葉宜豪,江明輝,章雅丹

(三峽大學理學院 湖北 宜昌 443000)

0 引言

1987年Kosko首次提出雙向聯(lián)想記憶神經網絡,簡稱BAM神經網絡[1]。它是由兩層相互關聯(lián)的神經網絡構成的,比單層神經元組成的神經網絡更復雜。隨之,BAM神經網絡的全局漸進同步[2]、全局漸進穩(wěn)定[3-4]、全局指數穩(wěn)定[5]、魯棒穩(wěn)定性[6]被廣泛研究。在神經網絡中,慣性項的引入會使得系統(tǒng)產生復雜的動力學現象,模糊邏輯的加入又可以表達和處理不確定信息。因此,模糊慣性神經網絡更貼合實際應用,也吸引了大量學者的注意[7-12]。在慣性項的處理上,大多數文獻采用降階法即使用變量替換法將慣性項轉化為一階項再進行研究,而文獻[13]提出一種新的非降階法,通過構造Lyapunov函數和反饋控制器直接對神經網絡系統(tǒng)進行分析。

眾所周知,對系統(tǒng)同步控制的研究具有非常重要的意義,它已被廣泛應用于安全通信、生物學和信息處理[14-16]等領域。根據收斂時間不同,可以分為無限時間和有限時間類型。例如,漸近同步和指數同步是無限時間類型,而有限時間同步和固定時間同步則是有限時間類型。在實際應用中,需要考慮成本和機器的使用壽命, 所以有限時間類型更具應用價值, 也取得了一些好的成果[17-23]。由于有限時間同步的沉降時間與初值有關,但在實際中很難計算出系統(tǒng)的初值,因此對沉降時間與系統(tǒng)初值無關的固定時間同步的研究變得尤為重要。

通過查閱文獻,不難發(fā)現目前對于模糊慣性BAM神經網絡同步性質的研究相對較少。因此,本文擬采用非降階法對具有時變無界時滯的模糊慣性BAM神經網絡的固定時間同步進行研究。一方面,證明系統(tǒng)平衡點存在的唯一性。另一方面,更正了文獻[8]中定理1收斂時間的錯誤,并給出詳細的證明。最后,使用改正后的固定時間穩(wěn)定性定理得到系統(tǒng)固定時間同步判據。

1 預備知識

本文中,記i∈={1,2,…,n},j∈I*={1,2,…,m},為實數集,n為n維實空間,對于連續(xù)有界函數f(t),定義

考慮以下具有時變無界時滯的模糊慣性BAM神經網絡

(1)

其中

初始條件為

以系統(tǒng)(1)為驅動系統(tǒng),則響應系統(tǒng)為

(2)

初始條件為

(3)

假設1對任意的m,n∈, 存在常數Lj>0和Li*>0, 使得

定義1[13]如果存在不依賴于初始條件的t0>0,滿足

則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)在時間t0時達到固定時間同步。

引理1[24]若θij,oij,xj,yj∈,則

引理2[13]若ai≥0,01,則

引理3[8]如果存在一個連續(xù)、正定和徑向無界函數V(x):n→,使得對系統(tǒng)的任意解x(t)都有

注1這里需要指出上述引理中的穩(wěn)定時間應該為

證明首先根據文獻[8]中第一部分證明,知系統(tǒng)(1)全局有限時間穩(wěn)定。下面我們只需證明穩(wěn)定時間有上界。

即有

T(x(0))=Ψ(V(x(0)))

(4)

當V(x(0))>1,有

(5)

結合(4)和(5),得

根據定義1,我們得到系統(tǒng)(1)是固定時間穩(wěn)定,且

2 平衡點的存在唯一性

定理1若假設1成立,且

(6)

則系統(tǒng)(1)具有唯一的平衡點。

(7)

即

(8)

為證明平衡點的存在唯一性,只需證明方程組(8)只有唯一解?？紤]以下映射

(9)

由假設1和引理1,得

(10)

根據(10)和條件(6),有

顯然映射Φ是一個壓縮映射,因此方程組(8)有唯一解,即z*是系統(tǒng)(1)的唯一平衡點。

3 固定時間同步

設計如下控制器

(11)

證明構造以下Lyapunov函數

V(t)=V1(t)+V2(t)

首先,沿誤差系統(tǒng)(3)計算V1(t)的導數,并由引理1得

(12)

同理,有

(13)

由(12)和(13),得

最后,根據引理3,驅動響應系統(tǒng)(1)和(2)將實現固定時間同步,且

4 數值示例

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖2 誤差和誤差導數

5 結論

本文證明了一類具有時變無界時滯的模糊慣性BAM神經網絡平衡點存在唯一性,指出并更正文獻[8]中定理1的錯誤,然后利用非降階法以及更正后的固定時間穩(wěn)定性定理得到其固定時間同步的充分條件。最后,通過數值模擬驗證了結論的正確性。