郭 清 王 菲

(山東省淄博市桓臺(tái)縣漁洋中學(xué))

與向量有關(guān)的最值、取值范圍問(wèn)題是向量中的重點(diǎn)題型,高考?？?求解策略常有以下幾種.

1 利用一次函數(shù)的性質(zhì)

例1 如圖1 所示,在矩形ABCD中,AB＝2BC＝2,AC與BD的交點(diǎn)為M,N為邊AB上任意點(diǎn)(包含端點(diǎn)),則的最大值為_(kāi)________.

圖1

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸 正 方 向 建 立 如 圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(2,0),D(0,1),M(1,).

圖2

對(duì)于一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0),當(dāng)a＞0時(shí),f(x)在R 上單調(diào)遞增;當(dāng)a＜0 時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞減.

2 利用二次函數(shù)的性質(zhì)

作DO⊥AB于點(diǎn)O,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OB,OD所在直線 分 別 為x軸、y軸 建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?/p>

圖3

圖4

3 利用a,b∈R?,則a＋b≥2 ab

例3 若平面向量a,b滿足|a|＝3|b|,且|ab|＝4,則a與a－b夾角的正弦值最大值為( ).

設(shè)|b|＝m,則|a|＝3m,因此

對(duì)于正數(shù)x,y,若xy為定值p,則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí),x＋y有最小值是2.若x＋y為定值s,則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí),xy有最大值是.

4 利用三角函數(shù)的性質(zhì)

例4 已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD位于第一象限,且頂點(diǎn)A,D分別在x軸和y軸的正半軸上(含原點(diǎn)O)滑動(dòng),則的最大值是( ).

當(dāng)A與O重合時(shí),B(1,0),C(1,1),此時(shí),有

當(dāng)A與O不重合時(shí),如圖5所示,設(shè)∠OAD＝θ(0≤θ＜),則

圖5

圖6

5 利用共線向量

當(dāng)向量a,b的方向相同時(shí),其夾角為0°;當(dāng)向量a,b的方向相反時(shí),其夾角為180°.

(完)