李 佳

(北京一零一中學 100091)

1 問題的提出

數(shù)學生態(tài)智慧課堂將數(shù)學課堂視為有生命力的生態(tài)系統(tǒng),師生在這一和諧的生態(tài)系統(tǒng)中獲得生命的成長和智慧的生成.數(shù)學生態(tài)智慧課堂吸收了和諧課堂、興趣促學課堂、啟迪智慧課堂等課堂教學的優(yōu)點,體現(xiàn)了數(shù)學教學的發(fā)展需求,凸顯了教育的本質屬性,關注教學主體的生命成長、教學活動中的智慧生成、課堂環(huán)境的生態(tài)和諧、課堂教學的長期效益;數(shù)學生態(tài)智慧課堂的價值目標是數(shù)學學科核心素養(yǎng)培育[1]．

高中立體幾何的學習能夠提升學生的直觀想象素養(yǎng)．事實上,通過高中數(shù)學課程的學習,學生能提升數(shù)形結合的能力,發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數(shù)學直觀,在具體的情境中感悟事物的本質[2]．利用何種素材來培育學生的直觀想象素養(yǎng),一直都是一個值得探索的問題．四個面都是直角三角形的四面體中,存在著多組線線垂直、線面垂直、面面垂直關系,能夠很好地幫助學生理解空間中的垂直關系,進而培育學生的直觀想象素養(yǎng)．另外,考慮到繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的要求,也為了讓學生充分了解我國古代數(shù)學家在立體幾何方面取得的成就,培養(yǎng)民族自信心和自豪感,筆者以我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“鱉臑”為素材,基于數(shù)學生態(tài)智慧課堂的理念設計了一節(jié)探索和鞏固空間中垂直關系的課,并進行了實踐和反思．

2 主要教學過程

課堂伊始,為了啟發(fā)學生動腦思考、調動學生積極性,筆者向學生們提出了一個具有一定開放性的問題．

問題1一個四面體的四個面中,可能有幾個直角三角形?請分別畫出示意圖．

這個問題的部分答案是容易得到的,絕大多數(shù)學生都能順利地說出來,可能有一個、兩個、三個直角三角形,并且作出對應的示意圖．然而有意思的是,很多學生都不能順利地指出來可能有四個直角三角形．甚至有學生斷言不可能有四個直角三角形,給出的理由是:如圖1所示,如果∠PAB,∠PAC,∠BAC都是直角,那么感覺△PBC不太可能是一個直角三角形．無疑,學生其實提出了一個非常好的問題:能否嚴格證明圖1中的△PBC一定不是直角三角形?不過,為了不沖淡本節(jié)課的研究主題,筆者將證明留作課外思考題,并提醒學生可以利用解三角形的有關知識去說理．

圖1

隨后,筆者分享我國《九章算術》“商功”中的記載:斜解立方,得兩塹堵．斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑,陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也．并且利用圖2進行了簡單的解釋和說明,并且提出了如下問題．

圖2

問題2圖2中鱉臑的四個面是否均為直角三角形?說明理由．

由于上述鱉臑是通過分割正方體得到的,學生對正方體中的垂直關系比較熟悉,因此很多學生都能正確地得出結論:鱉臑中的四個面都是直角三角形,而且利用直線與平面垂直的概念和性質,能夠給出證明．這當然也就達到了幫助學生復習有關知識的目的．

隨后,筆者提出了如下問題和任務．

問題3你能用斜二測畫法畫出圖2中的鱉臑嗎?要求將鱉臑中的一個面水平放置．

設計這樣的環(huán)節(jié)無疑是為了培養(yǎng)學生的作圖能力．有學者認為,作圖是立體幾何學習的“第一大事”,畫好了圖形的導學案,不利于培養(yǎng)學生的空間想象能力[3]．實際上,筆者在教學過程中發(fā)現(xiàn),把立體幾何圖形換個角度呈現(xiàn),這一任務看似簡單,但對學生來說還是有一定難度的．有些學生在完成這個任務時明顯遇到了困難,這也說明學生還沒有充分理解構成鱉臑的關鍵．為了幫助學生突破這一難點,筆者提出了如下問題．

問題4已知如圖3中的兩個四面體都是鱉臑,其中哪些角是直角?試總結一個四面體是鱉臑的充要條件．

圖3

因為所給的圖形是常見的形式,而且學生對斜二測畫法中哪些角表示的是直角也是熟悉的,所以在指出哪些角是直角方面學生基本沒有困難．然而,在嘗試總結四面體是鱉臑的充要條件時,出現(xiàn)了很多有意思的答案．例如,有三條棱兩兩互相垂直,有三個面兩兩互相垂直,每一個面都與另外一個面相互垂直,有三條不共點的棱兩兩相互垂直,有兩條異面的棱分別垂直于一個平面等．當然,這些答案中有些是不正確的．不過,由于有了前面圖1等的鋪墊,為錯誤的答案找到反例也并不是一件非常困難的事情．學生在這個環(huán)節(jié)的教學過程中都能積極主動地思考和總結．在此基礎上,筆者又向學生提出了如下問題．

問題5為了確定鱉臑的表面積或者體積,最少需要確定鱉臑的幾條棱長?說明理由．

這個問題拋出來之后,絕大多數(shù)學生有些無所適從．經(jīng)過與部分學生交流,發(fā)現(xiàn)學生的典型反應是,鱉臑中共有6條棱,但是由于直角三角形的限制,棱與棱之間的關系顯得比較復雜,因此不知道該從何入手．此時,筆者抓住了學生所提到的直角三角形的限制,提示學生能否從這個角度出發(fā)去思考可以減少哪些棱長信息．有學生根據(jù)這個提示很快指出,根據(jù)勾股定理,每個直角三角形對應的斜邊長信息可以減少,因此最少的棱長數(shù)不會超過3．那么,最少的棱長數(shù)是否可能是2呢?針對這個問題,筆者提示學生可從鱉臑的構造方式去思考,學生借助長方體得到了正確的答案．接下來,筆者給出了一個挑戰(zhàn)性更大的問題．

問題6能否從鱉臑分割出新的鱉臑?

這個問題的設計,一方面是為了引導學生鞏固利用割補的思想繼續(xù)研究空間中的垂直關系,另一方面也是測試學生是否能利用問題4所探究到的結果去構造鱉臑,以此提升學生利用已有信息解決復雜問題的能力,讓學生感受到發(fā)現(xiàn)的樂趣,感受到發(fā)現(xiàn)的驚喜．鑒于這個問題的綜合性,筆者要求學生采用合作的方式解決相關問題,并且嘗試總結出所有的分割方法．

基于前面已有知識,不難看出,問題6有多種不用的解答方式．如圖4所示,過點A在平面PAB中作PB的垂線AE,然后連接EC,就可知四面體E-ABC也是一個鱉臑;或者過點B在平面ABC中作AC的垂線BF,然后連接PF,就可知四面體P-ABF也是一個鱉臑．

圖4

最后,筆者嘗試讓學生自行總結鱉臑中所涉及的垂直關系．

問題7鱉臑中存在哪些垂直關系?嘗試用符號列出其中的垂直關系,并指出它們之間的關系．

設計該問題的目的,一方面是幫助學生鞏固怎樣用符號表示線線、線面、面面垂直關系,另一方面也是引導學生得出經(jīng)典的怎樣借助線線垂直研究線面垂直、面面垂直等內容．實踐表明,學生能夠較好地完成相應的任務．

3 總結與反思

不難看出,上述教學過程是以“問題串”的形式展開的．“問題串”是指在一定的學習范圍和主題之內,教師圍繞一定目標或某一個中心問題,按照一定的邏輯結構而精心設計的一組問題[4]．在這一教學實踐中,筆者事實上是圍繞鱉臑這個四面體的特征設計了7個層層遞進的問題,組成了一個力圖能夠激發(fā)學生思考、增強學習興趣、幫助理解和應用知識、培育直觀想象核心素養(yǎng)的問題串．

還要特別強調的是,本節(jié)課所采用的鞏固空間中垂直關系的方式與一般的做法是不同的．傳統(tǒng)上,為了鞏固某個特定的知識點,一般的做法是找一些與該知識點有關的、答案具有封閉性的例習題,然后按照一定的邏輯進行組織和教學．本節(jié)課所采用的問題實際上都具有一定的開放性．近些年來,隨著數(shù)學課程改革和評價的深入,結構不良問題(也稱為劣構問題)已經(jīng)出現(xiàn)在了高考試題中,這類問題的解決往往需要考生有更高的思維能力和素養(yǎng)．因此,日常的教學過程中,應重點關注對試題條件的挖掘、辨識和選擇,如果條件有隱藏信息,也要及時發(fā)現(xiàn)和利用[5]．無疑,在日常的教學過程中,采用開放性問題進行教學有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)結構不良問題中隱藏的信息等．

教學的進程也就是問題串中問題逐步解決的過程,其中采用了數(shù)學生態(tài)智慧課堂的理念．需要注意的是,在這個過程中,教師扮演的不是傳統(tǒng)的知識傳授者角色,而是一個引導者和指導者．也就是說,教師要不斷地提出學生能夠理解和解答的問題,引導學生獨立思考或者進行合作交流與學習,并且在必要的時候進行恰到好處的提醒,從而真正有利于學生能夠自主地經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程,使得知識真正的“生長”出來．

當然,任何一種新的教學嘗試都會存有遺憾和可以改進的地方．實際教學的實踐表明,本節(jié)課所設計的內容還是偏多,導致教學過程中有些可以進一步探究的問題沒有時間展開．