李得洋, 吳少培, 李國芳, 丁旺才, 丁 杰, 俞力洋, 衛(wèi)曉娟

(1.蘭州交通大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院,蘭州 730070; 2.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070;3.上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 軌道交通學(xué)院,上海 201418)

分段線性系統(tǒng)是一類很有代表性的非光滑系統(tǒng),它廣泛存在于實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)[1-3]中,因此對此類系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。由于此類系統(tǒng)具有非連續(xù)性或非光滑性,學(xué)者們主要通過解析、數(shù)值和近似解析的方法對系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的存在性、穩(wěn)定性及混沌運(yùn)動(dòng)的生成及演化機(jī)理開展相應(yīng)的研究。Shaw等[4]針對一類單自由度分段線性碰撞振動(dòng)系統(tǒng),通過建立系統(tǒng)的Poincaré映射,研究了系統(tǒng)周期響應(yīng)的穩(wěn)定性問題。Hu等[5]針對分段光滑系統(tǒng),研究了非光滑向量場對系統(tǒng)Poincaré映射可微性的影響。利用數(shù)值和實(shí)驗(yàn)方法,Ma等[6]系統(tǒng)研究了四類彈性碰振系統(tǒng)在擦邊點(diǎn)附近Poincaré映射的Jocobi矩陣特征值和跡的變化情況。Jiang等[7]把不連續(xù)幾何方法從含剛性約束的碰撞振子應(yīng)用到含彈性約束的碰撞振子中,研究了含單邊彈性約束系統(tǒng)的擦邊分岔。Miao等[8]應(yīng)用中心流形定理,研究了一類考慮搖頭阻尼非光滑的兩自由度輪對的Hopf分岔類型及穩(wěn)定性。Floquet理論是開展分段線性系統(tǒng)穩(wěn)定性及分岔研究的理論基礎(chǔ),Leine等[9]給出了一般意義下分段線性系統(tǒng)周期解的Floquet理論,王強(qiáng)等[10]利用Floquet理論揭示了軸承外圈故障系統(tǒng)(等效為三自由度分段光滑系統(tǒng))經(jīng)Neimark-Sacker分岔通向混沌的路徑。分段線性系統(tǒng)往往是一個(gè)多參數(shù)系統(tǒng),在多個(gè)參數(shù)協(xié)同變化下,朱喜鋒等[11]研究了一類兩自由度含間隙約束碰撞系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)分布區(qū)域,并揭示了系統(tǒng)的顫碰運(yùn)動(dòng)特性。Li等[12]以含兩種非光滑因素的碰撞振子為研究對象,研究了在參數(shù)平面上由擦邊分岔等引起的黏滯運(yùn)動(dòng)、顫振運(yùn)動(dòng)和周期陷窩的形成機(jī)理;并進(jìn)一步分析了高頻區(qū)內(nèi)系統(tǒng)共存吸引子及其吸引域的分布情況。

吸引子共存是非光滑系統(tǒng)的一種內(nèi)在的特性,是指在給定參數(shù)下系統(tǒng)存在兩種及兩種以上的獨(dú)立動(dòng)態(tài)響應(yīng)。鑒于分段線性系統(tǒng)對初始條件的依賴性,采用胞映射法可以更全面地探索此類非光滑系統(tǒng)在振動(dòng)中的深層次問題。林何等[13]建立了功率分流直齒輪系統(tǒng)非線性振動(dòng)模型,結(jié)合胞映射與區(qū)域分解思想構(gòu)建了全局解域求解算法,揭示了系統(tǒng)的全局解域特性及各種潛在動(dòng)力學(xué)行為。吳鑫等[14]針對一類受擬周期激勵(lì)的具有懸臂結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng),研究了在參數(shù)變化下系統(tǒng)的奇異非混沌動(dòng)力學(xué)及多穩(wěn)態(tài)共存現(xiàn)象。Yue等[15]通過復(fù)合胞坐標(biāo)系法,研究了一類含單邊彈性約束碰振系統(tǒng)的吸引子、吸引域和混沌鞍等全局性態(tài),揭示了內(nèi)部激變和邊界激變這兩類激變的演化過程。張惠等[16]利用簡單胞映射法,分析了含間隙及預(yù)緊彈簧激振系統(tǒng)由鞍結(jié)分岔、周期倍化分岔及邊界碰撞分岔誘導(dǎo)出現(xiàn)的吸引子共存情況。Shen等[17]研究了一類非光滑系統(tǒng)(雙頻驅(qū)動(dòng)的鉸接式系泊塔模型)在初始條件變化時(shí)奇異的非混沌吸引子共存特征。

對于運(yùn)動(dòng)的主動(dòng)控制而言,吸引子共存表明可通過初值擾動(dòng)或施加外力實(shí)現(xiàn)具有不同動(dòng)態(tài)特性的吸引子相互遷移。針對非光滑系統(tǒng)的共存吸引子轉(zhuǎn)遷研究,學(xué)者們主要針對單自由度分段線性系統(tǒng)[18],文獻(xiàn)[19]雖然利用線性反饋實(shí)現(xiàn)了一類兩自由度含彈性約束非光滑系統(tǒng)共存吸引子的轉(zhuǎn)遷,但對多態(tài)共存區(qū)的辨識(shí)及轉(zhuǎn)遷機(jī)理未作定性分析,且對控制方法的穩(wěn)定性及控制參數(shù)的選取未給出解決方案。本文以一類兩自由度含間隙分段線性系統(tǒng)為研究對象,利用胞映射法和響應(yīng)微擾計(jì)算方法對共存吸引子的分布及轉(zhuǎn)遷開展研究;同時(shí)利用系統(tǒng)分段線性的特性,通過構(gòu)造一組線性矩陣不等式來得到線性反饋控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)共存吸引子轉(zhuǎn)遷的穩(wěn)定性條件,仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性。通過吸引子轉(zhuǎn)遷控制可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的減振、混沌控制和分岔控制。

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1為兩自由度含間隙分段線性系統(tǒng)的力學(xué)模型,質(zhì)量為M1和M2的振子分別由剛度為K1和K2的線性彈簧以及阻尼系數(shù)為C1和C2的線性阻尼器連接,在簡諧激振力Fisin(ΩT+τ)(i=1,2)(其中Ω、T和τ分別為激勵(lì)頻率、時(shí)間和相位角)的作用下沿水平方向振動(dòng)。以系統(tǒng)的靜平衡位置為空間坐標(biāo)的原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,振子M1和M2的位移分別為X1和X2,在振子M1的右側(cè)固定有剛度為K3的彈性約束。在簡諧激勵(lì)的作用下,當(dāng)振子M1的位移小于D1時(shí),系統(tǒng)為兩自由度的線性振動(dòng)系統(tǒng);而當(dāng)振子M1的位移大于D1時(shí),振子會(huì)與右側(cè)的彈性約束發(fā)生碰撞并接觸在一起振動(dòng),由于間隙的存在和碰撞的產(chǎn)生,系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性和非光滑的特性。

無量綱化有

(1)

Ajsin(ωt+τ0)+Bjcos(ωt+τ0))(x1≤d1)

(2)

(3)

2 系統(tǒng)n-1周期運(yùn)動(dòng)的周期解

在系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下,取振子M1與右側(cè)約束面碰后瞬間為時(shí)間坐標(biāo)原點(diǎn)(t=0),振子M1經(jīng)歷時(shí)間t1與右側(cè)約束面脫離,再經(jīng)歷時(shí)間t2與右側(cè)約束面再次碰撞,若t1和t2滿足t1+t2=2nπ/ω,系統(tǒng)就存在n-1周期運(yùn)動(dòng)(用符號(hào)n-p表示系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng),其中n為激勵(lì)周期,p表示振子以正向速度與右側(cè)約束面碰撞的次數(shù))。系統(tǒng)n-1周期運(yùn)動(dòng)的周期條件、邊界條件和銜接條件可表示為

為便于周期運(yùn)動(dòng)推導(dǎo),引入下列符號(hào)

n11=n22=cosωt1,n12=-sinωt1,n21=sinωt1

則系統(tǒng)n-1周期運(yùn)動(dòng)的周期解可表示為

(4)

CS=[cosτ,sinτ,cosτ,sinτ]T,

Q=[ψ11c1+ψ12c2,0,0,0]T,

將t=0及t=t1+代入式(4),可得積分常數(shù)關(guān)于初始條件的表達(dá)式

J=Φ1(0)-1(z(0)-M1(0)CS-Q)

(5)

(6)

(7)

其中

Z11(t)=Φ(t)Φ(0)-1,

Z12(t)=M(t)-Φ(t)Φ(0)-1M(0),

(8)

其中

L=(Ι-Z21(t2)Z11(t1))-1(Z22(t2)+

Z21(t2)Z12(t1))=(lij)4×4;

H=(Ι-Z21(t2)Z11(t1))-1Z21(t2)(Ι-

Z11(t1))Q=(hij)4×1;

由初始條件x1(0)=d1,x1(t1)=d1可得初相位

τ=

(9)

τ=

(10)

其中

δ1=l11+l13,δ2=l12+l14,

根據(jù)初相位的表達(dá)式可得系統(tǒng)n-1周期運(yùn)動(dòng)的存在條件為

根據(jù)t1+t2=2nπ/ω,以及系統(tǒng)n-1周期運(yùn)動(dòng)的銜接條件,可得僅關(guān)于時(shí)間t1的表達(dá)式

(11)

通過數(shù)值方法可求解出方程的根t1,進(jìn)而可確定系統(tǒng)n-1周期解。

3 系統(tǒng)Poincaré映射的建立及穩(wěn)定性分析

為研究系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和局部分岔問題,建立兩個(gè)Poincaré映射

θ=mod(ωt,2π/ω)};

選擇定相位面Σn可以統(tǒng)計(jì)出系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的周期數(shù);選擇約束面Σp可以統(tǒng)計(jì)出振子與約束面的碰撞次數(shù)。以定相位面Σn構(gòu)造系統(tǒng)Poincaré映射,根據(jù)響應(yīng)微擾計(jì)算方法[20]可得到系統(tǒng)的Floquet矩陣,具體計(jì)算步驟如下:

步驟1對系統(tǒng)進(jìn)行求解,并確定其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為nT(T為系統(tǒng)周期,n≥1)。

根據(jù)Li等方法可計(jì)算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)。Lyapunov指數(shù)既可確定周期和混沌運(yùn)動(dòng)的分布區(qū)域,又可甄別周期與混沌運(yùn)動(dòng)、周期與擬周期運(yùn)動(dòng)共存的區(qū)域,另外結(jié)合分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖可研究各個(gè)共存周期運(yùn)動(dòng)在參數(shù)變化時(shí)出現(xiàn)的各種分岔。

4 基于LMI的線性反饋控制器穩(wěn)定性分析

如圖1所示系統(tǒng)施加線性反饋控制器后,被控系統(tǒng)可表示為

G(x1)=fsin(ωt+τ)

(12)

選取線性反饋增益矩陣

式中,u1、r和u2為控制參數(shù)。

將式(1)用一階形式表示

(13)

Λ2=

施加線性反饋控制器后,被控系統(tǒng)式(12)可表示為

(14)

定義目標(biāo)系統(tǒng)為

(15)

(16)

誤差系統(tǒng)可簡化的表示為

(17)

式中,i,j=1,2,Λij=Λi-Λj,fij=fi-fj。Λi和Λj符合下面的關(guān)系

Λi=Λj+GijHT

(18)

式中,Gij∈4×1。將Λi和Λj用向量Gij聯(lián)系起來,可防止線性矩陣不等式在求解時(shí)出現(xiàn)半負(fù)定的情況。

為了證明誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性,建立如下的Lyapunov函數(shù)

V(Δy)=ΔyTPΔy,P=PT>0

(19)

由于目標(biāo)系統(tǒng)和被控系統(tǒng)自身存在各個(gè)向量場之間的相互切換,為了降低保守性,在誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性分析過程中,基于Lyapunov函數(shù)來構(gòu)造穩(wěn)定性條件;為了進(jìn)一步降低保守性,將向量場信息通過S-procedure考慮進(jìn)穩(wěn)定性條件,使得式(19)所示的Lyapunov函數(shù)為正定以及其微分為負(fù)定的性質(zhì)不需要在整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)成立,而只需要在對應(yīng)的向量場內(nèi)成立即可。

ΔyT[(Λi-L)TP+P(Λi-L)+αP]Δy≤0

(20)

當(dāng)[(Λi-L)TP+P(Λi-L)+αP]≤0時(shí),可保證式(20)成立。

若被控系統(tǒng)和目標(biāo)系統(tǒng)分別出處于不同的向量場時(shí)有

(HT(yp+Δy)-d1)(HTyp-d1)≤0或

(HTyp-d1)(HT(yp+Δy)-d1)≤0

(21)

式(21)可表示為

(22)

當(dāng)誤差系統(tǒng)在HTyp-d1≤0且HT(yp+Δy)-d1>0或HTyp-d1>0且HT(yp+Δy)-d1≤0的向量場內(nèi),式(22)所示的Lyapunov函數(shù)是負(fù)定的。根據(jù)S-procedure,始終存在常數(shù)λ1>0和λ2>0使得下式成立

(23)

結(jié)合式(20),可得誤差系統(tǒng)全局穩(wěn)定的條件(即被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件)

當(dāng)i=j時(shí)

ΔyT[(Λi-L)TP+P(Λi-L)+αP]Δy≤0

(24)

當(dāng)i≠j時(shí)

(25)

(26)

式(24)、(25)和(26)是關(guān)于{P,L,λ1,λ2}的非線性矩陣不等式,但是關(guān)于{P,PL,LTP,λ1,λ2}的線性矩陣不等式。因此,利用線性矩陣不等式的相關(guān)求解器可有效地解決這些問題。如果存在矩陣P=PT>0,并且存在正實(shí)數(shù)λ1與λ2,滿足式(24)、(25)和(26),則誤差系統(tǒng)(16)是漸近穩(wěn)定的,可以實(shí)現(xiàn)共存吸引子的轉(zhuǎn)遷。

5 仿真研究與分析

5.1 系統(tǒng)共存吸引子產(chǎn)生及湮滅分析

取基準(zhǔn)參數(shù)①:ω∈[2,3.5],μm=0.5,ξ=0.1,μk2=0.7,μk3=0.95,d1=0.1,μc=0.5,f20=0,結(jié)合胞映射方法,可數(shù)值仿真得到在狀態(tài)平面上系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖,如圖2所示。圖中用不同的顏色表示共存的不同吸引子或分岔分支,每個(gè)分岔分支及其對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)變化曲線用相同顏色表示。

(a)

(b)

(c)

(d) 圖2(a)對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖

(e) 圖2(b)對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖

(f) 圖2(c)對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)圖圖2 系統(tǒng)的多初值分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖Fig.2 Global bifurcation and corresponding Lyapunov exponents with multi-initial points

激勵(lì)頻率在ω∈[ω1,ω2]區(qū)間內(nèi)變化時(shí),主要存在1-1與3-3周期運(yùn)動(dòng)(吸引域分布如圖3(a)所示)、1-1周期運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)(吸引域分布如圖3(b)所示)以及3-2與2-2周期運(yùn)動(dòng)共存等。在此區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)的多態(tài)共存區(qū)之間主要以倍周期分岔進(jìn)行轉(zhuǎn)遷。在ω=ω2處,3-2周期運(yùn)動(dòng)的特征值為:λ1=0.999 923,|λ2,3,4|<1;若ω繼續(xù)增大,3-2周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為2-2周期運(yùn)動(dòng),共存現(xiàn)象隨即消失。在ω1處,3-3周期運(yùn)動(dòng)的特征值為:λ1=1.000 196,|λ2,3,4|<1;若ω減小,3-3周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為1-1周期運(yùn)動(dòng),共存現(xiàn)象隨即消失,系統(tǒng)只存在1-1周期運(yùn)動(dòng)。

(a) ω=1.740 3

(b) ω=1.740 5

(c) ω=3.086 0

(d) ω=3.500 7

(e) ω=2.298 0圖3 吸引域圖Fig.3 Basins of attraction of the system

在ω∈[ω3,ω6]區(qū)間內(nèi),由于對初始狀態(tài)的敏感性,隨著ω的遞減,在狀態(tài)平面上系統(tǒng)的分岔圖依次存在三個(gè)和兩個(gè)分支,不同的分支在一些特殊分岔點(diǎn)處會(huì)進(jìn)行轉(zhuǎn)遷或合并,從而造成多態(tài)共存區(qū)的轉(zhuǎn)遷或消失。在ω=ω4處,若ω減小系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔,5-3周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為7-4周期運(yùn)動(dòng);在ω=ω5處,若ω增大系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔(擦邊相圖如圖4(a)所示),5-3周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為5-2周期運(yùn)動(dòng)。在ω4和ω5處擦邊分岔未對共存吸引子的個(gè)數(shù)產(chǎn)生影響,但實(shí)現(xiàn)了不同共存區(qū)的轉(zhuǎn)遷。在ω=ω3處,7-4周期運(yùn)動(dòng)的特征值為

(a) 5-2擦邊周期運(yùn)動(dòng)

(b) 1-0和3-1擦邊周期運(yùn)動(dòng)圖4 系統(tǒng)擦邊運(yùn)動(dòng)的相圖Fig.4 Phase plane of grazing motion

λ1=1.000 043,|λ2,3,4|<1。

若ω減小,系統(tǒng)將發(fā)生鞍結(jié)分岔,7-4周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為2-1周期運(yùn)動(dòng),從而7-4周期運(yùn)動(dòng)所在的分支和2-1周期運(yùn)動(dòng)所在的分支合并,系統(tǒng)僅存在2-1周期運(yùn)動(dòng),共存現(xiàn)象隨即消失。

在ω=ω6處,5-2周期運(yùn)動(dòng)的特征值為

λ1=1.000 065,|λ2,3,4|<1。

若ω增大,系統(tǒng)將發(fā)生鞍結(jié)分岔,5-2周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)(從圖2(f)所示的Lyapunov指數(shù)圖可觀察到),從而形成混沌運(yùn)動(dòng)、2-1和3-2周期運(yùn)動(dòng)共存的多態(tài)共存區(qū)(吸引域分布如圖3(c)所示);隨著ω的繼續(xù)增大混沌吸引子與其吸引域邊界發(fā)生碰撞出現(xiàn)邊界激變造成混沌吸引子的消失,之后系統(tǒng)中只保留2-1和3-2周期運(yùn)動(dòng)共存。類似的邊界激變現(xiàn)象在ω5附近也可以觀察到,此處3-2周期運(yùn)動(dòng)所在的分支隨著邊界激變的發(fā)生而消失,之后系統(tǒng)中僅存在5-3和2-1周期運(yùn)動(dòng)共存。

在ω=ω8處,3-1周期運(yùn)動(dòng)的特征值為

λ1=1.000 187,|λ2,3,4|<1。

若ω增大,系統(tǒng)將發(fā)生鞍結(jié)分岔,3-1周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為1-0周期運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)吸引子共存現(xiàn)象也隨之消失,系統(tǒng)中只保留1-0周期運(yùn)動(dòng)(如圖2(a)所示)。若ω繼續(xù)減小,共存的3-1與1-0周期運(yùn)動(dòng)(吸引域分布如圖3(d)所示)在不同的初始條件下同時(shí)發(fā)生擦邊分岔(擦邊相圖如圖4(b)所示),轉(zhuǎn)遷為3-2與1-1周期運(yùn)動(dòng)的多態(tài)共存區(qū);隨著ω持續(xù)減小,1-1周期運(yùn)動(dòng)發(fā)生Hopf分岔(在ω=3.298處系統(tǒng)的特征值為:|λ1,2|=1.000 788,|λ3,4|<1)轉(zhuǎn)遷為擬周期運(yùn)動(dòng),此時(shí)出現(xiàn)擬周期運(yùn)動(dòng)與3-2周期運(yùn)動(dòng)共存的多態(tài)共存區(qū)(吸引域分布如圖3(e)所示,結(jié)合圖2(g)所示的狀態(tài)平面上的Lyapunov指數(shù)圖可觀察并驗(yàn)證);隨著ω的繼續(xù)減小擬周期運(yùn)動(dòng)最終進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng),并且由于邊界激變造成混沌吸引子消失,共存現(xiàn)象隨即消失。

5.2 系統(tǒng)共存吸引子轉(zhuǎn)遷驗(yàn)證分析

通過上面數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn),在某些參數(shù)條件下,圖1所示系統(tǒng)因?qū)Τ跏紶顟B(tài)的敏感性,會(huì)穩(wěn)定運(yùn)行于若干個(gè)不同的吸引子上。針對圖1所示系統(tǒng)對初始狀態(tài)的敏感性,以系統(tǒng)共存的某一個(gè)吸引子對應(yīng)的軌道作為目標(biāo)軌道,而另一吸引子對應(yīng)的軌道作為被控軌道,通過施加線性反饋控制器,對被控軌道進(jìn)行力驅(qū)動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)吸引子之間的轉(zhuǎn)遷。

取控制參數(shù)r=1、u1=5和u2=5,其余參數(shù)均為基準(zhǔn)參數(shù)①,通過Matlab的YALMIP工具包對式(24)、(25)和(26)進(jìn)行求解,可得為保證控制的穩(wěn)定性而增加的帶有約束條件的參數(shù)

P(i,i)>0(i=1,2,3,4),det(P)=5.038 6>0;

λ1=16.899 6>0;λ2=16.394 7>0。

由于上述參數(shù)的解都符合假定的約束條件,所以在此控制參數(shù)下可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)不同吸引子之間的轉(zhuǎn)遷。

在軌道轉(zhuǎn)遷的過程中,紅色軌線代表目標(biāo)軌道,黑色的軌線代表控制過程,淡藍(lán)色軌道代表被控軌道。當(dāng)e(t)<ε(e(t)為被控和目標(biāo)軌道之間的距離,ε為控制精度,設(shè)置為0.000 01)時(shí)令s(t)=diag(0,0)控制退出,此時(shí)系統(tǒng)可成功轉(zhuǎn)遷到目標(biāo)周期軌道。在不同吸引子轉(zhuǎn)遷的效果圖中用以下符號(hào)表示控制的不同狀態(tài):控制開始位置(control start position, CSP);控制結(jié)束位置(control end position, CEP);控制開始時(shí)間(control start time, CST)。

通過數(shù)值方法對上述控制方法和參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。由前面的分析結(jié)果可知,在ω=1.740 3時(shí)3-3周期運(yùn)動(dòng)與1-1周期運(yùn)動(dòng)共存。將3-3周期運(yùn)動(dòng)軌道作為被控軌道,而1-1周期運(yùn)動(dòng)軌道作為目標(biāo)軌道,在3-3與1-1周期運(yùn)動(dòng)軌道之間距離最小時(shí)施加控制,如圖5所示。圖5(a)、(b)、(c)和(d)分別為將3-3周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至1-1周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的相圖和位移、反饋控制力和控制誤差的時(shí)間歷程圖。結(jié)合圖5(d)可看出,當(dāng)控制未施加時(shí)系統(tǒng)被控軌道和目標(biāo)軌道之間的距離變化具有周期性,被控系統(tǒng)會(huì)穩(wěn)定運(yùn)行在振幅較大的3-3周期運(yùn)動(dòng)上。結(jié)合圖5(a)、(b)、(c)可看出,當(dāng)施加控制后,被控軌道在線性反饋控制力的作用下快速向目標(biāo)軌道遷移,且反饋輸入力和控制誤差會(huì)隨著被控軌道和目標(biāo)軌道之間距離的減小而逐漸減小;在控制施加前和控制完成后,線性反饋控制力都為零,說明此種方法不需要能量的持續(xù)輸入。在實(shí)際系統(tǒng)中,還需考慮是否限制控制器輸入的上限值,若控制器輸入比較大時(shí),直接施加如此大的一個(gè)反饋控制力可能會(huì)對系統(tǒng)產(chǎn)生不利的影響或者損壞控制器。

(a) 相軌跡轉(zhuǎn)遷過程

(b) 位移轉(zhuǎn)遷過程

(c) 反饋控制力的時(shí)間歷程圖

(d) 控制誤差時(shí)間歷程圖圖5 3-3周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至1-1周期運(yùn)動(dòng)的效果圖Fig.5 The effect chart of 3-3 periodic motion migrating to 1-1 periodic motion

將1-1周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至3-3周期運(yùn)動(dòng)的過程如圖6所示;將混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至1-1周期運(yùn)動(dòng)過程如圖7所示;將擬周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至3-2周期運(yùn)動(dòng)的過程如圖8所示;將1-0周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至3-1周期運(yùn)動(dòng)的過程如圖9所示。

(a) 相軌跡轉(zhuǎn)遷過程

(b) 位移轉(zhuǎn)遷過程圖6 1-1周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至3-3周期運(yùn)動(dòng)的效果圖Fig.6 The effect chart of 1-1 periodic motion migrating to 3-3 periodic motion

(a) 相軌跡轉(zhuǎn)遷過程

(b) 位移轉(zhuǎn)遷過程圖7 混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至1-1周期運(yùn)動(dòng)的效果圖Fig.7 The effect chart of chaotic motion migrating to 1-1 periodic motion

(a) 相軌跡轉(zhuǎn)遷過程

(b) 位移轉(zhuǎn)遷過程圖8 擬周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至3-2周期運(yùn)動(dòng)的效果圖Fig.8 The effect chart of quasi-periodic motion migrating to 3-2 periodic motion

(a) 相軌跡轉(zhuǎn)遷過程

(b) 位移轉(zhuǎn)遷過程圖9 1-0轉(zhuǎn)遷至3-1周期運(yùn)動(dòng)的效果圖Fig.9 The effect chart of 1-0 periodic motion migrating to 3-1 periodic motion

由上述仿真結(jié)果可見,利用本文方法能夠很好地實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)共存吸引子之間的相互轉(zhuǎn)遷。上述周期運(yùn)動(dòng)之間的相互轉(zhuǎn)遷,不僅可調(diào)整系統(tǒng)與約束面的關(guān)系,使系統(tǒng)按照不同的使用要求工作;當(dāng)激勵(lì)頻率正向或反向迭代時(shí)還可控制各種分岔的發(fā)生;將混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷周期運(yùn)動(dòng),可實(shí)現(xiàn)對混沌運(yùn)動(dòng)的控制。

在控制過程中,控制開始狀態(tài)的設(shè)置需考慮目標(biāo)軌道和被控軌道之間距離對控制效果的影響,當(dāng)目標(biāo)軌道和被控軌道之間距離較大時(shí)施加控制,則在控制初始時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)會(huì)出現(xiàn)較大的跳動(dòng),反饋控制力較大,且控制過程持續(xù)時(shí)間較長;而當(dāng)目標(biāo)軌道和被控軌道之間距離較小時(shí)施加控制,則在控制初始時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的過渡會(huì)比較平穩(wěn),反饋控制力最小,且控制過程持續(xù)時(shí)間也最短。以1-1周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷至3-3周期運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行驗(yàn)證。選取三倍激勵(lì)周期內(nèi)被控軌道和目標(biāo)軌道之間距離的局部極大值點(diǎn)(B和C)以及全局的最大值點(diǎn)(D)和最小值點(diǎn)(A)(如圖10(a)所示)分別為控制開始狀態(tài)進(jìn)行控制。圖10(b)為反饋控制力的時(shí)間歷程圖,表1為不同控制開始狀態(tài)下反饋控制力的最大值和控制過程持續(xù)時(shí)間。從圖10(b)和表1可看出,不同的控制開始狀態(tài)需要的反饋控制力和控制過程經(jīng)歷時(shí)間不同,當(dāng)e(t)最大時(shí)需要的控制力最大,控制過程持續(xù)時(shí)間也最長;而e(t)最小時(shí)需要的控制力最小,控制過程持續(xù)時(shí)間也最短;所以在此類系統(tǒng)的共存吸引子轉(zhuǎn)遷控制過程中應(yīng)選擇被控軌道和目標(biāo)軌道之間距離最小時(shí)施加控制。

(a) 控制誤差的時(shí)間歷程圖

(b) 反饋控制力的時(shí)間歷程圖圖10 不同控制開始狀態(tài)對反饋控制力的影響Fig.10 The effect of different control starting positions on feedback control force

表1 不同控制開始狀態(tài)下的控制性能Tab.1 Control performance under different control start states

6 結(jié) 論

針對兩自由度含間隙分段線性系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象,利用線性反饋控制對共存吸引子實(shí)現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)遷,可以得到如下結(jié)論:

(1) 相鄰吸引子之間的相互轉(zhuǎn)遷由系統(tǒng)參數(shù)和初始狀態(tài)共同決定;鞍結(jié)分岔是引起此類系統(tǒng)產(chǎn)生吸引子共存的主要原因,倍周期分岔和擦邊分岔不會(huì)對共存吸引子的吸引域結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響,但能實(shí)現(xiàn)不同共存區(qū)的轉(zhuǎn)遷,邊界激變是混沌吸引子及其吸引域突然消失的主要原因。

(2) 施加線性反饋控制器后,通過構(gòu)造二次Lyapunov函數(shù),利用LMI理論并結(jié)合系統(tǒng)分段線性的特點(diǎn),可將被控系統(tǒng)的向量場信息通過S-procedure考慮進(jìn)穩(wěn)定性條件,從而將線性反饋控制的穩(wěn)定性和反饋增益矩陣的選取問題轉(zhuǎn)化為LMI描述,這樣可解決線性反饋控制在實(shí)現(xiàn)分段線性系統(tǒng)共存吸引子轉(zhuǎn)遷中的穩(wěn)定性分析及反饋增益矩陣選取問題。

(3) 在此類系統(tǒng)共存吸引子轉(zhuǎn)遷控制過程中,應(yīng)選擇被控軌道和目標(biāo)軌道之間距離最小時(shí)開始施加控制。吸引子之間的相互轉(zhuǎn)遷一方面可使系統(tǒng)工作在理想的周期運(yùn)動(dòng)上;另一方面可控制混沌運(yùn)動(dòng)的發(fā)生,達(dá)到提高系統(tǒng)穩(wěn)定性及減振性能的目的。