高利輝 高 軍

(廣東省深圳市高級中學理慧高中)

重視教材、深挖教材、運用教材是發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié),本文通過對一道課本習題進行解法探究、推廣應用,經歷觀察、猜想、證明等數學活動,獲取基本活動經驗,培養(yǎng)學生思維品質與思維能力,提高分析問題、解決問題的能力.

1 試題呈現

題目 (人教A 版數學必修二第53 頁習題6.4綜合運用第15 題)△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別記為ma,mb,mc,利用余弦定理證明

分析 教之道,設計為先;學之道,思路優(yōu)選;題之道,本源在前.以求解BC邊的中線AD的長度ma為例,需在△ABC中探尋等式,構造方程,本文首先從三個視角對解法進行探究.

2 解法探究

視角1 利用余弦定理求證

解法1 如圖1 所示,過點A作AE⊥BC,垂足為E,所以

圖1

在Rt△AED中,由勾股定理得

解法2 在△ABD中,由余弦定理得

視角2 利用坐標法求證

解法3 如圖2 所示,以點B為坐標原點,BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,設A(ccosB,csinB),則

圖2

視角3 利用常用的二級結論求證

3 問題推廣

問題是非本質的,通過對原題的進一步推廣探究,經歷觀察、猜想、證明等數學活動,可以發(fā)展學生的數學學科核心素養(yǎng),獲取基本活動經驗,提高分析問題、解決問題的能力.

推廣1 △ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC的n等分點為D(D靠近點C)(n≥2,n∈N?).證明:

推廣2 △ABC的三邊分別為a,b,c,點D為邊BC上 的 任 意 一 點,BD＝x,DC＝y,求 線 段AD的長.

變式1 已知△ABC的三邊分別為a,b,c,點D為邊BC上的一點,若AD為角A的平分線,求線段AD的長.

變式2 已知△ABC的三邊分別為a,b,c,點D為邊BC上的一點,若AD為邊BC上的高線,求線段AD的長.

解 設BD＝x,DC＝y,利用推廣2的結論,在Rt△ADB和Rt△ADC中,易得

4 考題鏈接

題目 已知a,b,c為△ABC的內角A,B,C所對的邊,m＝(sinC＋sinB,sinB－sinA),n＝(cb,a),且m⊥n.

(1)求C;

(2)若a＝2,△ABC的面積為2,且,求線段CD的長.

題目 (2015年全國Ⅱ卷理17)在△ABC中,D是BC上 的 點,AD平 分∠BAC,△ABD面 積 是△ADC面積的2倍.

(2)若AD＝1,求BD和AC的長.

(完)