張 迅, 韓 艷, 王力東, 劉漢云, 蔡春聲

(1.長沙理工大學 土木工程學院,長沙 410114; 2.東南大學 交通學院,南京 211189)

為保證線路的平順性及減少耕地占用,我國高速鐵路常采用“以橋代路”的建設方式。據(jù)統(tǒng)計我國高速鐵路網(wǎng)中橋梁平均占比大于50%,其中廣珠鐵路橋梁占比高達94.2%[1]。受運營環(huán)境、上座率、施工或制造誤差等因素影響,列車在橋上運行時的動力響應表現(xiàn)出明顯的隨機性。目前,多隨機因素影響下的橋上列車運行安全越來越受到關注[2]。

蒙特卡羅法(Monto Carlo method, MCS)是車-橋系統(tǒng)隨機振動研究最基本的一種方法[3],它通過大量樣本計算得到車-橋系統(tǒng)動力響應的統(tǒng)計信息。盡管MCS簡單易行,但其所需樣本容量大,效率低。為減少樣本數(shù)量,部分學者提出了方差縮減技術,包括子集模擬[4]、方向模擬[5]和重要性抽樣[6]等。此外,多種高效隨機振動分析方法,如虛擬激勵法[7]、概率密度演化法[8]和時域顯式解法[9]等也被用于解決車-橋系統(tǒng)隨機振動問題,提高了計算效率。盡管如此,當考慮行車安全等小概率事件時,基于理論模型的車-橋隨機振動分析依然效率偏低[10]。

近年來,隨著機器學習的快速發(fā)展,代理模型被逐漸應用于車-橋系統(tǒng)隨機振動研究中[11]。代理模型是指利用一定數(shù)量訓練樣本建立的數(shù)學模型,該模型可以近似表征物理模型。目前常用的代理模型包括克里金模型、支持向量機、徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)和神經(jīng)網(wǎng)絡等。代理模型的計算速度很快,與物理模型相比,其計算成本幾乎可以忽略不計[12]。在利用代理模型進行車-橋系統(tǒng)隨機振動分析的過程中,計算成本主要花費在訓練樣本的計算上。因此,利用何種采樣方法,能夠在不增加訓練樣本數(shù)量的情況下提高代理模型預測精度是研究的關鍵[13]。

目前常用的采樣方法可分為一次性采樣(one-shot sampling, OS)方法和自適應采樣(adaptive sampling, AS)方法。一次性采樣是在建立代理模型之前,一次性確定所有樣本點的數(shù)目和位置,包括隨機抽樣、拉丁超立方抽樣和正交設計等[14]。雖然該類采樣方法能盡可能的減小樣本點集的偏差,但無法根據(jù)目標函數(shù)合理地分配樣本點的位置,導致訓練集樣本信息重復、利用率不高。同時,該類采樣方法也無法事先確定合適的訓練樣本數(shù)量。自適應采樣方法則是先利用少量的初始樣本點構建代理模型,進而利用代理模型和準則函數(shù)在候選樣本點集中選出新的樣本點,并將其添加至訓練集中,用于更新代理模型。如此循環(huán)迭代,直至代理模型滿足精度要求。

目前已有學者將自適應代理模型應用于結構隨機分析中。Zheng等[15]基于U準則函數(shù)建立了自適應克里金代理模型,預測了三跨連續(xù)梁最大靜位移。然而,U準則函數(shù)的局限性較大,僅適用于能夠預測方差的代理模型,這嚴格限制了該方法在其他代理模型(如RBF、BP神經(jīng)網(wǎng)絡)中的應用[16]。Xiang等基于加權采樣法,建立了自適應神經(jīng)網(wǎng)絡代理模型,計算了大型鋼箱梁斜拉橋的失效概率。然而,該研究建立的代理模型僅能保證結構失效位置附近的預測精度,而不是整個概率空間內(nèi)的預測精度,即全局預測精度。Zhou等[17]利用Mo等[18]提出的準則函數(shù),建立了自適應高斯過程回歸代理模型,預測了多層框架結構動力響應的等價極值量,提高了代理模型的全局預測精度。此外,盡管目前已有學者將代理模型應用于車-橋系統(tǒng)隨機響應預測[19-20],并分析了不同代理模型的預測效果,但大都基于一次性采樣方法建立代理模型。

為提高車-橋耦合系統(tǒng)行車安全指標極值預測精度,本文提出了一種自適應代理模型方法。以輪重減載率極值預測為例,建立了車-橋系統(tǒng)自適應代理模型和一次性采樣代理模型,對比分析了兩種代理模型的訓練樣本點分布情況,并結合理論模型計算結果,驗證了所提方法的預測精度和優(yōu)越性。

1 方法框架

本文提出了一種車-橋系統(tǒng)自適應代理模型構建方法,用于行車安全指標極值預測。該方法主要包括車-橋耦合振動理論模型、代理模型和自適應采樣方法三個部分。其中,車-橋耦合振動理論模型用于生成當前訓練集對應的車輛動力響應;代理模型用于建立車-橋系統(tǒng)中隨機變量與行車安全指標極值之間的關系;自適應采樣方法用于在候選樣本點集中選出新的樣本點,更新代理模型,提高預測精度。圖1給出了車-橋耦合系統(tǒng)自適應代理模型構建框架。

圖1 車-橋耦合系統(tǒng)自適應代理模型構建框架Fig.1 Construction framework of adaptive surrogate model for train-bridge system

1.1 車-橋耦合振動模型

車-橋耦合系統(tǒng)由車輛和橋梁子系統(tǒng)組成,并通過輪軌接觸關系相互聯(lián)結。本文分別采用多體動力學和有限元方法建立車輛和橋梁子系統(tǒng)動力學模型,采用線性赫茲接觸彈簧模擬輪軌接觸,最終可建立如下所示車-橋耦合振動方程[21]

(1)

受上座率、制造誤差以及列車運營環(huán)境和季節(jié)等因素影響,車體質(zhì)量、懸掛剛度和阻尼等參數(shù)存在隨機性。因此,車-橋耦合振動方程(式(1))可以改寫為

ΓFr(Θ,t)

(2)

式中:Θ=[Θ1,Θ2…Θd]表示車-橋系統(tǒng)中的隨機變量,例如車體質(zhì)量、懸掛剛度、懸掛阻尼和車速,d表示隨機變量的個數(shù);Γ表示變換矩陣,用于定義系統(tǒng)中受軌道不平順激勵的自由度。在給定的初始條件下,式(2)的解答存在、唯一且依賴于隨機變量Θ。

對于車-橋耦合振動系統(tǒng)而言,通常采用行車安全指標極值來評判列車的運行安全。由于一列車包含多節(jié)車廂,每節(jié)車廂又包含多個車輪,且列車行駛過程中任何一個車輪的行車安全指標都可能超過規(guī)范限值,因此,列車行車安全指標極值W(Θ)需通過下式求得

(3)

式中:Z(Θ,t)={Zj(Θ,t),j=1,2,…,M},Zj(Θ,t)表示第j個車輪的行車安全指標,M表示列車車輪的總數(shù);T表示列車通過橋梁的時間。

1.2 徑向基函數(shù)(RBF)

(4)

式中:θ表示基于選點方法得到的樣本點;ε表示近似誤差;ξ表示代理模型中需要確定的待求系數(shù)。

(5)

其中,

P(θ)=p·c=

(1,θ1,θ2,…,θd)(c1,c2,…,cd,cl)T

(6)

(7)

1.3 自適應采樣方法

通過式(7)可知,待求系數(shù)向量λ和c與訓練樣本{[θi,W(θi)],i=1,2,…n}有直接關系,因此,采樣方法會顯著影響代理模型的預測精度。本文提出的自適應采樣方法主要包括樣本點集的生成和基于準則函數(shù)的新樣本點選取兩個方面。

(1) 樣本點集的生成

本文基于GF偏差最小化準則生成初始樣本集、候選樣本集和驗證集[22]。其中,GF偏差的表達式如下

(8)

(9)

生成樣本點集的具體步驟:首先,在d維單位超立方體中生成Sobol點集U={uq=(uq,1,uq,2,…,uq,d),q=1,2,…,n},并對Sobol點集U進行變換,得到點集Θ={θq=(θq,1,θq,2,…,θq,d),q=1,2,…,n}

(10)

i=1,…,d

(11)

i=1,…,d

(12)

(2) 準則函數(shù)

本文基于Mo等提出的準則函數(shù)來確定新的樣本點。該準則函數(shù)包含全局探索和局部開發(fā)兩個部分。其中,全局探索部分用于發(fā)現(xiàn)樣本點稀疏的區(qū)域,該部分采用樣本點之間的歐氏距離來度量,具體表達式如下

(13)

式中,θt,nr表示當前訓練集Θcur中與候選樣本θ距離最近的樣本點。

(14)

Rrem(θ)=|W(θ)-t(θ,θt,nr)|

(15)

為動態(tài)調(diào)節(jié)全局探索和局部開發(fā)所占權重,定義如下形式的準則函數(shù)

(16)

式中,ω(θ)表示權衡因子,通過式(17)計算

(17)

式中,Lmax表示候選樣本點集中任意兩個樣本點之間距離的最大值。

在計算了所有候選樣本點的準則函數(shù)J(θ)后,可通過下式確定新的樣本點

(18)

通過分析式(16)和(17)可知,在剛開始建立代理模型時,當前訓練集中樣本數(shù)量較少,導致Dmin(θ)值較大,權衡因子ω(θ)較小,全局探索部分占優(yōu)。隨著迭代次數(shù)的增加,當前訓練集中樣本數(shù)量逐漸增加,權衡因子ω(θ)逐漸變大,局部開發(fā)部分逐漸占優(yōu)。

采用如下所示當前誤差(present square error, PSE)來度量當前迭代步中構建的代理模型的精度

(19)

從而,設計迭代終止條件如下所示

(20)

式中:PSE的上標表示迭代步數(shù);εthr表示設定的當前誤差閾值。由于在自適應采樣過程中,PSE會出現(xiàn)顯著的震蕩現(xiàn)象,因此本文要求當PSE連續(xù)4次小于當前誤差閾值εthr,以保證終止條件的穩(wěn)定性。

2 自適應代理模型構建流程

(1) 基于GF偏差最小化準則生成初始樣本點集Θinit和候選樣本點集Θcand(式(10)～(12))。

(2) 利用車-橋耦合系統(tǒng)理論模型(式(2)～(3))計算初始樣本點集Θinit對應的輪重減載率極值Winit=W(Θinit),進而將(Θinit,Winit)設置為當前訓練集(Θcur,Wcur)。

(4) 計算準則函數(shù)J(θ)(式(16)),確定新樣本點θnew(式(18)),計算輪重減載率極值的理論值Wnew=W(θnew)。

總體組是鐵路勘察設計院最基本的生產(chǎn)單元，鑒于總體在項目推進過程中發(fā)揮著最基礎、最完整、最重要的統(tǒng)籌協(xié)調(diào)和把關作用，總體是團隊運作的“領軍人”、信息傳遞的“中間人”、項目控制的“關鍵人”、形象展示的“代言人”。這個表述遠遠高過設計院規(guī)定的崗位職責，明確了總體既負總責，又抓落實，還當代言的角色定位。

3 算例分析

本章分別采用移動車輪加簧上質(zhì)量過簡支梁橋和車-橋耦合系統(tǒng)豎向振動模型來驗證所提方法的有效性?？紤]到對于某一特定橋梁,軌道不平順為確定值,因此本節(jié)采用中國高速鐵路無砟軌道譜生成一條軌道不平順時域樣本作為激勵輸入,建立考慮車輛參數(shù)隨機的輪重減載率預測代理模型。根據(jù)參考文獻[14],本研究通過均方根誤差RMSE評價代理模型的預測精度,其表達式如下

(21)

式中:θval,i表示第i個驗證樣本;m表示驗證集樣本的總數(shù)。

3.1 移動車輪加簧上質(zhì)量過簡支梁橋

本節(jié)考慮2自由度車輛通過32 m簡支梁橋,如圖3所示。其中車輛采用車輪加簧上質(zhì)量模型,橋梁采用平面歐拉梁單元有限元模型,輪軌接觸采用目前常用的線性赫茲接觸模型,其輪軌接觸剛度通過切線斜率法獲得的[23]。為驗證本文所提方法在全局探索和局部開發(fā)方面的能力,選取兩個工況進行分析。工況1:車輛懸掛剛度和懸掛阻尼隨機,并且車速恒定為300 km/h;工況2:車體質(zhì)量和車速隨機。Yu等認為上述隨機變量服從正態(tài)分布,參數(shù)取值如表1所示。車-橋系統(tǒng)其余參數(shù)設置為:輪對質(zhì)量mw=1.2 t,輪軌接觸剛度kh=1.04 MN/m,橋梁彈性模量E=3.55×1010Pa,密度ρ=2.5×103kg/m3,截面抗彎慣性矩I=10.81 m4,截面面積A=8.66 m2。

圖3 移動車輪加簧上質(zhì)量過簡支梁橋Fig.3 Moving wheel and sprung mass passing through simply supported beam bridge

表1 移動車輪加簧上質(zhì)量過簡支梁橋模型隨機參數(shù)Tab.1 Random parameters of a moving wheel and sprung mass passing through a simply supported beam bridge

圖4給出了代理模型誤差隨當前訓練集樣本數(shù)目的變化趨勢,此處當前誤差閾值εthr根據(jù)經(jīng)驗設置為0.002。該誤差較小,當代理模型滿足該誤差閾值時,其預測結果足以滿足行車安全評估的要求。圖中AS和OS分別表示采用自適應采樣和一次性采樣方法建立的代理模型?？梢钥闯?隨訓練樣本點數(shù)目的增加,兩種代理模型的RMSE均呈下降趨勢,但自適應代理模型的預測精度明顯優(yōu)于一次性采樣代理模型。以工況2為例,當自適應代理模型滿足收斂條件時,自適應代理模型和一次性采樣代理模型的RMSE分別為1.4×10-3和2.5×10-3,前者較后者的預測精度提高了1.8倍。這表明,自適應采樣方法能夠在不增加樣本數(shù)量的情況下,顯著提高代理模型預測精度。

(a) 懸掛剛度和阻尼隨機(工況1)

(b) 車體質(zhì)量和車速隨機(工況2)圖4 代理模型誤差隨樣本數(shù)目變化趨勢Fig.4 Variation trend of surrogate model error with sample number

圖5(a)和(d)給出了兩個工況下輪重減載率極值的變化趨勢。可以看出,輪重減載率隨懸掛剛度和懸掛阻尼基本呈線性變化(工況1),而隨車體質(zhì)量和行車速度呈明顯非線性變化(工況2),兩種工況的目標函數(shù)存在顯著差別。結合圖4對自適應代理模型進行分析,由于工況1的目標函數(shù)較為簡單,僅需33個訓練樣本就能滿足終止條件,而工況2的目標函數(shù)相對復雜,需要102個訓練樣本才能滿足終止條件。這說明盡管采用同樣的車-橋耦合振動模型,但由于目標函數(shù)的復雜程度不同,導致建立代理模型時所需的訓練樣本數(shù)量也不同。本文提出的自適應采樣方法能夠逐次選出新樣本點,直至代理模型預測精度滿足設定目標,很好地解決了一次性采樣法難以確定合適的訓練樣本數(shù)量的問題。另外,需要說明的是,在普通個人計算機上建立一次代理模型并利用準則函數(shù)確定下一個樣本點所需的時間僅為0.11 s,這與計算一個車-橋耦合振動樣本所需的時間相比完全可以忽略不記。因此,雖然建立自適應代理模型所需的樣本點要更新迭代,但這對計算效率的影響甚微。

(a) 理論值(工況1)

(b) 一次性采樣(工況1)

(c) 自適應采樣(工況1)

(d) 理論值(工況2)

(e) 一次性采樣(工況2)

(f) 自適應采樣(工況2)圖5 輪重減載率變化趨勢及樣本點分布圖Fig.5 Variation trend of wheel load reduction rate and distribution of sample points

圖5(b)、(c)和(e)和(f)分別為兩種工況下不同代理模型訓練樣本點的分布情況,圖中數(shù)字表示新樣本點的發(fā)現(xiàn)順序。對比圖5(b)和(c)可以看出,自適應代理模型的等高線與目標函數(shù)吻合良好,而一次性采樣代理模型的等高線與目標函數(shù)具有較大差別,表明自適應代理模型的預測精度遠高于一次性采樣代理模型。這是由于一次性采樣未考慮目標函數(shù)的具體形式,樣本點大多集中在均值附近,呈正態(tài)分布(圖5(b)),未能合理分布有限的訓練樣本點,導致訓練樣本點利用率不高。同時,根據(jù)圖5(c)所示新樣本點的發(fā)現(xiàn)順序可以看出,自適應采樣方法能夠有效的識別訓練樣本點稀疏區(qū)域,具有良好的全局開發(fā)能力。

通過圖5(d)可以看出,隨著車體質(zhì)量的降低,輪重減載率逐漸增加,并且車體質(zhì)量越小變化越顯著。同時,在車速為298.8 km/h附近,輪重減載率明顯減小。對比圖5(e)和(f)可以看出,一次性采樣代理模型在樣本集中區(qū)域的預測精度較高,但在樣本稀疏區(qū)域預測精度較差,而自適應代理模型在整個樣本空間內(nèi)均有良好的預測精度。通過圖5(f)可以看出,自適應代理模型的樣本點在車輛質(zhì)量較小的區(qū)域和車速為298.8 km/h附近(圖5(f)虛線位置)較為密集,其他區(qū)域較為稀疏。這表明,自適應采樣方法有效的識別了目標函數(shù)非線性較強區(qū)域,并對該區(qū)域進行了樣本點加密,體現(xiàn)了自適應采樣局部探索的能力。

3.2 車-橋豎向耦合振動模型

圖6 軌道-橋梁模型Fig.6 Track-bridge model

(a) 主梁

(b) 橋墩圖7 橋梁截面示意圖Fig.7 Schematic diagram of bridge

圖8 車輛模型Fig.8 Model of vehicle

表2 車輛隨機參數(shù)Tab.2 Random parameters of vehicle

圖9給出了代理模型誤差隨當前訓練集樣本數(shù)目的變化趨勢,此處當前誤差閾值εthr設置為8×10-4?？梢钥闯?自適應代理模型的預測精度始終高于一次性采樣代理模型。在樣本數(shù)目達到203個時,自適應代理模型滿足終止條件。此時,自適應代理模型和一次性采樣代理模型的預測誤差分別為0.64×10-3和1.6×10-3,即,前者的預測精度是后者的2.5倍。圖10為預測值和理論值的對比圖,可以看出自適應代理模型較一次性采樣代理模型更靠近理論值。在輪重減載率較小和較大的區(qū)域,一次性采樣代理模型的預測值與理論值偏差更大。這是由于一次性采樣的訓練樣本大多集中在隨機參數(shù)均值附近,離均值較遠的位置樣本點較少,預測精度較差。

圖9 代理模型誤差隨樣本數(shù)目變化趨勢Fig.9 Variation trend of surrogate model error with sample number

圖10 預測值和理論值對比Fig.10 Comparison between predicted value and theoretical value

圖11給出了代理模型預測值的統(tǒng)計信息。圖11(a)為基于兩種代理模型預測的輪重減載率極值箱形圖?？梢钥闯?一次性采樣代理模型在輪重減載率較小的區(qū)域出現(xiàn)大量異常值,這與理論模型的計算結果差異較大,而自適應代理模型的預測結果與理論模型較為接近。圖11(b)和(c)分別為概率密度函數(shù)和累計分布函數(shù),可以看出,在輪重減載率較大和較小的區(qū)域自適應代理模型的預測結果與理論值更為接近,這與圖10的分析結果一致。

(a) 輪重減載率極值

(b) 概率密度函數(shù)

(c) 累計分布函數(shù)圖11 代理模型預測值統(tǒng)計圖Fig.11 Statistical graph of predicted value of surrogate model

4 結 論

本文提出了一種車-橋耦合振動系統(tǒng)行車安全指標極值預測的自適應代理模型構建方法。以移動車輪加簧上質(zhì)量過簡支梁橋和車-橋耦合系統(tǒng)豎向振動模型為例,分別建立了輪重減載率預測的自適應代理模型和一次性采樣代理模型,并對比分析了兩種代理模型的訓練樣本點分布情況及預測精度,得到如下結論:

(1) 自適應代理模型能夠有效提高輪重減載率極值預測精度。就移動車輪加簧上質(zhì)量過簡支梁橋和車-橋耦合系統(tǒng)豎向振動模型而言,自適應代理模型較一次性采樣代理模型的預測精度分別提高了1.8倍和2.5倍。

(2) 一次性采樣代理模型僅在均值附近預測精度較高,而自適應代理模型在整個樣本空間內(nèi)均有良好的預測精度。這是因為自適應代理模型具有良好的全局探索和局部開發(fā)能力,能夠發(fā)現(xiàn)訓練集樣本點稀疏區(qū)域和目標函數(shù)強非線性區(qū)域,并對這些區(qū)域進行樣本點加密,從而提高代理模型在輪重減載率較大和較小區(qū)域的預測精度。

(3) 自適應代理模型通過循環(huán)迭代的方式逐一增加訓練樣本的數(shù)量,直至當前誤差滿足終止條件,很好地解決了一次性采樣法難以確定合適的訓練樣本數(shù)量的問題。以本文車-橋系統(tǒng)豎向隨機振動計算為例,達到預測精度所需樣本數(shù)量為203個。