張衛(wèi)明

(江蘇省鹽城市鹿鳴路初中教育集團 224005)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自于市直示范初中七年級學(xué)生,有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和較好的學(xué)習品質(zhì)．

1.2 教材分析

關(guān)于“用方程解決問題”,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》(下稱《標準2022》)第三學(xué)段的要求為:“能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,理解方程的意義……能根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗方程的解是否合理．建立模型觀念．”[1]59《標準2022》特別強調(diào)列方程解應(yīng)用題是聯(lián)系實際的重要方面,突顯了方程作為一種數(shù)學(xué)模型的主要特征,這既是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的良好載體,也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和實踐能力很好的題材．由此可見,本節(jié)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,對培養(yǎng)初中生問題解決能力和體會數(shù)學(xué)的價值具有重要意義．

用一元一次方程解決問題,蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》遵循從感性認識“數(shù)學(xué)源于生活并指導(dǎo)生活”的原則,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程,加強對方程是解決現(xiàn)實問題的一種有效數(shù)學(xué)模型的認識,體會模型思想．

本節(jié)課是蘇科版教材七年級上冊第四章第三節(jié)“用方程解決問題”第4課時,其教學(xué)目標是:通過經(jīng)歷探索現(xiàn)實生活中的實際問題和變化規(guī)律的過程,學(xué)會借助表格和線形示意圖列方程來解決實際問題,感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系,提高問題解決能力,發(fā)展模型素養(yǎng),增強創(chuàng)新精神和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．由于解決問題的策略比學(xué)習其類型更重要,所以本節(jié)課的教學(xué)重點是運用表格和線形示意圖分析比較復(fù)雜的問題,尋找等量關(guān)系．

2 教學(xué)過程

2.1 情境創(chuàng)設(shè),激活思維

師:同學(xué)們,前面我們學(xué)習了用一元一次方程解決問題,知道了用列表或線形示意圖進行分析是解決問題的重要手段．本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習用方程解決問題．(板書課題)

評析問題是數(shù)學(xué)的心臟．從學(xué)生熟悉的生活情境入手,既可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用,又能夠有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情．

2.2 問題探究,發(fā)展思維

師:上述問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系是什么?

生1:這個問題相當于追擊問題,相等關(guān)系是:

小紅跑的路程-爺爺跑的路程=400 m．

師:你能把問題中的等量關(guān)系的分析過程直觀地表示出來嗎?

生(眾):能．

師:怎樣表示?

生2:設(shè)爺爺跑步的速度是xm/min,可以列出表1．

表1

生3:也可畫如圖1所示的線形示意圖．(感受利用列表、線形示意圖分析等量關(guān)系的優(yōu)越性)

圖1

師:根據(jù)上面表格、線形示意圖可以列出怎樣的方程?

師:很好!請大家寫出這個問題完整的解答過程．

(學(xué)生動筆,認真解題．教師巡視,對于有困難的學(xué)生個別輔導(dǎo)、點撥．學(xué)生解答基本都很順利)

師:大家完成了嗎?

生(眾):完成了．

師:大家能否談一談是如何解答的?(學(xué)生紛紛舉手,爭先恐后地)

(學(xué)生邊回答,教師邊板書)

師(欣賞地):很好!

師:當小紅和爺爺相遇后繼續(xù)沿著原來的方向和速度向前跑,幾分鐘后他們第二次相遇?

生6:還是5 min．只要爺爺和小紅的速度不變,跑步的方向不變,那么爺爺和小紅相遇后下一次再相遇的時間都是5 min．

師:如果小紅追上爺爺后立即轉(zhuǎn)身沿相反方向跑,那么幾分鐘后小紅再次與爺爺相遇?

師:(稍停頓)利用列表或線形示意圖分析．

(學(xué)生稍作思考,紛紛舉手,很自信)

生7:這個問題相當于相遇問題,既可以列表也可以利用線形示意圖．相等關(guān)系是:

小紅跑的路程+爺爺跑的路程=400 m．

生7:可以這樣解答．(師生合作,進行解答示范)

師:如果小紅跑步的速度為200 m/min,爺爺跑步的速度為120 m/min,同時同向而行,爺爺在小紅前面100 m,小紅第一次追上爺爺需要多少時間?

生8:(學(xué)生口述)相等關(guān)系是:小紅跑的路程-爺爺跑的路程=100 m,方程是200x- 120x=100,x=1.25．因此,小紅第一次追上爺爺需要1.25 min．

評析例題教學(xué)不局限于課本,注重變式,難度有梯度,但解決問題的策略仍緊緊圍繞列表、線形示意圖分析等量關(guān)系．緊扣主題,突出重點,使學(xué)生做一題,會一類,通一片．

2.3 應(yīng)用遷移,升華思維

師:如果小紅跑步的速度為200 m/min,爺爺跑步的速度為120 m/min,同時同向而行,小紅在爺爺前面100 m．請?zhí)岢鲆粋€用方程解決的問題.

生9:我提出的問題是:小紅第一次追上爺爺需要多少時間?

師:同學(xué)們能解決他提出的問題嗎?大家先獨立思考,利用列表或線形示意圖分析,然后和同學(xué)交流,一會兒,請代表發(fā)言．

(學(xué)生有的冥思苦想,有的嘗試列表,更多的嘗試畫線形示意圖．過了一會兒,開始進行交流,爭論聲此起彼伏,討論熱烈)

師:你解決問題的策略是什么?

生10:我利用列表分析解決問題．

生11:我利用線形示意圖分析問題．

生12:我利用列表和線形示意圖共同分析．

師:這個問題數(shù)量之間的相等關(guān)系是什么?

生13:相等關(guān)系是:

小紅跑的路程-爺爺跑的路程=300 m．

生14:這個問題相當于追及問題,小紅追上爺爺時,他們的路程差是跑道的周長減去100 m．(生上黑板板演)

師:這是環(huán)形跑道問題,可以利用列表或線形示意圖的方法幫助解決問題．如果同地同時同向而行,這是追及問題,第一次相遇時快者比慢者多跑一圈．如果同地同時反向而行,則是相遇問題,第一次相遇時兩人所跑路程之和等于跑道的周長．如果不同地,情況稍微復(fù)雜,則需靈活地選用解決問題的策略,找出相等關(guān)系,從而解決問題．

評析教學(xué)循序漸進,注重發(fā)揮學(xué)生的主體作用,問題由淺入深,水到渠成,讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展,有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué),積累活動經(jīng)驗．

2.4 拓展延伸,創(chuàng)新思維

師:如果小紅跑步的速度為200 m/min,爺爺跑步的速度為120 m/min,同時同向而行,,小紅第一次追上爺爺需要多少時間?你能添加一個條件,把問題補完整并給出解答．先獨立思考,再小組合作交流．

(學(xué)生在小組內(nèi)激烈討論著,教師也主動參與到學(xué)生的討論之中,聽取學(xué)生的見解)

生15:我添加的條件為小紅與爺爺相距100 m．

(其他學(xué)生大笑,認為該同學(xué)投機取巧．教師發(fā)現(xiàn)這個問題提得很有水平,及時提問)

師:誰能解決這個問題,同學(xué)們考慮利用什么策略比較容易找相等關(guān)系?

生16:其實這與上題一樣,利用列表和線形示意圖共同分析,結(jié)果仍然為3.75 min．

(該生說完后感到很得意,回答完后禁不住笑起來!所有學(xué)生又轉(zhuǎn)頭朝生15看,似乎在想:這個問題還值得提嗎?)

生15(紅著臉):他說得不對!

(全場嘩然,稍后有一位學(xué)生舉手．教師適時提問)

生17:這個問題應(yīng)該考慮兩種情況,一種是小紅在爺爺前面100 m,另一種是爺爺在小紅前面100 m．所以另一種情況相等關(guān)系是:小紅跑的路程-爺爺跑的路程=100 m．其實就是前面問題3的答案．

師:生15提出的問題體現(xiàn)了分類的數(shù)學(xué)思想,非常了不起,同學(xué)們應(yīng)該向他學(xué)習這種善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的精神．

(生15笑了,老師的鼓勵使他對數(shù)學(xué)更加充滿興趣．其他學(xué)生此時有一種恍然大悟、茅塞頓開的感覺．教師里又是一片沉寂,學(xué)生等待教師的繼續(xù)講解)

師:通過剛才問題的解決,我們又一次體驗到利用列表或線形示意圖進行分析是解決問題的重要手段,接下來,請大家利用這些策略解決下列問題(教材第109～110頁練習)．

評析由于教師引導(dǎo)得法,善于讓學(xué)生表達,分散難點,課堂效率高．同時對于學(xué)生的的回答教者及時評價,學(xué)生始終處于興奮狀態(tài),激發(fā)學(xué)生學(xué)習熱情,讓數(shù)學(xué)好玩!

2.5 整理小結(jié),分享思維

師:同學(xué)們,通過本節(jié)課的學(xué)習,你對用 方程解決問題又有哪些認識?你認為借助表格和 線形示意圖共同作為建模策略外,有沒有其他策略呢?

生18:我知道了環(huán)形跑道問題中,不同情境下的不同相等關(guān)系．

生19:我覺得除了利用表格和線形示意圖共同分析問題外,還可以畫扇形、條形或?qū)嵨锸疽鈭D來作為建模策略．

生20:我們在探索解決實際問題時,應(yīng)從多角度思考問題．

生21:我從同學(xué)身上學(xué)習到敢于挑戰(zhàn)困難、客服困難的精神．

生22:我深深地感受到,數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活,我們離不開數(shù)學(xué)．

生23:運用表格和線形示意圖分析比較復(fù)雜的問題,尋找等量關(guān)系,猶如一粒粒珍珠被串成一個光環(huán),映射數(shù)學(xué)光芒四射的魅力．

師:同學(xué)們,方程有悠久的歷史,它隨著實踐需要而產(chǎn)生,并且具有極其廣泛的應(yīng)用．相信同學(xué)們一定會學(xué)好方程,更好地服務(wù)生活!

(學(xué)生們紛紛鼓掌,許多學(xué)生課后也未離開教室,仍沉浸在數(shù)學(xué)世界的美好境界……)

評析課堂小結(jié)的教學(xué)具有整體關(guān)聯(lián)性,起到單元結(jié)構(gòu)化的作用,學(xué)生的精妙回答體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地生根．

3 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)學(xué)科承載著落實立德樹人根本任務(wù)、實施素質(zhì)教育的功能,在形成人的理性思維、求真精神和促進智力開發(fā)等多方面有不可替代的獨特的育人功能．但在日常教學(xué)中,數(shù)學(xué)育人素材和育人機會旁落的現(xiàn)象屢見不鮮,“教學(xué)任務(wù)簡單化,分層教學(xué)形式化,學(xué)生思維淺顯化,素養(yǎng)發(fā)展呆滯化”是造成數(shù)學(xué)學(xué)科育人缺失的主要因素．為此,本研究基于我校LPAST和真課堂模式設(shè)計,促進學(xué)習者對數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容的理解、問題解決能力的提升和高階思維的發(fā)展．

LPAST課堂是指以問題為引領(lǐng),通過精心設(shè)計活動,注重結(jié)構(gòu)化教學(xué),創(chuàng)造真實有意義的學(xué)習經(jīng)歷,培養(yǎng)高階思維能力,發(fā)展學(xué)科素養(yǎng),陶冶求真情操．L是Literacy-Based Learning的首字母,即基于素養(yǎng)的學(xué)習;P是Problem-Based Learning的首字母,即基于問題的學(xué)習;A是Activity-Based Learning的首字母,即基于活動的學(xué)習;S是Structure-Based Learning的首字母,即基于結(jié)構(gòu)的學(xué)習;T是Thinking-Based Learning的首字母,即基于思維的學(xué)習．LPAST教學(xué)模式是問題驅(qū)動的學(xué)習,通過學(xué)習活動來解決問題,強調(diào)以學(xué)習者為中心,合作學(xué)習,積累活動經(jīng)驗,獲得真實的、有意義的學(xué)習經(jīng)歷(圖2)．該模式在我校開展實施兩年以來形成一定的經(jīng)驗和范式,它促進教師有意識地探究、創(chuàng)造深度學(xué)習的環(huán)境,引導(dǎo)和促進學(xué)習者進行知識體系的重構(gòu),發(fā)展核心素養(yǎng),構(gòu)建“求真”型師生學(xué)習共同體,落實“立德樹人”的根本任務(wù)．

圖2 LPAST課堂要素

3.1 基于素養(yǎng)的學(xué)習

基于素養(yǎng)的學(xué)習就是使學(xué)生通過課程的學(xué)習,形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的正確價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力．基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求,《標準2022》明確課程要注重與學(xué)生經(jīng)驗、社會生活的關(guān)聯(lián),加強課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系,突出課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,適當采用主題式學(xué)習和項目式學(xué)習的方式[1]16．從核心素養(yǎng)發(fā)展的角度審視,需要強調(diào)教學(xué)內(nèi)容的綜合性、動態(tài)性和生成性．

本節(jié)課的教學(xué)目標通過經(jīng)歷探索有關(guān)以環(huán)形跑道為載體的方程模型,真正學(xué)會借助表格和線形示意圖列方程來解決實際問題．這是一個確定并且有可能達到的教學(xué)目標．同時,這也是一個會在學(xué)生內(nèi)部引發(fā)和生成創(chuàng)新素養(yǎng)的關(guān)鍵能力,通過問題引領(lǐng)、結(jié)構(gòu)化學(xué)習,學(xué)生素養(yǎng)和思維的發(fā)展得到充分實踐的機會．

3.2 基于問題的學(xué)習

學(xué)生解決問題的能力就是學(xué)習的核心．課堂中的問題與學(xué)習者的真實生活經(jīng)驗相關(guān)聯(lián)．問題的生成更多地來自于學(xué)生,來自于互動,課堂是學(xué)生解決問題的平臺．教師要善于觀察學(xué)生的反應(yīng),及時捕捉課堂信息,并作出回應(yīng)．

本節(jié)課以如何“借助表格和線形示意圖共同作為建模策略”這個核心問題(或者叫大問題)貫穿課堂的始終．課堂中師生共同圍繞“同時同地同向、同時同地反向、同時同向不同地”等多種思考有遞進和提升的問題讓學(xué)生開展自主探究和合作學(xué)習,真正實現(xiàn)以“問題”為中心的學(xué)習．

3.3 基于活動的學(xué)習

活動是由共同目的聯(lián)合起來并完成一定社會職能的動作的總和．活動由目的、動機、動作和共同性構(gòu)成,具有完整的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[3]．本節(jié)課基于活動的學(xué)習設(shè)計若干條件殘缺、結(jié)論不確定等開放性問題讓學(xué)生有思考的時間、表達的自由和被傾聽的尊重．

基于活動的學(xué)習目標是“幫助學(xué)生學(xué)習”而不是“教學(xué)”．教師的重點是要設(shè)計好學(xué)生在課堂上的活動:自主學(xué)習和練習、閱讀文本、傾聽同學(xué)的意見、自我表達、小組討論、合作學(xué)習、大組交流、演講、角色扮演、當小老師教別人、演示等等．教師應(yīng)當及時了解學(xué)生的學(xué)習狀態(tài)并加以引導(dǎo)或重組教學(xué)活動,引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習．

3.4 基于結(jié)構(gòu)的學(xué)習

結(jié)構(gòu)化的知識是能力形成的基礎(chǔ),這種知識結(jié)構(gòu)是由學(xué)科知識中的基本概念、基本原理和基本思想組成的．知識是能力的基礎(chǔ),只有結(jié)構(gòu)化的知識才能促進能力的形成與發(fā)展．學(xué)習的本質(zhì)是一個人把同類事物聯(lián)系起來,并把它們組織成賦予一定意義的結(jié)構(gòu)．結(jié)構(gòu)化的知識有助于形成知識的整體性．對學(xué)生來說,認識到知識之間的連通性和互補性,可以更好地掌握知識,融會貫通,真正納入到自己的認知結(jié)構(gòu)中．

本節(jié)課中“借助表格和線形示意圖共同作為建模策略”,其實就是課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化,就是改變知識學(xué)習的“碎片化”現(xiàn)狀．本節(jié)課以問題串的形式展開教學(xué),形成一條有內(nèi)在聯(lián)系、螺旋式上升的學(xué)習鏈條．正如學(xué)生提到:還可以畫扇形、條形或?qū)嵨锸疽鈭D來作為建模策略．這樣的結(jié)構(gòu)化教學(xué)有助于學(xué)生理解方程思想以及相互間的聯(lián)系,舉一反三,觸類旁通,促進能力遷移．

3.5 基于思維的學(xué)習

除去數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的學(xué)習,數(shù)學(xué)教學(xué)主要的功能應(yīng)是促進學(xué)生思維的發(fā)展,這就是強調(diào)“數(shù)學(xué)思維教學(xué)”的主要原因．然而,數(shù)學(xué)教學(xué)中大部分學(xué)生的思維處于低層次或中等層次,在數(shù)學(xué)學(xué)習中他們拘泥于定向思維、正向思維等單一思維方式思考問題,習慣于思維定勢及循規(guī)蹈矩,拘泥于解決常規(guī)的數(shù)學(xué)問題,卻不善于解決復(fù)雜的、開放性的問題情境[4]．

比如本節(jié)課中,在“拓展延伸,創(chuàng)新思維”環(huán)節(jié),有學(xué)生添加問題的條件為:小紅與爺爺相距100 m．這個問題看似簡單,其實暗藏玄機．通過學(xué)生的發(fā)言,我們可以知道學(xué)生的批判性思維能力顯著增強,對本節(jié)課所學(xué)數(shù)學(xué)知識(問題)的本質(zhì)的理解程度決定了數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)、深度和高度,也說明了學(xué)生善于用數(shù)學(xué)的眼光看世界,善于用數(shù)學(xué)的思維去分析問題,善于用數(shù)學(xué)的語言表達問題,這就是核心素養(yǎng)!