孫海鋒

(江蘇省江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214401)

2023年3月20日,江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革重大項(xiàng)目——“做數(shù)學(xué):義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科育人的創(chuàng)新實(shí)踐”第五次項(xiàng)目研究推進(jìn)活動(dòng)在江陰市開(kāi)展.筆者在活動(dòng)中開(kāi)設(shè)了研究課“數(shù)格點(diǎn) 算面積——發(fā)現(xiàn)皮克公式”.課后研討由華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師鮑建生和江蘇省著名特級(jí)教師、正高級(jí)教師趙維坤點(diǎn)評(píng).下面將個(gè)人經(jīng)驗(yàn)與思考整理成文,供讀者參考.

1 學(xué)情分析與目標(biāo)設(shè)定

授課班級(jí)的學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高,對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的學(xué)習(xí)興趣,有一定的探究意識(shí)與探究能力,敢于主動(dòng)表達(dá)自己的觀點(diǎn),數(shù)學(xué)基本功扎實(shí),有較好的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、推理能力以及歸納能力.但受年齡、知識(shí)結(jié)構(gòu)等因素的制約,學(xué)生在推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、表達(dá)的規(guī)范性、思維的深刻性等諸多方面還有待加強(qiáng).

本節(jié)課探討的話(huà)題在蘇科版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)教材“綜合實(shí)踐”部分“釘子板上的多邊形”中已做了研究.學(xué)生又經(jīng)歷了兩年多的成長(zhǎng),在思維能力、知識(shí)結(jié)構(gòu)等方面已有較大的進(jìn)步.筆者從學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、心理特征、認(rèn)知差異等維度進(jìn)行分析,最終將教學(xué)目標(biāo)確定為:①通過(guò)真實(shí)問(wèn)題情境,讓學(xué)生在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題以及解決問(wèn)題的過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”意識(shí);②利用畫(huà)圖、列表等方法,經(jīng)歷分析數(shù)據(jù)、尋找規(guī)律的過(guò)程,發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證皮克公式,體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,并發(fā)展符號(hào)意識(shí).

2 實(shí)驗(yàn)工具的準(zhǔn)備與介紹

筆者給學(xué)生準(zhǔn)備了網(wǎng)格紙、釘板、橡皮筋若干.網(wǎng)格紙是學(xué)生熟悉的一種探究工具,給學(xué)生的實(shí)驗(yàn)開(kāi)展提供了便利,但也有不能重復(fù)使用的缺點(diǎn).用橡皮筋在釘板上圍格點(diǎn)多邊形,既能直觀呈現(xiàn)圖形,又能動(dòng)態(tài)調(diào)整圖形,從而將抽象思維顯性化.這兩類(lèi)工具提供給學(xué)生,讓學(xué)生自由選擇,感受實(shí)驗(yàn)工具的必要性及工具選擇的便利性.

3 教學(xué)過(guò)程與設(shè)計(jì)意圖

做中學(xué),即以“做”為支架,學(xué)生運(yùn)用相關(guān)實(shí)驗(yàn)工具,通過(guò)實(shí)際操作、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論,理解數(shù)學(xué)知識(shí)的思維活動(dòng)[1].筆者以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為情境、問(wèn)題鏈為驅(qū)動(dòng)、學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)與小組合作為組織形式、發(fā)展學(xué)生高階思維為目標(biāo)設(shè)計(jì)了這節(jié)課.

3.1 創(chuàng)設(shè)情境,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

問(wèn)題1如圖1,一片排列整齊的水杉樹(shù)林中,水杉之間行距和列距相同,其中一大片水杉生長(zhǎng)在水域中.如何估測(cè)這一片水域的面積?

圖1 圖2

生1:如果把每棵水杉都看成一個(gè)點(diǎn),那么水域部分的面積可近似看成網(wǎng)格中多邊形的面積,只要用“割補(bǔ)法”求出這個(gè)多邊形的面積即可.

師:他將水杉所在行、列分別看成直線,將每一棵水杉看成是一個(gè)點(diǎn),行距和列距都視為單位1,從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題“如何求網(wǎng)格中多邊形面積”.這就是數(shù)學(xué)的觀察,他的回答非常精彩.同學(xué)們,如圖2,行列所在直線的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn),若多邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則將該多邊形稱(chēng)為格點(diǎn)多邊形.如果延續(xù)剛才這位同學(xué)的思考,有便捷的方法求格點(diǎn)多邊形的面積嗎?

生2:網(wǎng)格中可觀察的量只有格點(diǎn)數(shù),我們是否可以通過(guò)數(shù)格點(diǎn)來(lái)計(jì)算這個(gè)多邊形的面積呢?

師:在這個(gè)問(wèn)題中,通過(guò)兩位同學(xué)的分析,發(fā)現(xiàn)了很有意思的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖(1)引導(dǎo)學(xué)生將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題,考慮到學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力,教師用規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá)作示范,提升學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性.同時(shí),向?qū)W生介紹基本的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ),明晰研究對(duì)象,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述的良好習(xí)慣.(2)對(duì)提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)一步分析,從找尋最優(yōu)策略的角度,將問(wèn)題進(jìn)一步聚焦,發(fā)現(xiàn)與本節(jié)課研究目標(biāo)相關(guān)的問(wèn)題.

3.2 初步嘗試,提出問(wèn)題

問(wèn)題2請(qǐng)畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)多邊形,使得多邊形內(nèi)部有4個(gè)格點(diǎn),邊上有5個(gè)格點(diǎn),并計(jì)算出這個(gè)多邊形的面積.

師:該問(wèn)題中需要大家完成幾個(gè)具體任務(wù)?

生3:兩個(gè),先畫(huà)出符合條件的格點(diǎn)多邊形,再求出該格點(diǎn)多邊形的面積.

(學(xué)生獨(dú)立操作并計(jì)算;如圖3,學(xué)生展示自己畫(huà)的圖形,并說(shuō)出所畫(huà)格點(diǎn)多邊形的面積.)

圖3 圖4

師:有沒(méi)有哪位畫(huà)出了符合條件且面積不等于5.5的格點(diǎn)多邊形?

生4:我畫(huà)出的格點(diǎn)多邊形面積是6.(圖4)

師:請(qǐng)你展示一下格點(diǎn)多邊形,說(shuō)說(shuō)計(jì)算過(guò)程.(生4回答略)

師:你們認(rèn)同嗎?

生(眾):不同意,他畫(huà)的圖形是正確的,但面積計(jì)算錯(cuò)誤.

師:請(qǐng)大家小組合作、共同探尋,能否發(fā)現(xiàn)符合條件且面積不等于5.5的格點(diǎn)多邊形呢?

……

生5:老師,我們組將內(nèi)部4個(gè)格點(diǎn)分為一行4個(gè)格點(diǎn)、兩行且每行2個(gè)格點(diǎn)、兩行且第一行 1個(gè)格點(diǎn)第二行3個(gè)格點(diǎn)等情形,畫(huà)出符合條件的格點(diǎn)多邊形并計(jì)算其面積,發(fā)現(xiàn)所畫(huà)格點(diǎn)多邊形的面積都等于5.5.

師:為便于大家研究格點(diǎn)多邊形,我為同學(xué)們準(zhǔn)備了兩種工具——方格紙若干、釘板與皮筋.你們小組選用哪種實(shí)驗(yàn)工具?為什么會(huì)選擇這種工具呢?

生5:我們小組選用的工具是釘板與皮筋.在操作過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn),在方格紙中操作,若畫(huà)出的格點(diǎn)多邊形不符合條件,則重新修正很麻煩.但若用釘板與皮筋,修正起來(lái)就非常方便.

師:工欲善其事,必先利其器,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)同樣如此.在該環(huán)節(jié)的整個(gè)探究活動(dòng)中大家有何發(fā)現(xiàn)?

生6:可能內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)都確定,格點(diǎn)多邊形的面積就確定了.

師(問(wèn)生4):根據(jù)你原先的計(jì)算,能得出這樣的猜想嗎?

生4:不可能,錯(cuò)誤的計(jì)算會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的猜測(cè)產(chǎn)生很大的困擾.

師:是的,準(zhǔn)確的運(yùn)算是獲得正確實(shí)驗(yàn)結(jié)果的前提.

設(shè)計(jì)意圖(1)通過(guò)給定內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)畫(huà)圖并計(jì)算格點(diǎn)多邊形的面積,發(fā)現(xiàn)面積是一定值,從而引導(dǎo)學(xué)生提出本節(jié)課的核心任務(wù),即是否可以通過(guò)數(shù)格點(diǎn)得到格點(diǎn)多邊形的面積,同時(shí)激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的欲望;(2)通過(guò)幾個(gè)關(guān)鍵性細(xì)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)感受良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的重要性,譬如審題時(shí)須厘清條件與要求、運(yùn)算須準(zhǔn)確等;(3)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,選擇合適的數(shù)學(xué)工具能更好地幫助我們進(jìn)行數(shù)學(xué)探究.

3.3 合作探究,分析問(wèn)題

問(wèn)題3小組討論,代表展示:設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)方案,探究格點(diǎn)多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)以及多邊形面積之間的關(guān)系.

小組1:任意畫(huà)格點(diǎn)多邊形,數(shù)出內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù),并計(jì)算該多邊形的面積.多列舉一些數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系.

小組2:小組1的方案實(shí)施難度較大,因?yàn)槿我馊齻€(gè)變量,即便有很多組數(shù)據(jù),也很難發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系.不如先讓其中一個(gè)量不變,以?xún)?nèi)部格點(diǎn)數(shù)為例,發(fā)現(xiàn)面積與邊上格點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系.然后再改變內(nèi)部格點(diǎn)數(shù),探尋三者之間的關(guān)系.

小組3:小組2的操作方案是可行的,但通過(guò)問(wèn)題2的探究,猜想三者之間有某種關(guān)系.不妨設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S、內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為N、邊上格點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng),那么可以設(shè)S=aN+bL+c.取三組值代入該關(guān)系式,得到一個(gè)三元一次方程組,解該方程組得到a,b,c的值,從而求出S的面積.

師:目前有三種方案,請(qǐng)各小組再次討論,評(píng)價(jià)三種方案的可行性及優(yōu)越性.

生7:將第一、第二種方案比較,明顯第二種方案更好.第三種方案好像行不通,為什么S與N、L之間一定是這樣的關(guān)系呢?為什么不是S=aN2+bL2+c這一關(guān)系式或者其他關(guān)系式呢?

師:小組3能給出答復(fù)嗎?

小組3:確實(shí)考慮欠佳,認(rèn)同小組2的方案.

師:目前第二個(gè)方案有了基本方向,可否設(shè)計(jì)一個(gè)完整、細(xì)致可行的操作流程呢?

小組2:我們可以選擇確定N不變,由于格點(diǎn)多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)最少可以為0,根據(jù)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,我們不妨從N=0時(shí)開(kāi)始探究,從而設(shè)計(jì)了如下方案.

第一步:探索N為0時(shí),格點(diǎn)多邊形S與L之間的關(guān)系.

(1)多畫(huà)幾個(gè)N為0的格點(diǎn)多邊形,填表:

圖形序號(hào)SL①②③…

(2)當(dāng)N為0時(shí),如何用含有L的代數(shù)式表示S?

第二步:探索N為1時(shí),格點(diǎn)多邊形S與L之間的關(guān)系(表格省略).

第三步:探索N為2時(shí),格點(diǎn)多邊形S與L之間的關(guān)系(表格省略).

第四步:根據(jù)前面的探究,猜想格點(diǎn)多邊形的面積、內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)三者之間的關(guān)系.

第五步:任意取N≥3的格點(diǎn)多邊形,驗(yàn)證三者之間關(guān)系是否滿(mǎn)足前面的猜想.

師:小組2的方案中,研究三個(gè)量之間的關(guān)系,先確定其中一個(gè)量不變,研究另兩個(gè)量之間的關(guān)系,稱(chēng)為控制變量法.將該實(shí)驗(yàn)分為5個(gè)步驟進(jìn)行,下面請(qǐng)大家根據(jù)該方案開(kāi)展探究活動(dòng).

設(shè)計(jì)意圖(1)小組合作商討、制定研究方案,由成員分享本小組設(shè)計(jì)方案,讓全體學(xué)生甄別、評(píng)價(jià),使學(xué)生的思維在寬松、自主的氛圍中逐步深入,從而形成大家認(rèn)可的研究方案;(2)在本環(huán)節(jié)中向?qū)W生介紹控制變量法,其本質(zhì)與從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法一致,即將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化后進(jìn)行研究;(3)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的優(yōu)越性,促進(jìn)學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的深度理解.

3.4 動(dòng)手實(shí)驗(yàn),解決問(wèn)題

本環(huán)節(jié)由學(xué)生根據(jù)上述方案動(dòng)手實(shí)驗(yàn),從而發(fā)現(xiàn)格點(diǎn)多邊形面積與邊上格點(diǎn)數(shù)、內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系,教師向大家介紹皮克公式的歷史,滲透數(shù)學(xué)文化.

3.5 回顧反思,凝練升華

問(wèn)題4回顧本節(jié)課的探究過(guò)程,談?wù)勀愕氖斋@.(教師最后歸納總結(jié),形成如圖5的基本框架.)

圖5 基本框架

4 教學(xué)反思

“做中學(xué)”即學(xué)習(xí)者在具身操作的過(guò)程中,大腦對(duì)事物的認(rèn)知在逐漸深入,結(jié)合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),對(duì)體驗(yàn)到的信息進(jìn)行再加工,從而建構(gòu)新的知識(shí)體系.“做中學(xué)”視閾下的問(wèn)題鏈則承擔(dān)驅(qū)動(dòng)有序“做”、深入“學(xué)”的功能,促進(jìn)認(rèn)知深維建構(gòu).

4.1 真實(shí)情境為問(wèn)題鏈的起點(diǎn)

史寧中教授提出,數(shù)學(xué)教學(xué)中一方面需保持“雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核,另一方面又能創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,讓學(xué)生感悟基本思想,積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),形成發(fā)展學(xué)科的核心素養(yǎng)[2].與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的真實(shí)的問(wèn)題情境有較強(qiáng)的代入感,引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)地走入情境,尋找解決問(wèn)題的策略及問(wèn)題的答案,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲,這是引起學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)探究的前提,讓自發(fā)的“做”變?yōu)閷W(xué)生的精神需求.尤其是,當(dāng)問(wèn)題情境讓學(xué)生感受其解決的必要性及社會(huì)價(jià)值時(shí),能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)責(zé)任,促使他們形成高度的責(zé)任意識(shí)與社會(huì)擔(dān)當(dāng),確保他們?cè)凇白觥钡倪^(guò)程中不輕易因受挫而放棄,從而讓“做”在連續(xù)的活動(dòng)中持續(xù)向深度探究.

4.2 驅(qū)動(dòng)活動(dòng)為問(wèn)題鏈的任務(wù)

本課例用4個(gè)主問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展:問(wèn)題1以生活情境為背景,引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題;問(wèn)題2通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)得到一個(gè)基本研究方向,即“如果格點(diǎn)多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)確定,則可能格點(diǎn)多邊形的面積就確定”;問(wèn)題3設(shè)計(jì)并操作實(shí)驗(yàn),尋找格點(diǎn)多邊形的面積與內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)、邊上格點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系,并驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的關(guān)系;問(wèn)題4對(duì)整節(jié)課進(jìn)行總結(jié)與回顧.4個(gè)問(wèn)題形成問(wèn)題鏈,每個(gè)問(wèn)題承擔(dān)各自功能,形成如圖6的課堂流程.整個(gè)問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展,從而讓學(xué)生在有序的“做”中探究、學(xué)習(xí).

4.3 思維進(jìn)階為問(wèn)題鏈的內(nèi)核

“做中學(xué)”的“做”是活動(dòng)方式,“學(xué)”是目的,通過(guò)具身體驗(yàn)讓學(xué)生充分體驗(yàn),從活動(dòng)經(jīng)歷中抽象出具體經(jīng)驗(yàn),為后繼活動(dòng)的開(kāi)展埋下伏筆.學(xué)生在“做”的過(guò)程中,從具象的操作到抽象的分析與綜合、活動(dòng)評(píng)價(jià)等,思維從低階走向高階,從而實(shí)現(xiàn)通過(guò)“做中學(xué)”達(dá)到啟智增慧的育人目標(biāo).

本課例中,學(xué)生嘗試解決問(wèn)題1時(shí)能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題;借助問(wèn)題2的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提出問(wèn)題;問(wèn)題3在充分分析問(wèn)題的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題;問(wèn)題4引導(dǎo)學(xué)生在回顧總結(jié)的過(guò)程中,歸納出重要思想與方法.在問(wèn)題鏈搭建的支架中,思維進(jìn)階式發(fā)展,學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以落實(shí).

5 結(jié)束語(yǔ)

“做中學(xué)”視閾下積極發(fā)揮問(wèn)題鏈的功能,“用問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)活動(dòng)接續(xù),推動(dòng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)條理化;借問(wèn)題鏈推進(jìn)探究過(guò)程深入,促使思維路徑階序化”[3],從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.