商文廣

(遼寧省朝陽(yáng)市建平縣第二高級(jí)中學(xué))

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的例題或習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)一些二級(jí)結(jié)論,雖然這些結(jié)論不是教材指定的定理或性質(zhì),但對(duì)我們啟迪思維大有幫助,尤其是在解答選擇題或填空題時(shí)能幫助我們大大提高解題效率.本文列舉解三角形中的一個(gè)二級(jí)結(jié)論加以說(shuō)明.

結(jié)論 在斜△ABC中,求證:

該結(jié)論告訴我們,在斜三角形中,三個(gè)內(nèi)角的正切值之和與正切值之積是相等的,這個(gè)結(jié)論對(duì)我們解相關(guān)的題目有很大的幫助.

1 判斷三角形的形狀

在三角形中最多有1 個(gè)鈍角,于是根據(jù)tanA?tanBtanC的正負(fù),可以判斷該三角形是銳角三角形還是鈍角三角形.

例1 (多選題)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是( ).

A.若sinA＞sinB,則A＞B

B.若△ABC為銳角三角形,則sinA＞cosB

C.若acosB－bcosA＝c,則△ABC一定為直角三角形

D.若tanA＋tanB＋tanC＞0,則△ABC可以是鈍角三角形

對(duì)于A,因?yàn)閟inA＞sinB,所以由正弦定理可知a＞b,又在三角形中大角對(duì)大邊,所以A＞B,故A 正確.

對(duì)于B,因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A＋

對(duì)于D,由二級(jí)結(jié)論可知tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0,又因?yàn)樽疃嘀挥?個(gè)角為鈍角,所以tanA＞0,tanB＞0,tanC＞0,即3個(gè)角都為銳角,從而△ABC為銳角三角形,故D 錯(cuò)誤.

綜上,選ABC.

由二級(jí)結(jié)論tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanBtanC,可知當(dāng)tanA＋tanB＋tanC的值為正時(shí),△ABC為銳角三角形;當(dāng)tanA＋tanB＋tanC的值為負(fù)時(shí),△ABC為鈍角三角形.

2 對(duì)照二級(jí)結(jié)論求角

當(dāng)題目中出現(xiàn)與二級(jí)結(jié)論相似的等式時(shí),只需與這個(gè)二級(jí)結(jié)論對(duì)照,就可求出相應(yīng)的角.

例2 (1)在△ABC中,tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC,則

(2)在△ABC中,三 個(gè) 內(nèi) 角A,B,C滿 足A＞B＞C,且tanA,tanB,tanC的數(shù)值都是整數(shù),則tanA＝_________.

(2)當(dāng)A＜90°時(shí),由A＞B＞C,可 得tanA＞tanB＞tanC＞0,所以

即tanBtanC＜3.因?yàn)閠anB,tanC的值都是整數(shù),所以tanB＝2,tanC＝1,則tanA＝3.當(dāng)A＞90°時(shí),由

可得1－tanBtanC＞0,即tanBtanC＜1.因?yàn)閠anB,tanC的值都是整數(shù),此時(shí)無(wú)解,則tanA＝3.

在斜△ABC中,tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC是個(gè)恒等式,在求三角形內(nèi)角的正切值時(shí),通常可以把它當(dāng)成一個(gè)“隱形”的方程,求解相關(guān)問(wèn)題時(shí),可采依據(jù)已知條件,利用方程思想求出有關(guān)的角.

3 求最值

因?yàn)槎?jí)結(jié)論tanA＋tanB＋tanC＝tanA?tanBtanC中出現(xiàn)tanAtanBtanC,tanA＋tanB＋tanC,所以這個(gè)結(jié)論可以起到消元或整體代換的作用.

例3 在銳角△ABC中,若sinA＝2sinBsinC.

(2)求tanAtanBtanC的最小值.

(1)在△ABC中,有sinA＝sin[π－(B＋

C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosB?sinC,于是由sinA＝2sinBsinC,可得

又△ABC是銳角三角形,所以cosC＞0,cosB＞0.在①兩邊同時(shí)除以cosCcosB,可得

所以tanAtanBtanC≥8,當(dāng)且僅當(dāng)tanA＝2tanB?tanC時(shí),等號(hào)成立,故tanAtanBtanC的最小值為8.

本例屬于解答題,所以二級(jí)結(jié)論不可以直接應(yīng)用,需加以證明,否則考試時(shí)會(huì)扣分.

例4 在銳角△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c＝3bsinA,則tanA＋tanB＋tanC的最小值是_________.本題考查正弦定理、兩角和差正切公式、基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶永脙山呛筒钫泄竭M(jìn)行化簡(jiǎn),進(jìn)而采用換元法將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

綜上所述,二級(jí)結(jié)論在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛.因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,我們應(yīng)該意識(shí)到知識(shí)在于積累,只有具備充裕的知識(shí)儲(chǔ)備,才能讓知識(shí)融會(huì)貫通,才能讓二級(jí)結(jié)論發(fā)揮作用.

(完)