歐陽凌叢，楊凱軍，張志雄

（陜西科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，西安 710021）

0 概述

近年來，系統(tǒng)編隊(duì)控制作為多智能體系統(tǒng)的一個(gè)重要的研究問題一直吸引著學(xué)者們的關(guān)注，其目標(biāo)是在運(yùn)動(dòng)過程中僅通過局部交互來保持多智能體系統(tǒng)預(yù)先指定的幾何形狀［1］，主要的應(yīng)用場景是在持久性監(jiān)測［2］、航天器編隊(duì)［3］、無人機(jī)（UAV）群［4］、移動(dòng)機(jī)器人協(xié)作［4］等領(lǐng)域。

目前大量學(xué)者致力于多智能體編隊(duì)控制問題領(lǐng)域的研究，關(guān)于編隊(duì)控制的研究大致可以分為基于領(lǐng)導(dǎo)者-追隨者、基于行為和基于虛擬結(jié)構(gòu)的方法［5-6］。此外，對共識問題的深入廣泛研究也為編隊(duì)控制問題提供了新的研究靈感。文獻(xiàn)［7］利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，研究了具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的非線性多智能體系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)跟蹤問題。文獻(xiàn)［8］通過構(gòu)建一種迭代學(xué)習(xí)分布式算法，獲得了具有非線性動(dòng)力學(xué)的多智能體編隊(duì)控制問題的充分條件。文獻(xiàn)［9］研究了固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)淝闆r下的非線性多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者編隊(duì)控制問題。文獻(xiàn)［10］研究了具有時(shí)變通信延遲的多智能體系統(tǒng)的時(shí)變編隊(duì)跟蹤問題，利用相對鄰接信息制定了一個(gè)具有時(shí)變延遲的編隊(duì)跟蹤協(xié)議。事實(shí)上，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多針對一階問題進(jìn)行研究，只有少數(shù)成果用于解決具有二階非線性動(dòng)力學(xué)的多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題。

在實(shí)際應(yīng)用場景中，多智能體系統(tǒng)常受到復(fù)雜外部環(huán)境干擾，易導(dǎo)致系統(tǒng)通信信號丟失。針對此問題，可將通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的切換過程建模為馬爾可夫過程，以確保多智能體之間的穩(wěn)定信息交流。在馬爾可夫切換通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，文獻(xiàn)［11-12］分別研究了一階和二階多智能體系統(tǒng)的共識問題，文獻(xiàn)［13］研究了具有馬爾可夫切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的離散二階多智能體系統(tǒng)的共識跟蹤問題，文獻(xiàn)［14-15］分別考慮了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的共識問題，并得出了共識的充分條件。目前，多數(shù)文獻(xiàn)僅研究隨機(jī)切換過程中的共識跟蹤問題，較少研究具有隨機(jī)切換通信拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)編隊(duì)跟蹤問題。

隨著多智能體系統(tǒng)規(guī)模及其復(fù)雜性的增加，控制器性能也日益提升，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性卻難以提高，控制器故障［16-17］頻發(fā)會(huì)影響到系統(tǒng)編隊(duì)效果。為確保閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定，文獻(xiàn)［18］研究了非線性隨機(jī)切換系統(tǒng)的故障檢測過濾問題，文獻(xiàn)［19］研究了多智能體系統(tǒng)的分布式自適應(yīng)事件觸發(fā)的容錯(cuò)控制問題，文獻(xiàn)［20］通過設(shè)計(jì)異構(gòu)多智能體系統(tǒng)的魯棒性自適應(yīng)FTC 協(xié)議，解決了執(zhí)行器故障和外部干擾的問題。

本文研究隨機(jī)通信拓?fù)涠嘀悄荏w編隊(duì)控制問題，提出一種馬爾可夫切換拓?fù)湎露A非線性領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者多智能體編隊(duì)容錯(cuò)控制方案，主要進(jìn)行以下研究：1）將馬爾可夫隨機(jī)切換拓?fù)渑c二階非線性多智能體編隊(duì)控制進(jìn)行結(jié)合研究，使得多智能體編隊(duì)系統(tǒng)具有更為廣泛的適用性和拓展性；2）將容錯(cuò)控制和通信拓?fù)潆S機(jī)切換編隊(duì)控制相結(jié)合，使得系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性。

1 問題描述

1.1 圖論

多智能體系統(tǒng)的信息交換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被建模為一個(gè)拓?fù)鋱DG=(V，E，A)，其 中：V={1，2，…，N}和E ?{(j，i)：j，i∈V，j≠i}分別是節(jié)點(diǎn)和邊的集合，Ni={j∈V：(j，i)∈E} 表示智能體i的鄰居集合；A=[aij]N×N表示鄰接矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)j∈Ni時(shí)aij＞0，否則aij=0；D=diag{dii} ∈RN×N表示圖的度矩陣，其中相應(yīng)地，拉普拉斯矩陣用L=D-A表示。從節(jié)點(diǎn)j到節(jié)點(diǎn)i的有向路徑是一串有序的邊，形式為(j，i1)，(i1，i2)，…，(iq-1，iq)，其中的節(jié)點(diǎn)ik∈V，k=1，2，…，q是不同的。有向樹是一個(gè)二維圖，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)父節(jié)點(diǎn)，只有根節(jié)點(diǎn)沒有父節(jié)點(diǎn)，但有一個(gè)直接通往其他節(jié)點(diǎn)的路徑。有向生成樹是一個(gè)有向樹，它由G中的所有節(jié)點(diǎn)和一些邊組成。如果一個(gè)有向圖的一個(gè)子圖是一個(gè)有向生成樹，那么就可以說它包含有向生成樹。

1.2 馬爾可夫過程

設(shè)Gi(t)=Pr(hn+1≤t|Rn=i)為停留在狀態(tài)i時(shí)的駐留時(shí)間分布函數(shù)。對于i，j∈S，i≠j，n∈N，馬爾可夫過程{Rn}的轉(zhuǎn)移概率被定義為qij=Pr(Rn+1=j|Rn=i)。由于Gi(t)只取決于當(dāng)前狀態(tài)i，因此可以得出下式：

將切換拓?fù)涞臓顟B(tài)轉(zhuǎn)移概率定義為：

其中：gi(h)是Gi(h)的轉(zhuǎn)移概率密度。整理可得馬爾可夫模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程為：

1.3 引理與假設(shè)

為了推導(dǎo)出本文的主要結(jié)果，給出以下假設(shè)和引理。

假設(shè)1 假設(shè)在G所描述的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，領(lǐng)導(dǎo)者對所有追隨者都是可到達(dá)的，也就是說，對于每個(gè)追隨者來說，至少存在一條從領(lǐng)導(dǎo)者到它的有向路徑。

假設(shè)2 存在非負(fù)的常數(shù)ρ1和ρ2，使非線性函數(shù)f滿足以下不等式：

引理1［17］假設(shè)正定矩陣P和矩陣S滿足，常數(shù)h＞0，0 ＜τ(t)＜h，則以下積分不等式成立：

其中：

引理2［21］設(shè)V(x(t)，t，m)和LV(x(t)，t，m)分別為李雅普諾夫函數(shù)和帶有弱無窮小算子的李雅普諾夫函數(shù)并且他們是有界的，根據(jù)Dynkin公式可以得出：

引理3［22］假設(shè)f(t)是可測量的，對于i∈S并且E[f(t)1r(t)=i]存在，則有：

1.4 模型構(gòu)建

考慮一組具有N個(gè)跟隨者和1 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的非線性多智能體系統(tǒng)，其跟隨者的動(dòng)力學(xué)模型描述為：

其中：xp(t)∈RN×N和vp(t)∈RN×N分別為領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度。為了進(jìn)一步分析，令εi(t)=[xi(t)，vi(t)]T和εp(t)=[xp(t)，vp(t)]T分別代表跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者。因此，領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)模型可以通過克羅內(nèi)克積形式表示：

其中：Ap∈R2m×2m、C∈Rl×2m和y(t)∈Rl分別是系統(tǒng)矩陣、輸出矩陣和領(lǐng)導(dǎo)者的輸出信息。此外，F(xiàn)(εp(t)，t)=[0m，f(xp(t)，vp(t)，t)]T∈R2m表示多智能體系統(tǒng)的非線性項(xiàng)。

多智能體系統(tǒng)的執(zhí)行器在現(xiàn)實(shí)情況中存在發(fā)生故障的可能性，因此令fi描述智能體i的故障狀態(tài)，其中，0 ＜fi(t)＜1 表示控制輸入有損失情況，fi(t)=0表示完全故障情況，fi(t)=1 表示無故障情況。

在下一節(jié)中將研究多智能體系統(tǒng)在隨機(jī)切換拓?fù)湎碌木庩?duì)控制和容錯(cuò)控制。

2 控制協(xié)議設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析與證明

在本節(jié)中，將提供線性矩陣不等式方面的充分條件，以確保通過設(shè)計(jì)反饋控制增益矩陣，在規(guī)定的性能指標(biāo)下實(shí)現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者的編隊(duì)控制。

對于式（2）所示的二階非線性多智能體無控制器故障系統(tǒng)，本文設(shè)計(jì)如下控制律：

其中：k為控制增益矩陣；yi為智能體i相對于領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度；yp為領(lǐng)導(dǎo)者的當(dāng)前位置和速度；aij為智能體i到j(luò)的連通關(guān)系；rt表示在t時(shí)刻下系統(tǒng)的通信拓?fù)潢P(guān)系。在式（5）所示的控制律中，第一部分表示多智能體系統(tǒng)中的跟隨者之間保持預(yù)期隊(duì)形的控制，第二部分表示跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的一致性控制。由于智能體i的故障狀態(tài)fi是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望值為η，0 ＜η＜1，可以得到E[fi(t)]=η，因此跟隨者i的容錯(cuò)控制表示為：

跟隨者的克羅內(nèi)克積表示形式如式（7）所示：

根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)者、跟隨者的定義可以得到拉普拉斯矩陣的結(jié)構(gòu)如下：

其中：L1∈RN×N表示追隨者之間的關(guān)系；L2∈RN×1表示從領(lǐng)導(dǎo)者到追隨者的關(guān)系。L1的所有特征值都有正實(shí)部，是一個(gè)非負(fù)的矩陣，-2=0。由此，式（2）可以寫成一個(gè)緊湊的形式，如式（8）所示：

其中：

假設(shè)式（2）和式（3）所示多智能體系統(tǒng)的初始狀態(tài)是有界的，如果存在和則多智能體系統(tǒng)形成編隊(duì)，其中，hix(t)是跟隨者i和式（3）所示領(lǐng)導(dǎo)者之間的相對位置，hi(t)=[hix(t)，hiv]T是對應(yīng)的連續(xù)可微分的編隊(duì)，它描述了期望的編隊(duì)隊(duì)形。位置和速度跟蹤誤差變量定義為：

根據(jù)式（10）和式（11）可得：

定義1 如果以下條件成立，則稱式（12）所示多智能體編隊(duì)系統(tǒng)在隨機(jī)故障和切換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下能實(shí)現(xiàn)均方意義下的一致性：

式（13）成立說明式（2）、式（3）所示系統(tǒng)在均方意義下的編隊(duì)穩(wěn)定，并且保證穩(wěn)態(tài)誤差大幅度減少，即當(dāng)任何誤差δ(t)存在時(shí)，多智能體系統(tǒng)依然可以在較短的時(shí)間內(nèi)形成并保持期望編隊(duì)隊(duì)形。

2.1 切換通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的編隊(duì)控制

在本小節(jié)中重點(diǎn)討論非線性多智能體系統(tǒng)在隨機(jī)切換通信拓?fù)湎碌木庩?duì)控制。通過證明定理1 成立，可以實(shí)現(xiàn)在隨機(jī)通信拓?fù)湎聼o控制器故障多智能體系統(tǒng)預(yù)期編隊(duì)。

定理1 在假設(shè)1 和控制器無故障的情況下，如果存在矩陣Q＞0，R＞0和S＞0，對于?i∈N，使得滿足式（14）和式（15）所示條件，則隨機(jī)切換通信拓?fù)涠A非線性多智能體系統(tǒng)在均方意義下能夠形成編隊(duì)。

證明

首先構(gòu)造李雅普諾夫候選函數(shù)：

帶有弱無窮小算子的李雅普諾夫函數(shù)可以定義為：

定義L 為沿式（12）所示軌跡的弱無窮小算子，根據(jù)式（17）能夠得到：

根據(jù)相同的步驟可以得到：

結(jié)合式（19）和式（20），式（18）能夠化簡為：

同理，式（17）能夠化簡為：

值得注意的是，非線性函數(shù)F(δ，t)在假設(shè)2 的基礎(chǔ)上滿足以下條件：

當(dāng)存在一個(gè)對角矩陣Ψ＞0時(shí)，以下不等式成立：

然后，通過對式（22）～式（24）李雅普諾夫函數(shù)的求和，得到：

顯然，Φi＜0 成立，從而得出LV(δ(t)，t，r(t))＜0，考慮一個(gè)足夠小的?＞0：

顯然，可以得出式（32）對任何t＞0 都成立，當(dāng)t趨向無窮大時(shí)存在式（33）。

因此，從定義1 可以得出結(jié)論：式（9）所示閉環(huán)誤差系統(tǒng)在均方意義上是穩(wěn)定的，這意味著式（2）和式（3）所示隨機(jī)切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題得到解決，證畢。

根據(jù)定理1 可以得出多智能體編隊(duì)系統(tǒng)滿足均方穩(wěn)定，系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)期得編隊(duì)效果，接下來進(jìn)行多智能體編隊(duì)誤差精度分析。

利用文獻(xiàn)［25］中的類似方法，則存在一個(gè)標(biāo)量ρ＞0，使得T≥0 時(shí)有：

式（36）表示多智能體編隊(duì)誤差能夠滿足指數(shù)收斂。當(dāng)多智能體系統(tǒng)存在編隊(duì)誤差時(shí)，系統(tǒng)能夠快速收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，因此系統(tǒng)具有較高的控制精度，能夠?qū)崿F(xiàn)對誤差更為精確的調(diào)整。

其中：

對式（39）使用舒爾補(bǔ)定理，可以推導(dǎo)出式（39）等同于式（37），因此定理2 成立，證畢。

在定理1中，式（14）所示矩陣不等式由于存在耦合項(xiàng)，因此要得到合適的控制參數(shù)需要利用大量的非線性數(shù)值計(jì)算，增加了控制算法的計(jì)算量。定理2 通過解耦式（14）所示矩陣不等式降低了算法計(jì)算量并簡化了控制算法流程，提高了所設(shè)計(jì)的控制算法的可操作性。

2.2 多智能體系統(tǒng)編隊(duì)容錯(cuò)控制

本節(jié)研究馬爾可夫拓?fù)潆S機(jī)切換下所設(shè)計(jì)的編隊(duì)容錯(cuò)控制協(xié)議能夠使得多智能體系統(tǒng)形成編隊(duì)。

定理3 設(shè)假設(shè)1 和假設(shè)2 成立，則式（6）所示編隊(duì)容錯(cuò)控制器使得式（7）所示具有隨機(jī)切換通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)形成并保持參考編隊(duì)。

證明

設(shè)李雅普諾夫候選函數(shù)為：

其中：Θ∈RN×N來自引理3。為了處理控制器帶有隨機(jī)故障的馬爾可夫過程r(t)，定義李雅普諾夫函數(shù)的候選函數(shù)如下：

沿著子系統(tǒng)的軌跡對Vi(t)進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，可以得到：

而P是一個(gè)正定矩陣并且是不等式的唯一解。有了正定矩陣Θ和式（43）的求解矩陣P，進(jìn)而得到LV≤0。對其兩邊進(jìn)行積分并取期望值得到：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

在這一節(jié)中，給出一個(gè)數(shù)值例子來證明理論結(jié)果的有效性。

考慮一個(gè)由8 個(gè)追隨者和1 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成的多智能體系統(tǒng)。假定用1 或者0 分別表示通信拓?fù)鋱DG的智能體之間存在信息交流和無信息交流。設(shè)F={1，2，3，4，5，6，7，8}和H={0}分 別為跟隨者集合和領(lǐng)導(dǎo)者集合，S={1，2，3}為通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的集合。令δi(t)=[xix(t)，xiy(t)，vix(t)，viy(t)]T，假設(shè)每個(gè)智能體的非線性內(nèi)在動(dòng)力方程由以下列形式給出：

顯然，非線性函數(shù)f滿足假設(shè)1。利用定理1，可以找到K的可行方案。每個(gè)跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者的相對位置如下：

其中：半徑可以選擇為R=10。可以很容易地推斷出，跟隨者的位置將形成一個(gè)封閉的隊(duì)形，而領(lǐng)導(dǎo)者將位于圓形隊(duì)形的中心，領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動(dòng)方向是隊(duì)形的前進(jìn)方向。跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的最終狀態(tài)（位置狀態(tài)和編隊(duì)狀態(tài)）分別由不同顏色的線表示。

假設(shè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)滿足馬爾可夫隨機(jī)切換，有3 種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模式選擇，如圖1 所示。

圖1 3 種可能網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銯ig.1 Three possible network topologies

圖2 顯示了領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者之間的相對位置關(guān)系（彩色效果見《計(jì)算機(jī)工程》官網(wǎng)HTML版，下同）。從圖中可以看出，追隨者在圍繞位于圓形中心的領(lǐng)導(dǎo)者移動(dòng)，同時(shí)保持了一個(gè)圓形隊(duì)形跟蹤。經(jīng)過一段時(shí)間編隊(duì)形成，驗(yàn)證了定理的正確性。

圖2 編隊(duì)軌跡Fig.2 Formation trajectory

圖3 顯示了在水平和豎直方向上的控制信號。從圖中可以看出，圖中曲線存在不平滑的現(xiàn)象反映在當(dāng)前時(shí)刻控制器存在故障的情況。

圖3 控制器輸入Fig.3 Controller input

圖4 顯示了30 s 內(nèi)9 個(gè)智能體的隨機(jī)通信拓?fù)淝袚Q，從圖中可以看出，智能體之間的通信拓?fù)涫怯神R爾可夫隨機(jī)過程選擇的。

圖4 通信拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)編號Fig.4 Number of communication topology network

圖5 顯示了跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者之間沿水平和豎直方向的跟蹤誤差，從圖中可以看出，所提方法實(shí)現(xiàn)了時(shí)變的編隊(duì)跟蹤控制。

圖5 領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者的相對誤差Fig.5 The relative error of leaders and followers

圖6 分別顯示了執(zhí)行器隨機(jī)故障的情況。圖中數(shù)值越小代表故障越嚴(yán)重。

圖6 故障情況Fig.6 Failure situation

由表1 可知，當(dāng)系統(tǒng)執(zhí)行器不發(fā)生故障時(shí)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所用時(shí)間較短，且調(diào)節(jié)時(shí)間較短。在多智能體系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障情況下，系統(tǒng)需要的調(diào)節(jié)時(shí)間有所增加但是依然可以以較快的速度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)預(yù)期編隊(duì)效果，而峰值時(shí)間則主要受到系統(tǒng)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)影響，受執(zhí)行故障的影響較小。

表1 執(zhí)行器有無故障用時(shí)對比Table 1 Time comparison of actuator with or without faults 單位：s

4 結(jié)束語

本文考慮隨機(jī)切換通信拓?fù)涞亩A非線性多智能體系統(tǒng)編隊(duì)控制問題，提出基于馬爾可夫過程的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨分布式控制協(xié)議。設(shè)計(jì)一種隨機(jī)切換拓?fù)渚庩?duì)容錯(cuò)控制算法，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理和最優(yōu)控制理論證明系統(tǒng)在均方意義下編隊(duì)穩(wěn)定，在控制器故障情況下能夠準(zhǔn)確穩(wěn)定的形成編隊(duì)。MATLAB 數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了控制算法的有效性。后續(xù)將把本文所形成的理論成果與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，同時(shí)根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的需求，在理論研究上進(jìn)一步考慮通信時(shí)延、編隊(duì)避撞等現(xiàn)實(shí)約束。