王化生

(山東省濟南市章丘區(qū)第五中學)

處理與三角形有關(guān)的實際應(yīng)用問題,往往需要靈活運用解三角形、三角函數(shù)、導數(shù)、基本不等式等知識進行綜合分析.此類問題考查了學生對相關(guān)數(shù)學知識、方法的綜合運用能力,同時也充分體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用價值,有利于培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學運算以及數(shù)學建模核心素養(yǎng).

1 借助三角函數(shù)或基本不等式巧解應(yīng)用題

例1 如圖1 所示,某市擬建立一文化休閑公園,該公園為五邊形區(qū)域ABCDE,其中三角形區(qū)域ABE為紅色文化游覽區(qū),四邊形區(qū)域BCDE為健身休閑區(qū),AB,BC,CD,DE,EA,BE為文化休閑公園的主要道路(寬度忽略不計),∠BCD＝∠CDE＝120°,∠BAE＝60°,DE＝3BC＝3CD＝3km.

圖1

(1)求BE的長度;

(2)求AB＋AE的最大值.

(1)連接BD,在△BCD中,由余弦定理得

因為BC＝CD,∠BCD＝120°,所以

又∠CDE＝120°,所以∠BDE＝90°,故

(2)方法1 設(shè)∠ABE＝α,因為∠BAE＝60°,所以∠AEB＝120°－α.在△ABE中,由正弦定理得

所以AB＝4sin(120°－α),AE＝4sinα,從而可得

易知0°＜α＜120°,所以30°＜α＋30°＜150°,則當α＋30°＝90°,即α＝60°時,等號成立,故AB＋AE的最大值為.

方法2 在△ABE中,由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB?AEcos∠BAE,又BE＝2 3,∠BAE＝60°,所以

本題第(1)問較簡單,第(2)問具有一定的難度,方法1運用了正弦定理與三角函數(shù)知識進行求解,解題過程較為煩瑣;方法2綜合運用余弦定理與基本不等式的變形結(jié)論加以求解,過程較為簡潔.

2 借助導數(shù)巧解應(yīng)用題

例2 如圖2所示,某城市有一塊邊長為2km的菱形狀綠化區(qū)ABCD,其中BMN是半徑為1km的扇形,.管理部門欲在該地從M?P?Q?D修建小路:在上選一點P(異于M,N兩點),過點P修建與BC平行的小路PQ.問:點P選擇在何處時,才能使得修建的小路?,PQ與QD的總長最小?并說明理由.

圖2

連接BP,過P作PP1⊥BC于點P1,過Q作QQ1⊥BC于點Q1.

本題具有較強的綜合性,解題的關(guān)鍵步驟如下:一是在“設(shè)元”(即引入輔助角)的基礎(chǔ)上,結(jié)合圖形得到修建的小路總長的函數(shù)表達式;二是靈活運用導數(shù)與三角函數(shù)知識求解函數(shù)的最小值點.從整體上看,本題設(shè)計較好,充分體現(xiàn)了函數(shù)、導數(shù)以及三角函數(shù)等知識在解決實際問題中的綜合運用.

3 借助基本不等式和導數(shù)巧解應(yīng)用題

例3 如圖3 所示,太湖一個角形湖灣AOB,∠AOB＝2θ(常數(shù)θ為銳角).擬用長度為l(l為常數(shù))的圍網(wǎng)圍成一個養(yǎng)殖區(qū),有以下兩種方案可供選擇:

圖3

圖4

方案二:如圖5 所示,圍成三角形養(yǎng)殖區(qū),其中CD的長度為l.

圖5

(1)求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積S1;

(2)求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積S2;

(3)為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大,應(yīng)選擇何種方案?并說明理由.

解題難點:一是綜合運用解三角形與基本不等式知識巧求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積;二是在“作差”的基礎(chǔ)上,靈活構(gòu)造函數(shù),借助導數(shù)知識巧妙地比較S1與S2的大小.由于第(3)問可以看作是北師大版教材?數(shù)學必修4?第40頁習題B 組習題結(jié)論“若x為銳角,則sinx＜x＜tanx”在解題中的靈活運用,所以該題源于教材,故應(yīng)引起我們的重視.

(完)