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        關(guān)注三角形問題中一個不等關(guān)系的運用

        2023-10-19 09:49:12桑振宇
        高中數(shù)理化 2023年17期
        關(guān)鍵詞:三邊最值題意

        桑振宇

        (安徽省阜陽市太和縣第八中學)

        三角形中的三邊不等關(guān)系就是“三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”,由于此知識點是初中數(shù)學的內(nèi)容,所以學生在解三角形的問題中容易忽略,導致解題思路受阻.為避免此類情況的發(fā)生,本文通過典型例題的分析與點評,展示三角形三邊的不等關(guān)系在解題中的應用,供讀者參考.

        1 直接運用

        在一些涉及三角形邊的取值范圍、邊的變化情況的最值問題中,需要關(guān)注“三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”的運用.

        例1 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足.若a=4,試求b+c的取值范圍.

        在△ABC中,由正弦定理可得

        在解題過程中,運用余弦定理及基本不等式得到了b+c≤8后,如果沒有考慮到三角形中三邊的不等關(guān)系,就會得到錯誤的答案.

        又由三角形中三邊的不等關(guān)系有

        在解題中利用了“三角形中兩邊之和大于第三邊”這一知識點確定出邊長的取值范圍,這是確定函數(shù)最值問題的一個重要依據(jù),是解題的關(guān)鍵.

        2 變形后使用

        在一些關(guān)于三角形邊的不等式問題及其運用中,我們要善于利用三角形中的三邊不等關(guān)系構(gòu)建滿足題意的不等式.

        已知平面上的任意三點,可以知道這三點要么在一條直線上,要么構(gòu)成一個三角形,于是就得到一個不等關(guān)系,然后將函數(shù)式進行適當變形,使之能夠利用基本不等式求最值.

        例4 設a,b,c為任意三角形的三邊長,且滿足ab+bc+ca=S2(S>0),試確定三角形的周長a+b+c的取值范圍.

        設a+b+c=I,則

        由于a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,故三式相加得

        所以I2≥3S2.由于a,b,c為三角形的三邊長,故a<b+c,b<c+a,c<b+a,于是

        所以

        從而I2<4S2.

        綜上,3S2≤I2<4S2,故三角形的周長a+b+c的取值范圍是

        通過分析題意,我們可以將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,揭露問題的實質(zhì),然后根據(jù)目標解決問題,其中三角形三邊的不等關(guān)系是成功解題的關(guān)鍵.

        3 構(gòu)建新結(jié)論再使用

        在有關(guān)三角形問題的求解過程中,要適時地結(jié)合其他條件運用三角形中的三邊不等關(guān)系進行推理,得到對解題有用的重要結(jié)論,進而求解問題.

        例5 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若不等式kb2+ac>19bc對任意三角形都成立,求實數(shù)k的最小值.

        在△ABC中,由于不等式kb2+ac>19bc對任意三角形都成立,則

        而c<a+b,則,所以

        在本解法中,通過利用三角形中三邊的不等關(guān)系構(gòu)造了一個新的不等關(guān)系,成功地達到了消元的目的,為最后順利求最值創(chuàng)造了有利條件.

        由于對于任意實數(shù)x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)為三邊長的三角形,則必有f(x1)+f(x2)>f(x3),于是可將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.易知

        根據(jù)基本不等式可知2x+2-x≥2(當且僅當x=0時,等號成立),故當k>1 時

        所以

        本解法抓住三角形三邊所滿足的不等關(guān)系將原問題成功地轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

        本文充分反映了三角形中三邊的不等關(guān)系在解題中的重要性,因此在解與三角形有關(guān)的問題時我們應關(guān)注這一隱性結(jié)論.

        (完)

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