已知α∈(0,π),且3cos2α－8cosα＝5,則sinα＝( ).

故選A.

本題首先轉(zhuǎn)化條件中的角度,利用二倍角公式實(shí)現(xiàn)從二倍角向單倍角的轉(zhuǎn)化,同時(shí)在利用余弦的二倍角公式轉(zhuǎn)化時(shí)要兼顧三角函數(shù)的類型.在轉(zhuǎn)化角度之后,得到一個(gè)關(guān)于cosα的方程,求出其值,再利用同角關(guān)系求得sinα的值.一般地,在三角函數(shù)中轉(zhuǎn)化角度主要運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、和差公式及倍角公式.值得注意的是在具體轉(zhuǎn)化時(shí)要仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,選擇合適的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3.2 轉(zhuǎn)化名稱

根據(jù)題設(shè),首先需要將正切轉(zhuǎn)化為正弦和余弦,然后運(yùn)用和差公式、誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性推得角度之間的數(shù)量關(guān)系.在解題時(shí),尤其要關(guān)注角的象限對(duì)角的取舍問題.一般地,對(duì)于“知值求角”的問題,需要靈活地選擇三角函數(shù),再結(jié)合角所在的象限作出判斷.

求解本題時(shí),首先關(guān)注三角函數(shù)名稱的差異,實(shí)施切化弦的思想,然后關(guān)注角度的關(guān)系,用二倍角公式統(tǒng)一角度.值得注意的是在選用余弦的二倍角公式時(shí),要考慮到方程中還存在著其他的三角函數(shù)名稱.當(dāng)然對(duì)tan2α的處理也可采用正切的二倍角公式代入,然后再實(shí)施切化弦的思想.

3.3 轉(zhuǎn)化形式

例11 (2016年全國Ⅱ卷文11)函數(shù)f(x)＝的最大值為( ).

A.4 B.5 C.6 D.7

由誘導(dǎo)公式和倍角公式得f(x)＝1－2sin2x＋6sinx,設(shè)t＝sinx,則t∈[－1,1],問題轉(zhuǎn)化求函數(shù)y＝－2t2＋6t＋1在t∈[－1,1]上的最大值.

由于二次函數(shù)y＝－2t2＋6t＋1的對(duì)稱軸為t＝且開口方向向下,則當(dāng)t＝1時(shí),函數(shù)y＝－2t2＋6t＋1取得最大值5,故選B.

要求函數(shù)f(x)的最大值,需要將函數(shù)f(x)的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù).本題中運(yùn)用誘導(dǎo)公式及倍角公式改變函數(shù)的形式,化為我們熟悉的二次函數(shù)問題,利用二次函數(shù)的圖像求解問題.一般地,形如

等皆可以通過改變函數(shù)形式化為二次函數(shù)求解.

例12 (2021 年浙江卷理18)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx(x∈R).

在本題中,無論是求函數(shù)的周期還是求函數(shù)的值域,改變函數(shù)的形式會(huì)使得問題更加簡(jiǎn)單.一般地,形如y＝asinx＋bcosx(ab≠0)都可以運(yùn)用相應(yīng)的三角函數(shù)公式變換成容易處理的代數(shù)形式.

4 小結(jié)

本文著重介紹了數(shù)形結(jié)合思想、齊次思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)問題中的應(yīng)用.當(dāng)然,在解決三角函數(shù)問題時(shí),往往同一個(gè)問題需要綜合應(yīng)用多種思想才能順利解決,此外有很多三角函數(shù)問題能用多種方法或思想解決,具體情形留給讀者探索.

鏈接練習(xí)

鏈接練習(xí)參考答案

1.B.2.C.3.D.4.1.5.A.

(本文系2022年重慶市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃一般課題“大觀念理念下主題學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”(課題編號(hào):K22YJ113524)的研究成果.)

(完)