張維忠 邵諾愉

(浙江師范大學教育學院 321004)

談到幾何,我們往往只知道歐氏幾何,這是一套邏輯演繹形式的系統,標志著公理化方法的誕生．與歐氏幾何體系不同,我國古代數學沒有形成像《幾何原本》那樣的公理化體系,而是更強調機械化的程序算法,并形成了風格獨特的另一套幾何體系．我國古代幾何學的特色之一,就是在經驗成果的基礎上,抽象概括出解決實際問題的一般方法和原理,并將它應用到各種問題上．出入相補原理就是中國古代幾何學中最基本的一條原理．

1 什么是出入相補原理

1.1 出入相補思想的萌芽:《詳解九章算法》

首先,我們來思考一個簡單的問題．如圖1,設點F是矩形ABCD的對角線BD上任意一點,過點F作一組鄰邊的平行線EH,GJ,直線EH分別與邊AB,CD交于點E,H,直線GJ分別與邊BC,AD交于點G,J,那么你能在這個圖形中找到哪些線段的比例關系呢?你采用的是什么方法呢?

圖1

楊輝并沒有用到“三角形的相似性”的知識,但得到了相同的線段比例關系的結論,從中能夠看到古代中西方幾何學方法上的差異性．由于在這個問題中出現的兩個矩形一個橫著、一個豎著,故稱此為“容直容橫原理”．在容直容橫原理中,最關鍵的是要抓住兩個矩形面積相等,而如何解釋這個相等關系,這其中就蘊含了出入相補原理．

1.2 出入相補原理的發(fā)生與發(fā)展

“臣聞昔湯、武以百里昌,桀、紂以天下亡．今楚國雖小,絕長續(xù)短,猶以數千里,豈特百里哉?”這是《戰(zhàn)國策·楚策四》中莊辛對楚襄王的規(guī)勸．莊辛說:“現在楚國雖小,但是截長補短,算來也還有數千里,哪里只是百里土地呢?”莊辛是怎樣計算楚國的國土面積的呢?不難看出,莊辛采用了“截長補短”的方法．許多先秦文獻中都有諸如此類的一種思想:各部分的量發(fā)生了變化而總量不變．例如,《老子》中的“損有余而補不足”“損不足以奉有余”,有余者和不足者在經過損和補之后,各自的量發(fā)生了變化,但二者之和仍然不變;《禮記·王制》中的“凡四海之內,斷長補短,方三千里”;《戰(zhàn)國策·秦策一》中的“今秦地形,斷長續(xù)短,方數千里”;等等．可見這一思想廣泛地存在于一般諸子的說辭之中．這充分說明:先秦諸子具有認識和應用出入相補原理的思維背景．只是在當時,它并沒有被提煉概括為一條一般原理[2]．

魏晉時期數學家劉徽在注《九章算術》勾股術時曾說:“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其余不移動也,合成弦方之冪,開方除之,即弦也．”這就是出入相補原理中“出入相補”四個字的由來[2]．當代著名數學家吳文俊將出入相補原理用現代語言概括為“一個平面圖形由一處移置他處,面積不變．又若把圖形分割成若干塊,那么各部分面積和等于原來圖形的面積,因而圖形移置前后各個面積的和、差有簡單的相等關系,立體的情形也是這樣”[3]．這一原理是我國古代數學家依據面積、體積、測量這些方面的經驗成果,總結提煉成的一般性原理,對這一原理的認識并不需要高超的推理技巧,一個平面圖形或立體圖形在移動或重組前后的面積或體積相等,這個道理是不言而喻的．盡管如此,依靠這條簡明的原理就建立了我國古代平面多邊形面積理論．同時,它還與另外兩條“簡明原理”——劉徽原理、祖暅原理,共同建立了我國古代整個多面體體積理論,形成了不同于西方的一套獨特的、富有生命力的幾何體系．

2 出入相補原理的古今應用

2.1 出入相補原理與平面多邊形面積理論

回顧平面多邊形面積公式的學習歷程,我們最早接觸的面積公式是正方形、長方形的面積公式,因為方形是所有平面幾何圖形中最簡單、最基本的圖形．中國古代數學典籍《九章算術》也最先在方田章給出方田(長方形)的面積公式,即長乘寬,隨后有了圭田(等腰三角形)、邪田(直角梯形)、箕田(等腰梯形)等其他平面幾何圖形的面積公式,但均沒有論證．劉徽在注《九章算術》時,將長方形作為基本圖形,然后采用出入相補原理對其他平面幾何圖形的面積公式進行了論證．

圖2

圖3

對于箕田(等腰梯形),《九章算術》箕田術曰:“并踵、舌而半之,以乘正從．”“踵”指箕田的短底邊,“舌”指箕田的長底邊,箕田的面積為長短底邊之和取半乘高．劉徽注術曰:“中分箕田則為兩邪田,故其術相似．又可并踵、舌,半正從,以乘之．”將箕田分割成兩個邪田,就可用邪田術求其面積,或者求長短底邊之和取半乘高．劉徽所注的兩種方法均可用出入相補原理,如圖4(1)和 圖4(2)所示．

圖4

劉徽在長方形面積公式的基礎上,運用出入相補原理推出了等腰三角形、直角梯形和等腰梯形的面積公式．還記得我們是如何推導平行四邊形面積公式的嗎?采用的也是類似的方法．在此基礎上,我們還發(fā)現,不僅等腰三角形通過以盈補虛能夠轉化為長方形,任意三角形也能夠轉化為長方形．而由于平面內任意多邊形可以分割成若干個任意三角形,所以任意多邊形的面積也能夠轉化為若干個長方形的面積．因此,中國古代數學家僅僅依靠出入相補原理就建立了平面多邊形面積理論．

最后,有一個值得我們思考的問題:任意多邊形能否運用出入相補轉化為一個與之面積相等的長方形呢?在19世紀30年代,一位匈牙利數學家波約和一位德國軍官格爾文曾探討過類似的問題,形成了波約-格爾文定理:兩多邊形面積相等的充分必要條件是它們剖分相等,剖分相等即將圖形A剖分為有限塊,將它們重新組合后得到圖形B,就說A與B剖分相等．此定理也成為了出入相補原理的依據,使得出入相補法更具說服力．不同時代不同國家的數學家對同一些問題的探討實現了中西方數學文化的交融,我們也看到中國古代數學家在這些問題上的貢獻．

2.2 出入相補原理與“開帶從平方”

“開帶從平方”是中國古代的一種算法,指求形如x2+Bx=A(A>0,B>0)的一元二次方程的正根的一種方法．

如圖5所示,四邊形ABCD是一正方形,在BC,CD邊上分別取兩點H,K,使得CH=CK,并分別過H,K兩點作對邊AD,AB的垂線交于點G,E,線段GH,EK交于點F．易知四邊形CHFK和四邊形AGFE為一大一小兩個正方形,四邊形DKFG和四邊形BEFH為兩全等矩形．所以將矩形DKFG裁下拼接至矩形ICKJ處,能與矩形CBEK構成一個新的矩形IBEJ,且S矩形IBEJ=S正方形CHFK+2×S矩形ICKJ,即CK2+2×IC×CK=S矩形IBEJ．

圖5

2.3 教科書中的出入相補原理

從小學開始,我們就在不知不覺中學習了出入相補原理,除了三角形、平行四邊形、梯形的面積公式推導,出入相補原理同樣能夠用于圓面積公式推導．2022年版人教版小學六年級數學教科書給出了圓面積的推導過程:把圓分成若干(偶數)等份,每一份都近似于等腰三角形,分的份數越多,每一份就越小,拼成的圖形就會接近于一個長方形(圖6)．透過出入相補原理,我們體會到了圓面積在分割和拼補過程中所滲透的“極限思想”,有助于理解面積公式的來龍去脈[4]．

圖6

出入相補原理不僅僅只被用來說明圖形面積出入不變,還是“數”與“形”轉化的重要橋梁!乘法公式是初中階段的重要知識點,接下來,我們結合出入相補原理,通過構造幾何圖形,來探究所熟知的兩個乘法公式的幾何意義．

以前,我們在課堂上采用直接的公式推導法,結合多項式乘法的相關知識,總結出形如(a+b)(a-b)和(a±b)2的式子的計算結果,作為能夠直接應用的計算工具:平方差公式和完全平方公式．其實,當a和b均為正實數且a>b時,我們可以構造幾何圖形來驗證這兩個乘法公式．以平方差公式為例,如圖7(1)所示,構造一個長和寬分別為a+b和a-b的矩形,該長方形的面積為(a+b)(a-b).在長方形上剪下一個長為a-b、寬為b的矩形,拼接到圖7(2)所示的位置,得到一個新的圖形,該圖形的面積為a2-b2.由出入相補原理可知,拼補前后圖形面積相等,所以(a+b)(a-b)=a2-b2．這是平方差公式的一種幾何驗證方法,細細體會圖形構造幾何驗證的精妙之處,并完成下面任務:

(1)發(fā)揮你的想象,是否還有其他的構造方法來驗證平方差公式?

(2)對于完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,能否構造幾何圖形來驗證?

2.4 中考、高考試題中的“出入相補”

早在2017年,“用出入相補原理推得容直容橫原理”就被作為北京市中考數學的考點之一．

試題1(2017年北京市中考第20題)數學家吳文俊院士非常重視古代數學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線,則所容兩長方形面積相等”(圖8)這一推論,他從這一推論出發(fā),利用“出入相補”原理復原了《海島算經》九題古證．(以上材料來源于《古證復原的原理》《吳文俊與中國數學》和《古代世界數學泰斗劉徽》)

圖8

請根據該圖完成這個推論的證明過程．

證明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+)．易知,S△ADC=S△ABC,=,=．可得S矩形NFGD=

S矩形EBMF．

該問題運用出入相補原理,對圖形面積進行等量轉換,兩個面積相等的圖形分別減去相同的面積,剩余圖形雖然形狀不同,但是面積仍然相等,考查了學生“等量代換”的思想．時隔4年,以《海島算經》為背景的數學問題再次以高考題的形式出現在2021年全國高考數學理科乙卷中．

試題2(2021年全國高考數學理科乙卷第9題)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經》是關于測量的數學著作,其中一題是測海島的高．如圖9,點E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB=( )．

該問題雖然是高考題,但是卻能夠用初中數學相似三角形的相關知識解決,這也是歐氏幾何會采用的一般方法．

圖10

此方法雖然簡潔明了,但卻不是劉徽的解法.中國傳統數學對這一求島高公式的證明,亦得益于出入相補原理,如圖11所示,是劉徽添加輔助線的方式．

圖11

3 從出入相補原理管窺中國傳統思維及中西文化差異

3.1 領悟出入相補原理蘊含的整體性思維

在前文所舉的例子中,不論是多邊形的面積求解,還是圓的面積公式推導,都體現了通過出入相補將未知問題轉化為已知問題求解的思想,這種化未知為已知的思想方法,就是我們常說的“化歸思想”.同時,出入相補原理的應用往往離不開幾何圖形,比如劉徽對勾股定理的證明、解勾股形的相關公式的證明、開帶從平方術以及乘法公式的本質探究,都試圖將代數問題變?yōu)閹缀螁栴},實現了數與形之間的巧妙轉化．因此,應用出入相補原理解決問題的過程也蘊含了豐富的“數形結合思想”.在圓的面積推導中,其實把一個圓不論進行怎樣細小的有限次的分割拼補,都無法真正拼成一個長方形,而假如能夠無限地分下去,那么拼成的圖形的面積就不斷趨向于長方形的面積,通過取極限值,能夠說明圓的面積就等于無限次分割拼補后長方形的面積,這是“極限思想”在小學數學中最完美的體現．

在用出入相補原理解決問題的過程中,都實現了從構造幾何圖形到證明結論或推出結論的過程,它是將問題的條件和結論的內在聯系作為一個整體從直覺上把握,隱含著中國傳統思維的整體性思想[5]．在乘法公式的幾何意義探究中,根據圖7(1)所示幾何圖形的特點,構造了圖7(2)所示的一個新的幾何圖形,然后根據兩個圖形的面積相等推出結論,從整體把握部分的特征．并且在證明中,僅僅通過幾何變換,依據面積的相等關系,不涉及角度、線線位置關系等幾何知識,整個證明過程是很直觀的,但卻缺少了嚴格的證明環(huán)節(jié),這種研究方法出自劉徽的勾股定理古證法．所以,與歐氏幾何以結論作為解題方法的結論性方法不同,出入相補是過程性方法,不證自明,它并非公理,也不是證明的起點,而是證明的工具[6]．

3.2 感受出入相補原理折射出的中西文化差異

讓人產生疑惑的是,既然我國古代的數學家已經發(fā)現了直角三角形線段的比例特征,那為什么沒有認識到相似性概念呢?或許數學家當時確實認識到了直角三角形的相似性,但中國古代數學重視實踐,考慮的幾乎所有的幾何問題都是包括測量和距離的觀測在內的實際問題,這些問題多數依賴于直角三角形的使用,有關直角邊的比例問題已經能用容直容橫原理得到解決,而直角三角形的斜邊問題也能用勾股定理得到解決,對于一般的相似圖形,我們沒有發(fā)現它們的實際用途,所以一般圖形的“相似性原理”并沒有為中國古代數學所認識和使用[7]．中國古代數學的價值觀念是技藝實用,而西方數學以用數學解釋一切為價值取向,中西方古代數學的價值取向不同,導致在同一些數學問題上的不同解法,以出入相補原理為例,我們在學習中西方數學思想時,也應兼收并蓄,以理性的態(tài)度去對待這種差異性．

雖然運用出入相補原理解題的程序相對繁雜,但這其中卻蘊含了許多相似性方法所沒有的數學思想,而這些數學思想正是現如今我們需要學習和掌握的．出入相補原理不僅適用于平面幾何圖形,還適用于立體幾何圖形,我國古代數學家也曾用它來推導立體的體積公式．請大家查閱相關資料,循著古人的腳步,進一步探究出入相補原理,感悟這其中的數學思想方法吧．