潘佳煊, 錢孟波, 孫福興, 虞 浪, 陳 強(qiáng)

(浙江農(nóng)林大學(xué) 光機(jī)電工程學(xué)院,杭州 311300)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、精度高和承載能力大的優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域。將2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為農(nóng)業(yè)中谷物清選振動(dòng)篩的主要機(jī)構(gòu),相比于傳統(tǒng)振動(dòng)篩,使篩面獲得空間多維運(yùn)動(dòng),加快物料的散開速度,提高透篩效率,增加使用壽命。

在以往的振動(dòng)篩系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性研究中,學(xué)者們都將整個(gè)振動(dòng)篩系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)多剛體系統(tǒng)[1-2]。這種方法忽視了系統(tǒng)中構(gòu)件的材料彈性屬性,在實(shí)際工作過程中相應(yīng)的構(gòu)件會(huì)產(chǎn)生彈性變形,并且由于機(jī)械加工制造和機(jī)器在高速情況下工作而造成的摩擦磨損等因素產(chǎn)生間隙,以上都可能會(huì)影響機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定性和使用壽命。因此,有必要綜合考慮間隙與構(gòu)件柔性對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響,并量化對(duì)機(jī)構(gòu)各指標(biāo)的影響程度,從而提供理論參考。

近年來,學(xué)者們?cè)趯?duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性分析中考慮并引入了間隙或構(gòu)件柔性。Flores[3]建立了連續(xù)接觸碰撞力模型,并對(duì)具有間隙的平面四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析。Bai等[4-5]提出了一種改進(jìn)的非線性連續(xù)接觸力混合模型,以四連桿機(jī)構(gòu)為對(duì)象分析了轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)間隙的平面機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。Qian[6]等用帶間隙的三維平移關(guān)節(jié)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn),以揭示滑道和滑塊之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)特性,利用Poincaré映射和Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證了帶間隙平移關(guān)節(jié)中存在混沌行為。Erkaya等[7]提出含間隙四連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型,為了控制連桿的柔性改變連桿的截面尺寸,來研究柔性對(duì)間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響。孫杰等[8]提出一種含間隙鉸接的航天器剛?cè)狁詈夏Ｐ徒⑴c控制方法,來減緩間隙對(duì)航天器動(dòng)態(tài)特性造成的影響。

信息熵作為一種非常重要的非線性分析方法,被廣泛運(yùn)用于計(jì)算機(jī)、機(jī)械、數(shù)學(xué)、金融等領(lǐng)域?；谛畔㈧靥岢隽撕芏嘞嚓P(guān)的方法,如交叉熵[9]、功率譜熵[10]、基于EEMD的奇異譜熵[11]等。Qian等[12]運(yùn)用信息熵理論,提出了一種含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)非線性分析的新方法,對(duì)圓柱間隙關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)的非線性行為進(jìn)行定量分析。熵權(quán)法是一種基于信息熵理論的目標(biāo)值分配方法,關(guān)于熵權(quán)法的研究,林巨廣等[13]采用熵權(quán)法對(duì)軸承故障進(jìn)行診斷,取得了較好的故障識(shí)別效果。蔣榮超等[14]提出基于熵權(quán)法的結(jié)構(gòu)綜合貢獻(xiàn)系數(shù)計(jì)算方法,以此為評(píng)價(jià)指標(biāo)篩選出對(duì)懸架性能影響較大的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為整車性能匹配優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量。

現(xiàn)有基于信息熵理論對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性非線性定量分析研究國內(nèi)外鮮有人做,本文基于熵權(quán)法對(duì)含間隙和構(gòu)件柔性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行非線性定量分析,以2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,首先利用ADAMS二次開發(fā)功能,通過Fortran語言自主編寫間隙接觸力子程序,加載到ADAMS函數(shù)求解庫中,建立了考慮間隙的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型,然后開展考慮間隙和構(gòu)件柔性的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性仿真,通過仿真數(shù)據(jù)對(duì)比分析在不同條件下對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性的影響,最后采用Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證其運(yùn)動(dòng)非線性,在此基礎(chǔ)上提出一種基于熵權(quán)法的非線性定量分析新方法,評(píng)估間隙和構(gòu)件柔性對(duì)機(jī)構(gòu)非線性的影響程度,對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行更準(zhǔn)確地描述。

1 含間隙2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型與分析模型

1.1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)描述

2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示,該機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)和兩條支鏈組成。其中兩條支鏈上,A1、A2、A3、A4、A5、A6為6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副,B1、B2為2個(gè)移動(dòng)副。整個(gè)機(jī)構(gòu)可視為對(duì)稱布置、同步驅(qū)動(dòng)的兩曲柄滑塊機(jī)構(gòu)A1A3A5B1與A2A4A6B2,因其連桿A3A5、A4A6運(yùn)動(dòng)規(guī)律一致,故可將A3A4A6A5視為同一剛體,即動(dòng)平臺(tái)。通過2個(gè)移動(dòng)副的驅(qū)動(dòng),實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的上下振動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。機(jī)構(gòu)的模型參數(shù)如表1所示,本節(jié)先考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副A1處的間隙,并將構(gòu)件A3A5和A4A6柔性化處理。

圖1 含間隙和柔性桿的2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of 2-RR&2-PR parallel mechanism with clearance and flexible rod

表1 機(jī)構(gòu)構(gòu)件參數(shù)Tab.1 Mechanism component parameter

1.2 含間隙旋轉(zhuǎn)副的接觸力模型

機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中,元素之間會(huì)相對(duì)運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)副處往往會(huì)因?yàn)槟p產(chǎn)生間隙,間隙的存在會(huì)導(dǎo)致元素間的接觸和碰撞。本文采用L-N接觸力模型和修正的Coulomb摩擦力模型,來建立含間隙旋轉(zhuǎn)副的接觸力模型。

1.2.1 間隙矢量模型

建立合理的間隙矢量模型,用來描述鉸接處兩元素相對(duì)位置的變化,如圖2所示。

圖2 間隙矢量模型Fig.2 Clearance vector model

(1)

當(dāng)兩元素發(fā)生碰撞時(shí),碰撞深度為

δ=e-c

(2)

式中:e為兩元素的偏心距;c為兩元素的半徑差。將δ作為判斷軸套和軸銷是否發(fā)生碰撞的標(biāo)準(zhǔn),當(dāng)δ<0時(shí),兩元素未接觸,自由運(yùn)動(dòng);當(dāng)δ=0時(shí),兩元素開始接觸或開始脫離;當(dāng)δ>0時(shí),兩元素發(fā)生碰撞。

1.2.2 法向接觸力模型

法向接觸力模型表示運(yùn)動(dòng)副處元素間接觸時(shí)的法向作用力。目前應(yīng)用最廣泛的接觸力模型是由Lankarani和Nikravesh兩位科學(xué)家在Hertz接觸力數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)之上提出來的L-N模型,該模型考慮了由材料阻尼引起的能量損失[15]。

基于L-N模型的法向接觸力Fn表達(dá)式如下

(3)

接觸剛度系數(shù)K的大小取決于接觸表面的幾何形狀,對(duì)于兩圓柱面的接觸,K表達(dá)式為

(4)

(5)

式中:σi、σj為接觸體的材料系數(shù);Ri、Rj為接觸體的接觸半徑;E為材料彈性模量;v為材料泊松比。

阻尼系數(shù)D的表達(dá)式為

(6)

將式(4)和式(6)代入式(3),即可得到法向接觸力Fn表達(dá)式

(7)

1.2.3 切向摩擦力模型

目前Coulomb摩擦力模型是應(yīng)用最廣泛的摩擦力模型,適用于碰撞中的摩擦行為。然而當(dāng)摩擦力由靜摩擦向動(dòng)摩擦過渡時(shí),該模型與實(shí)際情況不符,本文采用修正的Coulomb摩擦力模型,其表達(dá)式如下[17-18]

(8)

(9)

式中:vt、vs和vd分別為相對(duì)滑動(dòng)速度,靜摩擦速度和動(dòng)摩擦速度;μs為靜摩擦因數(shù);μd為動(dòng)摩擦因數(shù)。

1.3 熵權(quán)法

熵權(quán)法就是依據(jù)各指標(biāo)數(shù)據(jù)所包含的信息量大小來確定指標(biāo)的權(quán)重。設(shè)影響機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)非線性的因素的向量集合為{E1,E2,…,En},每個(gè)集合存在m個(gè)判定單元,那么關(guān)于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)非線性影響因素的判斷矩陣為

(10)

式(10)中每一行表示同一個(gè)影響因素的不同判斷單元,每一列代表不同影響因素的同一個(gè)指標(biāo)。因?yàn)槊總€(gè)判斷單元的含義并不完全相同,所以需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

采用min-max標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化,使原始數(shù)據(jù)統(tǒng)一落入[0,1]區(qū)間內(nèi),目的是保證數(shù)據(jù)的可靠性,減少由于數(shù)據(jù)相差太大,導(dǎo)致數(shù)值較高的指標(biāo)影響過大,從而削弱數(shù)據(jù)較小的指標(biāo)的作用。

假設(shè)給定了k個(gè)指標(biāo)X1,X2,…,Xk,其中Xi={x1,x2,…,xn}。假設(shè)對(duì)各指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的值為Y1,Y2,…,Yk,那么

(11)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化之后的數(shù)據(jù)Y1,Y2,…,Yk可以建立信息熵權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)判斷矩陣F。

根據(jù)信息論中信息熵的定義,一組數(shù)據(jù)的信息熵為

(12)

其中

(13)

如果pij=0,則定義

(14)

根據(jù)式(12)得到的各指標(biāo)信息熵值E1,E2,…,Ek,可以得到各指標(biāo)的權(quán)重。信息熵權(quán)的公式為

(15)

式中:k是信息熵權(quán)值的總數(shù);Ei是信息熵。

2 考慮間隙和構(gòu)件柔性的2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性仿真

為呈現(xiàn)不同條件下的仿真模擬,對(duì)2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在考慮間隙及綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性的情況下進(jìn)行仿真分析。其中,在考慮間隙的條件下又分別對(duì)間隙大小及間隙個(gè)數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)的影響進(jìn)行分析?？紤]到實(shí)際機(jī)構(gòu)工作情況,設(shè)轉(zhuǎn)速為240 r/min,同時(shí)為了提高仿真效率,將仿真模擬時(shí)間設(shè)為3 s,仿真步數(shù)設(shè)為3 000,本文所用到的求解器為GSTIFF求解器。

為了仿真時(shí)更加精確地計(jì)算出間隙處的接觸力,根據(jù)1.2節(jié)中建立的接觸力模型,采用Fortran語言編寫程序,將此程序加載到ADAMS函數(shù)求解庫中,用來求解間隙處兩元素間作用力,具體流程如圖3所示。將模型導(dǎo)入到ADAMS中,利用ADAMS的二次開發(fā)功能,通過ADAMS/Solver模塊編譯生成的動(dòng)態(tài)鏈接庫文件(*dll),然后利用ADAMS/View模塊調(diào)用自定義函數(shù),即生成的動(dòng)態(tài)鏈接庫文件,就可將此自定義函數(shù)應(yīng)用到模型中,再進(jìn)行模型仿真,其中接觸力模型參數(shù)取值如表2所示。

圖3 自編子程序的實(shí)現(xiàn)Fig.3 Implementation of self-programmed subroutines

表2 接觸力模型參數(shù)Tab.2 Contact force model parameter

此程序代碼的核心內(nèi)容是將間隙處兩元素的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和旋轉(zhuǎn)副自身的幾何特征綜合在一起,包含了間隙處兩元素在運(yùn)動(dòng)過程中無接觸、點(diǎn)接觸、線接觸、面接觸四種模式的描述。在仿真過程中通過該程序中的SYSARY子函數(shù)從模型中提取系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù),完成接觸模式實(shí)時(shí)判別,從而依據(jù)不同接觸模式下的解析表達(dá),計(jì)算出接觸力。

2.1 仿真數(shù)值計(jì)算

數(shù)值計(jì)算結(jié)果影響了仿真數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。為了確保仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性,有必要分析數(shù)值分析的誤差,以證明分析結(jié)果是收斂的,并且當(dāng)時(shí)間和步長變化時(shí),計(jì)算結(jié)果不會(huì)改變,因此增加了數(shù)據(jù)分析過程。

圖4顯示了t=0.9 s時(shí)軸銷中心點(diǎn)在X方向上的位移。圖4(a)表明,在相同積分階數(shù)條件下,結(jié)果在10次迭代后趨于穩(wěn)定,計(jì)算效率最高。值得注意的是,當(dāng)?shù)螖?shù)小于3時(shí),仿真無法滿足收斂條件,導(dǎo)致仿真失敗。圖4(b)表明,在相同的迭代次數(shù)條件下,結(jié)果在積分階數(shù)達(dá)到2階后趨于穩(wěn)定。為了確保后續(xù)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率,6階、10次迭代組合是最佳選擇。

(a) 不同迭代次數(shù)

(b) 不同積分階數(shù)圖4 軸銷中心點(diǎn)在X方向上的位移Fig.4 Displacement of shaft pin center point in X direction

2.2 間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的影響

2.2.1 間隙大小對(duì)機(jī)構(gòu)的影響

將間隙處大小設(shè)置成0.04 mm、0.06 mm、0.08 mm和0.10 mm,利用MATLAB將仿真加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換處理,繪制成不同間隙大小下加速度幅值的變化曲線如圖5所示。

(a) c=0.04 mm

(b) c=0.06 mm

(c) c=0.08 mm

(d) c=0.10 mm圖5 間隙大小對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度的影響Fig.5 Influence of clearance size on the acceleration of the mechanism moving platform

從圖5可以看出,引入間隙后,機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的加速度有劇烈的波動(dòng),表現(xiàn)為明顯的非線性現(xiàn)象。隨著間隙值從0.04 mm增大到0.06 mm,含間隙機(jī)構(gòu)加速度的最大幅值從197增加到了379,間隙值從0.06 mm增加到0.10 mm時(shí),機(jī)構(gòu)加速度的最大幅值又降低到了114。由此可以看出,在一定范圍內(nèi)隨著間隙值的增大,間隙對(duì)加速度的影響也有所增大。但當(dāng)間隙增加到一定值后,隨著間隙值的增大,間隙對(duì)加速度的影響會(huì)趨于減小。機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)時(shí),間隙使得轉(zhuǎn)動(dòng)副處產(chǎn)生接觸碰撞力,并使這些接觸碰撞力產(chǎn)生波動(dòng),從而導(dǎo)致了加速度的變化。

2.2.2 間隙個(gè)數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)的影響

以含有兩個(gè)關(guān)節(jié)間隙的并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象,研究間隙個(gè)數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)的影響。通過仿真得到間隙個(gè)數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度的影響如圖6所示,其中兩個(gè)關(guān)節(jié)間隙的尺寸都為0.1 mm。當(dāng)機(jī)構(gòu)中含有一個(gè)間隙時(shí),機(jī)構(gòu)加速度的幅值最大如圖5(d)所示為114。當(dāng)機(jī)構(gòu)中含有兩個(gè)間隙時(shí),機(jī)構(gòu)加速度的幅值最大為183。

圖6 間隙個(gè)數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度的影響Fig.6 Influence of the number of clearances on the acceleration of the mechanism moving platform

通過圖6可以看出,不同間隙個(gè)數(shù)的機(jī)構(gòu),其加速度產(chǎn)生波動(dòng)的規(guī)律并不相同,且相對(duì)于機(jī)構(gòu)只含一個(gè)間隙的情況下,當(dāng)機(jī)構(gòu)含有兩個(gè)間隙時(shí),動(dòng)平臺(tái)加速度的最大幅值有所增大,說明雙間隙情況下機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)明顯波動(dòng)得更加劇烈。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是間隙與間隙之間的相互耦合作用,當(dāng)存在多個(gè)間隙時(shí),間隙之間相互影響,使得加速度明顯增大,意味著產(chǎn)生了更大的接觸碰撞力,機(jī)構(gòu)更難趨于穩(wěn)定。

2.3 綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性對(duì)機(jī)構(gòu)的影響

剛體在受力后不會(huì)產(chǎn)生任何變形,而實(shí)際中任何物體在受到力的作用后,都會(huì)產(chǎn)生變形,為了更精確地揭示機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),需要考慮構(gòu)件的柔性。

將圖1中2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的A3A5、A4A6兩構(gòu)件柔性化處理,通過ANSYS和ADAMS軟件聯(lián)合生成構(gòu)件柔性化模型,將構(gòu)件三維模型導(dǎo)入到ANSYS中,在ANSYS中創(chuàng)建單元和材料,設(shè)置材料密度屬性的參數(shù)選擇如表3所示。

表3 材料參數(shù)選擇Tab.3 Material parameter selection

通過劃分網(wǎng)格,在構(gòu)件兩端的孔處設(shè)置剛性連接區(qū)域,確定關(guān)鍵點(diǎn),建立剛性連接區(qū)域,從而生成模態(tài)中性文件(MNF文件)。MNF文件包含了ADAMS中柔性體的所有信息,在ADAMS中直接導(dǎo)入MNF文件,從而生成機(jī)構(gòu)的剛?cè)狁詈夏Ｐ汀?/p>

在2.2節(jié)中間隙尺寸分別為0.04 mm、0.06 mm、0.08 mm和0.10 mm,針對(duì)不同間隙尺寸下的模型,分別導(dǎo)入構(gòu)件的MNF文件,將構(gòu)件柔性化,建立含間隙和構(gòu)件柔性耦合機(jī)構(gòu)的仿真模型。

通過仿真得到綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性情況下對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度的影響圖。為了更好地揭示給機(jī)構(gòu)帶來的影響,選取間隙尺寸為0.06 mm情況下機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度的影響圖如圖7所示。

圖7 綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度的影響Fig.7 Comprehensive consideration of the influence of clearance and component flexibility on the acceleration of the mechanism moving platform

由圖5(b)可以得到只考慮間隙時(shí),動(dòng)平臺(tái)加速度的最大幅值為379,而綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性時(shí),由圖7可以得到,動(dòng)平臺(tái)加速度的最大幅值為20,相比之下大幅度減小。

圖8為仿真得到的綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性對(duì)間隙鉸鏈處接觸力的影響圖,其中間隙尺寸為0.06 mm,從圖8可以看出,只考慮間隙時(shí)最大接觸力約為50 N,而綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性的情況下接觸力有所減小,約為17 N,其中各個(gè)時(shí)間點(diǎn)所顯示的接觸力沒有明顯的規(guī)律,代表機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)間隙鉸鏈處具有非線性。而接觸力有所減小是因?yàn)楫?dāng)在關(guān)節(jié)間隙處的兩元素發(fā)生碰撞時(shí),柔性構(gòu)件可以起到明顯的緩沖作用,從而對(duì)接觸力和加速度偏差進(jìn)行補(bǔ)償,大幅度緩和了間隙處兩元素的碰撞。同時(shí)可以看出間隙和構(gòu)件柔性對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)及性能的影響不能相互抵消,所以對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí)有必要綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性。

圖8 綜合考慮間隙和構(gòu)件柔性對(duì)間隙鉸鏈處接觸力的影響Fig.8 Comprehensive consideration of the influence of clearance and component flexibility on the contact force of the mechanism moving platform

3 2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)定量分析

現(xiàn)有的評(píng)估機(jī)構(gòu)非線性行為的定量分析方法主要是Lyapunov指數(shù)法,該方法通過Lyapunov指數(shù)的正負(fù)來判斷系統(tǒng)是否具有混沌特性,但沒有具體分析不同因素對(duì)機(jī)構(gòu)非線性的影響程度,需要一種新的定量分析方法,在此基礎(chǔ)上去衡量不同因素對(duì)機(jī)構(gòu)非線性的影響程度。本文提出一種基于熵權(quán)法的非線性定量分析新方法,通過計(jì)算各影響因素的相對(duì)比例,根據(jù)熵權(quán)法的定義計(jì)算出各影響因素下的熵權(quán)值,以此評(píng)估不同條件下間隙和構(gòu)件柔性對(duì)機(jī)構(gòu)非線性的影響程度。

3.1 Lyapunov指數(shù)法定量分析

Lyapunov指數(shù)法中正指數(shù)表示系統(tǒng)具有混沌特性,其中只需求解最大Lyapunov指數(shù)即可。選取機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度為計(jì)算對(duì)象進(jìn)行混沌分析,在MATLAB中計(jì)算得到

(16)

式中:tw為時(shí)間窗口;tau為時(shí)間延遲;m為嵌入維數(shù);P為平均周期。

將所得數(shù)據(jù)代入最大Lyapunov指數(shù)程序,計(jì)算結(jié)果如圖9(a)所示。選擇虛線矩形中所示的線性區(qū)域,用最小二乘法在該區(qū)域擬合直線。擬合直線的斜率為最大Lyapunov指數(shù),如圖9(b)所示。顯然所得最大Lyapunov指數(shù)大于零,驗(yàn)證了該系統(tǒng)具有混沌特性。

(a) 最初結(jié)果

(b) 線性擬合結(jié)果圖9 最大Lyapunov指數(shù)的估計(jì)Fig.9 Estimation of the maximum Lyapunov exponent

3.2 基于熵權(quán)法的考慮間隙的機(jī)構(gòu)定量分析

將前文2.2節(jié)中的仿真參數(shù)設(shè)為組別1～5,如表4所示。圖10為不同間隙條件下機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)在X、Y、Z方向上加速度的仿真數(shù)據(jù)圖,利用MATLAB編寫熵權(quán)法程序,將仿真數(shù)據(jù)代入程序中,計(jì)算在不同間隙大小及間隙個(gè)數(shù)情況下的熵權(quán)值。

表4 機(jī)構(gòu)仿真參數(shù)Tab.4 Mechanism simulation parameters

(a) c=0.04 mm

(b) c=0.06 mm

(c) c=0.08 mm

(d) c=0.10 mm

(e) c=0.10 mm圖10 不同間隙條件下X、Y、Z方向加速度變化圖Fig.10 The change of acceleration in X, Y and Z directions with different clearance conditions

如表5所示,為計(jì)算得到的不同間隙條件下機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)X、Y、Z方向加速度熵權(quán)值。繪制不同間隙大小下(組別1～4)的熵權(quán)值變化圖如圖11所示,其中圖11(a)為折線圖,為了更直觀呈現(xiàn)間隙對(duì)加速度影響程度,繪制成雷達(dá)圖如圖11(b)所示。繪制不同間隙個(gè)數(shù)下(組別4～5)的熵權(quán)值變化雷達(dá)圖如圖12所示。

表5 不同間隙條件下的加速度熵權(quán)Tab.5 Entropy weight of acceleration with different conditions

(a) 熵權(quán)折線圖

(b) 熵權(quán)雷達(dá)圖圖11 不同間隙大小下的熵權(quán)變化圖Fig.11 Entropy weight change map for different clearance sizes

圖12 不同間隙個(gè)數(shù)下的熵權(quán)值變化雷達(dá)圖Fig.12 Radar plot of entropy weight change with different number of clearances

圖11(a)顯示了加速度熵權(quán)的變化趨勢(shì),圖11(b)顯示了不同方向上加速度影響程度的變化。如圖11(a)所示,隨著間隙尺寸的變大,加速度在Z方向上的熵權(quán)幾乎不發(fā)生變化,一直趨于0,在X方向和Y方向上的熵權(quán)都會(huì)發(fā)生變化,其中加速度X方向上的熵權(quán)值遠(yuǎn)大于Y方向的熵權(quán)值,代表X方向的加速度對(duì)間隙尺寸的變化比較敏感,對(duì)加速度影響權(quán)重最高。同時(shí)從第1組到第4組可以看出隨著間隙值的增大,X方向加速度熵權(quán)值先增大后減小,代表間隙對(duì)機(jī)構(gòu)X方向加速度的影響先增大后減小,相應(yīng)的Y方向加速度熵權(quán)值先減小后增大,代表間隙對(duì)機(jī)構(gòu)Y方向加速度的影響先減小后增大。

圖12為不同間隙個(gè)數(shù)下的熵權(quán)值變化雷達(dá)圖,顯示了不同間隙個(gè)數(shù)下加速度影響程度的變化。從圖12可以得出隨著間隙個(gè)數(shù)的增加,X方向加速度熵權(quán)值增大,對(duì)加速度影響權(quán)重提高,代表對(duì)機(jī)構(gòu)X方向加速度的影響逐漸增大,約為Y方向上的4倍。

3.3 基于熵權(quán)法的考慮間隙和構(gòu)件柔性的機(jī)構(gòu)定量分析

將前文2.3節(jié)中的仿真參數(shù)設(shè)為組別1和2,如表6所示,其中第一組的仿真參數(shù)與3.2節(jié)中的第二組一致,作為對(duì)照組。圖13為考慮間隙和構(gòu)件柔性條件下機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)在X、Y、Z方向上加速度的仿真數(shù)據(jù)圖,采用相同的方法計(jì)算在含間隙機(jī)構(gòu)中引入構(gòu)件柔性情況下的熵權(quán)值。

表6 機(jī)構(gòu)仿真參數(shù)Tab.6 Mechanism simulation parameters

圖13 考慮間隙和構(gòu)件柔性條件下X、Y、Z方向加速度變化圖Fig.13 The change of acceleration in X, Y and Z directions with considering clearance and component flexibility

如表7所示,為在含間隙機(jī)構(gòu)中引入構(gòu)件柔性情況下計(jì)算所得的熵權(quán)值,其中第一組為對(duì)照組,熵權(quán)值與3.2節(jié)中的第二組一致。將計(jì)算的結(jié)果繪制成雷達(dá)圖如圖14所示。

表7 考慮間隙和構(gòu)件柔性條件下的加速度熵權(quán)Tab.7 Entropy weight of acceleration under consideration of clearance and component flexibility

圖14 考慮間隙和構(gòu)件柔性下的熵權(quán)值變化雷達(dá)圖Fig.14 Radar plot of entropy weight change under consideration of clearance and component flexibility

圖14顯示了在含間隙機(jī)構(gòu)中引入構(gòu)件柔性情況下加速度影響程度的變化。從圖14可以看出,在考慮構(gòu)件柔性的情況下X方向和Y方向上的熵權(quán)都會(huì)發(fā)生變化,其中加速度X方向上的熵權(quán)值遠(yuǎn)大于Y方向的熵權(quán)值,代表X方向的加速度在考慮構(gòu)件柔性時(shí)比較敏感,對(duì)加速度影響權(quán)重最高,且X方向加速度熵權(quán)值有所增大,代表對(duì)機(jī)構(gòu)X方向加速度的影響程度增大,Y方向加速度熵權(quán)值有所減小,代表對(duì)機(jī)構(gòu)Y方向加速度的影響程度減小。同時(shí)綜合表5和表7的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),在任何條件下,動(dòng)平臺(tái)X方向加速度熵權(quán)值最大,所占權(quán)重最高,而Z方向加速度熵權(quán)幾乎不發(fā)生變化,這也體現(xiàn)出本文所做的各組仿真之間的關(guān)聯(lián)性。

4 結(jié) 論

(1) 間隙對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)加速度有明顯的影響,間隙過大或間隙過小都會(huì)引起副元素劇烈的碰撞,隨著間隙個(gè)數(shù)的增多,會(huì)大大影響機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性,柔性構(gòu)件對(duì)間隙的碰撞有明顯的緩沖作用。

(2) 熵權(quán)法可以定量分析出不同條件下各指標(biāo)的權(quán)重,基于熵權(quán)法研究了不同條件下對(duì)機(jī)構(gòu)非線性的影響程度,結(jié)果表明在任何條件下,動(dòng)平臺(tái)X方向加速度熵權(quán)值最大,說明對(duì)非線性影響權(quán)重最高,為含間隙和構(gòu)件柔性的機(jī)構(gòu)非線性分析提供一種新的定量分析方法。

(3) 含間隙和構(gòu)件柔性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng),很難進(jìn)行精準(zhǔn)的描述。通過熵權(quán)法定量分析不同因素對(duì)機(jī)構(gòu)非線性影響程度的趨勢(shì),使得對(duì)2-RR&2-PR并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的描述更為準(zhǔn)確,為含間隙機(jī)構(gòu)非線性定量分析提供了理論參考。