王亞濤,邱明,2,趙濱海,田凱文,王會杰

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽 471003;2.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 洛陽 471003;3.洛陽軸承研究所有限公司,河南 洛陽 471039)

四點(diǎn)接觸球軸承作為傳動機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵部件,高速運(yùn)轉(zhuǎn)時內(nèi)部運(yùn)動關(guān)系十分復(fù)雜, 其性能直接影響整機(jī)的工作效率、穩(wěn)定性和可靠性, 因此對四點(diǎn)接觸球軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。

目前,國內(nèi)外專家在軸承優(yōu)化設(shè)計方面開展了許多工作:文獻(xiàn)[1]通過建立擬動力學(xué)模型,利用功效系數(shù)法,以旋滾比、基本額定動載荷、摩擦力矩和軸向剛度為目標(biāo)函數(shù)對軸承主參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化;文獻(xiàn)[2]以額定動載荷的負(fù)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用MATLAB優(yōu)化工具箱對混合陶瓷球軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計;文獻(xiàn)[3]借助MATLAB將梯度下降法應(yīng)用到滾動軸承的優(yōu)化設(shè)計中;文獻(xiàn)[4]以額定動載荷、支承剛度、旋滾比為目標(biāo),基于NSGA-II遺傳算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計;文獻(xiàn)[5]建立可靠性評估模型對滾動軸承進(jìn)行可靠性優(yōu)化設(shè)計;文獻(xiàn)[6]采用線性加權(quán)法,以額定動載荷最大、摩擦力矩及旋滾比最小為優(yōu)化目標(biāo),對汽車空調(diào)用雙列角接觸球軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計;文獻(xiàn)[7]建立了角接觸球軸承的接觸概率模型,從角接觸球軸承在不同載荷下球面接觸概率的角度考慮軸承的優(yōu)化設(shè)計;文獻(xiàn)[8]基于RomaxCLOUD對某薄壁角接觸球軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,建立了以剛度、最小油膜厚度、壽命為目標(biāo)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,提出了薄壁角接觸球軸承的多目標(biāo)優(yōu)化方法;文獻(xiàn)[9]通過正交試驗法設(shè)計試驗,運(yùn)用多目標(biāo)函數(shù)的功效系數(shù)法對角接觸球軸承參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

上述文獻(xiàn)主要以軸承的額定動載荷、支承剛度、旋滾比、摩擦力矩為單目標(biāo)或者多目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,研究對象一般是角接觸球軸承和深溝球軸承,對于四點(diǎn)接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計問題研究較少,且現(xiàn)有優(yōu)化設(shè)計中很少考慮軸承動態(tài)特性。本文采用NSGA-II遺傳算法對四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,并將擬靜力學(xué)模型引入四點(diǎn)接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計中,研究軸承接觸角的變化。

1 四點(diǎn)接觸球軸承優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

滾動軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中常見的失效形式為疲勞失效,為防止軸承失效,延長使用壽命,要求其具有較高的承載能力,即額定動載荷[10];同時,軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中各零件均會產(chǎn)生摩擦,從而產(chǎn)生摩擦力矩[11],影響軸承使用性能。鑒于此,本文主要針對四點(diǎn)接觸球軸承的額定動載荷和摩擦力矩進(jìn)行分析。

1.1 四點(diǎn)接觸球軸承的優(yōu)化模型

以四點(diǎn)接觸球軸承的額定動載荷和摩擦力矩為目標(biāo)函數(shù),通過線性加權(quán)法建立優(yōu)化模型,目標(biāo)函數(shù)F為

(1)

γ=(Dwcosα)/Dpw,

式中:γ1,γ2為權(quán)重系數(shù),根據(jù)變量對軸承性能的影響進(jìn)行取值;Cr為徑向基本額定動載荷[12];M為軸承總摩擦力矩;bm為額定動載荷系數(shù),對于四點(diǎn)接觸球軸承取1.3;fc為與軸承結(jié)構(gòu)相關(guān)的系數(shù);α為接觸角;Z為鋼球數(shù)量;Dw為鋼球直徑;λ為額定動載荷修正系數(shù),對于四點(diǎn)接觸球軸承取0.90;fi,fe分別為內(nèi)、外圈溝曲率半徑系數(shù);Dpw為球組節(jié)圓直徑。

根據(jù)滾動軸承的摩擦特點(diǎn),本文主要考慮的因素有[13]:彈性滯后引起的摩擦力矩、差動滑動引起的摩擦力矩、自旋滑動引起的摩擦力矩、潤滑劑黏性引起的摩擦力矩。

彈性滯后引起的摩擦力矩ME為(下標(biāo)i,e分別表示內(nèi)圈和外圈,下同)

(2)

式中:βa為彈性滯后系數(shù),對于軸承鋼取0.007;K為橢圓率;u為初始游隙;∑ρi(e)為兩接觸面曲率和;Qi(e)j為第j個鋼球的接觸載荷;F(φ)i(e)為第一類橢圓積分;E(φ)i(e)為第二類橢圓積分;ai(e)為接觸橢圓長半軸;bi(e)為接觸橢圓短半軸;E′為當(dāng)量彈性模量;Eb為鋼球彈性模量;Ei(e)為套圈彈性模量;νb為鋼球材料的泊松比;νi(e)為套圈材料的泊松比。

差動滑動引起的摩擦力矩MD為

(3)

式中:fs為滑動摩擦因數(shù),對于軸承鋼取0.08。

自旋滑動引起的摩擦力矩MS為

(4)

式中:αi(e)j為實際接觸角。

潤滑劑黏性引起的摩擦力矩Moil為

(5)

式中:αoil為潤滑油黏壓系數(shù);S為潤滑充分系數(shù),可取油膜潤滑系數(shù);Hi(e)為油膜厚度。

則總摩擦力矩M為

M=ME+MD+MS+Moil。

(6)

1.2 設(shè)計變量及尺寸約束

設(shè)計變量分別為內(nèi)、外圈溝曲率半徑系數(shù)fi和fe,鋼球直徑Dw,球組節(jié)圓直徑Dpw,原始接觸角α0,表達(dá)式為

X=[x1,x2,x3,x4,x5]T=[fi,fe,Dw,Dpw,α0]T。

1.2.1 溝道半徑約束

溝曲率半徑系數(shù)與四點(diǎn)接觸球軸承的摩擦力矩、接觸角等密切相關(guān),根據(jù)經(jīng)驗公式,軸承內(nèi)外圈溝道半徑應(yīng)不小于0.515Dw且不大于0.540Dw,因此該模型滿足以下約束

0.515Dw≤fiDw≤0.540Dw,

(7)

0.515Dw≤feDw≤0.540Dw,

(8)

約束條件可表示為

h1(x)=x1-0.515≥0,

(9)

h2(x)=0.540-x1≥0,

(10)

h3(x)=x2-0.515≥0,

(11)

h4(x)=0.540-x2≥0。

(12)

1.2.2 鋼球直徑約束

根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗及技術(shù)要求,鋼球直徑的取值范圍為

0.23(D-d)≤Dw≤0.32(D-d),

(13)

約束條件可表示為

h5(x)=x3-0.23(D-d)≥0,

(14)

h6(x)=0.32(D-d)-x3≥0,

(15)

式中:D為軸承外徑;d為軸承內(nèi)徑。

1.2.3 球組節(jié)圓直徑約束

為保證四點(diǎn)接觸球軸承鋼球的靈活度,四點(diǎn)接觸球軸承的球組節(jié)圓直徑和軸承直徑的差值應(yīng)保持在一定的范圍內(nèi)。球組節(jié)圓直徑取值范圍為

0.5(D+d)≤Dpw≤0.515(D+d),

(16)

約束條件可表示為

h7(x)=x4-0.5(D-d)≥0,

(17)

h8(x)=0.515(D-d)-x4≥0。

(18)

1.2.4 鋼球數(shù)量約束

四點(diǎn)接觸球軸承設(shè)計過程中,鋼球數(shù)量需滿足的約束方程為

(19)

當(dāng)Dw≤9.525 mm時,Kz=1.01+2.3/Dw;Dw>9.525 mm時,Kz=1.23,K值可減小到1.15,計算出的Z取較小的整數(shù)。

約束條件可表示為

(20)

1.3 四點(diǎn)接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

通過上述分析,四點(diǎn)接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型為

(21)

依據(jù)建立的四點(diǎn)接觸球軸承優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型,本文借助NSGA-II遺傳算法對軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計,采用快速非支配排序算法,引用精英保留策略,降低計算復(fù)雜度。首先,把設(shè)計變量fi,fe,Dw,Dpw,α0記為個體,隨機(jī)產(chǎn)生初始種群;其次,對個體求帕雷托(pareto)解,非支配排序后通過遺傳算法的選擇、交叉、變異3個基本操作得到第一代子代種群;然后,從第二代開始,將父代種群與子代種群合并,進(jìn)行快速非支配排序,同時對每個非支配層中的個體進(jìn)行擁擠度計算,依據(jù)非支配關(guān)系和個體擁擠度建立的適應(yīng)度函數(shù)選取合適的個體組成新的父代種群;最后,按照一定規(guī)則從種群生成新的父代種群Cn+1實現(xiàn)精英保留策略,經(jīng)過實數(shù)編碼的交叉操作和多項式變異,通過錦標(biāo)賽法進(jìn)行選擇操作,尋求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

2 四點(diǎn)接觸球軸承擬靜力學(xué)模型

當(dāng)四點(diǎn)接觸球軸承工作接觸角小于墊片角時,鋼球與內(nèi)、外溝道間發(fā)生多點(diǎn)接觸,接觸區(qū)會發(fā)生大的滑動摩擦,易造成軸承提前失效[14]。因此要建立擬靜力學(xué)模型研究四點(diǎn)接觸球軸承動態(tài)性能,分析優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)后的軸承在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中接觸角的變化。下面主要從鋼球中心和溝曲率中心的幾何位置關(guān)系、鋼球在任意方位角的受力平衡、套圈的受力平衡三方面建立擬靜力學(xué)模型。

2.1 鋼球中心和溝曲率中心的幾何位置關(guān)系

以四點(diǎn)接觸球軸承中心為原點(diǎn),軸向中心線為x軸建立坐標(biāo)系,四點(diǎn)接觸球軸承各鋼球的角位置示意圖如圖1所示,圖中:j為鋼球的序號;ψj為第j個鋼球的位置角,ψj=2π(j-1)/Z。

圖1 鋼球角位置示意圖

軸承受載前,內(nèi)外溝曲率中心的距離為l0,四點(diǎn)接觸球軸承在離心力和陀螺力矩作用下,鋼球與內(nèi)外溝道的接觸角發(fā)生變化,鋼球中心與內(nèi)、外溝曲率中心不再共線,則載荷作用前后角位置ψj處鋼球中心與內(nèi)、外溝曲率中心的位置關(guān)系如圖2所示。

圖2 受載前后鋼球中心與內(nèi)、外溝曲率中心相對位置

由圖2可以看出,受載前鋼球中心與內(nèi)、外溝曲率中心的距離lij,lej分別為

lij=(fi-0.5)Dw,

(22)

lej=(fe-0.5)Dw。

(23)

任意角位置ψj處內(nèi)、外溝曲率中心的軸向距離A1j和徑向距離A2j分別為

A1j=l0sinα0+δz+Riθxsinψj+Riθycosψj,

(24)

A2j=l0cosα0+δxcosψj+δysinψj,

(25)

Ri=Dpw/2+(fiDw-Dw/2)cosα0,

(26)

式中:δx,δy,δz為內(nèi)圈溝道相對于外圈溝道分別沿x,y,z方向產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)位移;Ri為內(nèi)溝道轉(zhuǎn)動半徑;θx,θy分別為繞x,y軸中心線方向產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角度。

根據(jù)勾股定理可推得

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2(lij+δij)=0,

(27)

(28)

式中:X1j,X2j分別為受載后鋼球中心到外溝曲率中心的軸向距離和徑向距離;δij,δej分別為受載后內(nèi)、外圈溝道的法向變形。

2.2 鋼球在任意方位角的受力平衡方程

在角位置ψj處鋼球的受力分析如圖3所示。

圖3 角位置ψj處鋼球的受力分析

角位置ψj處鋼球與內(nèi)、外溝道的實際接觸角關(guān)系為

(29)

(30)

(31)

(32)

角位置ψj處內(nèi)外圈載荷-位移關(guān)系為

Qij=Kijδij1.5,

(33)

Qej=Kejδej1.5,

(34)

式中:Qij,Qej分別為內(nèi)、外圈與鋼球的法向接觸載荷;Kij,Kej分別為內(nèi)、外圈溝道載荷-位移系數(shù)。

第j個鋼球所受到的離心力Fcj和陀螺力矩Mgj為

(35)

Mgj=JωmjωRjsinβj,

(36)

式中:m為單個鋼球的質(zhì)量;ωmj為鋼球公轉(zhuǎn)角速度;J為鋼球轉(zhuǎn)動慣量;ωRj為鋼球自轉(zhuǎn)角速度;βj為鋼球姿態(tài)角。

角位置ψj處鋼球與內(nèi)、外溝道的摩擦力為

Fij=λijMgj/Dw,

(37)

Fej=λejMgj/Dw,

(38)

式中:λij,λej分別為內(nèi)、外溝道控制系數(shù),外溝道控制時取λij=0,λej=2,否則取λij=1,λej=1。

則鋼球的受力平衡方程為

(39)

2.3 套圈的受力平衡方程

根據(jù)四點(diǎn)接觸球軸承的平衡條件列出內(nèi)圈的五自由度平衡方程并借助MATLAB軟件求解,內(nèi)圈五自由度平衡方程為

(40)

式中:Fx,Fy,Fz分別為軸承受到的沿x,y,z軸的力;My,Mz分別為繞y,z軸的力矩。

3 實例計算

以QJ214型四點(diǎn)接觸球軸承為例,其內(nèi)、外圈及鋼球材料為GCr15,主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為:d=70 mm,D=125 mm,寬度B=24 mm,墊片角αs=30°。根據(jù)前文對軸承壽命和摩擦力矩的要求并參考設(shè)計經(jīng)驗確定權(quán)重系數(shù)γ1=0.7,γ2=0.3,NSGA-II遺傳算法中取種群數(shù)量pop為100、迭代次數(shù)gen為50、交叉概率為0.9、變異概率為0.05。

在確定軸承基本參數(shù)后,以額定動載荷和摩擦力矩為目標(biāo)函數(shù)建立四點(diǎn)接觸球軸承優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用NSGA-II遺傳算法對四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,最后,基于擬靜力學(xué)模型,檢驗接觸角和墊片角的大小關(guān)系,若墊片角大于接觸角,通過改變內(nèi)、外溝曲率半徑系數(shù)返回建立的約束方程,構(gòu)成循環(huán),直至滿足設(shè)計要求。整個優(yōu)化設(shè)計流程如圖4所示。

圖4 優(yōu)化設(shè)計流程圖

優(yōu)化后四點(diǎn)接觸球軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)對比分析見表1,Dw=17.6 mm是優(yōu)化模型得到的最優(yōu)解,考慮到加工因素,為方便軸承進(jìn)行批量化生產(chǎn),Dw可根據(jù)實際加工條件取規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)值。

表1 優(yōu)化后四點(diǎn)接觸球軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

將表1中優(yōu)化后的四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入擬靜力學(xué)模型,設(shè)定工況:軸向載荷Fa=3 500 N,徑向載荷Fr=500 N,轉(zhuǎn)速n=6 300 r/min,研究四點(diǎn)接觸球軸承各鋼球接觸角的變化。考慮到鋼球離心力和陀螺力矩的影響,正常工作狀態(tài)下的四點(diǎn)接觸球軸承鋼球與內(nèi)外圈接觸角不再相等。本文得到的鋼球與內(nèi)外圈接觸角結(jié)果如圖5所示,運(yùn)轉(zhuǎn)過程中工作接觸角均大于墊片角,因此四點(diǎn)接觸球軸承不會出現(xiàn)多點(diǎn)接觸的現(xiàn)象,滿足設(shè)計要求。

圖5 鋼球與內(nèi)外圈接觸角

驗證優(yōu)化后軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足設(shè)計要求后,對優(yōu)化前后目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行對比分析,結(jié)果見表2:優(yōu)化后四點(diǎn)接觸球軸承的額定動載荷增大了1.592%,摩擦力矩減小了4.051%,表明四點(diǎn)接觸球軸承的性能得到了進(jìn)一步提高。

表2 優(yōu)化前后目標(biāo)函數(shù)的對比結(jié)果

4 結(jié)束語

本文以傳動機(jī)構(gòu)用四點(diǎn)接觸球軸承的額定動載荷和摩擦力矩為目標(biāo)函數(shù)對軸承進(jìn)行優(yōu)化,采用遺傳算法求解,并基于擬靜力學(xué)模型研究四點(diǎn)接觸球軸承的動態(tài)性能。優(yōu)化后的四點(diǎn)接觸球軸承在額定動載荷增大、摩擦力矩減小的基礎(chǔ)上,滿足運(yùn)轉(zhuǎn)過程中任意角位置接觸角均大于墊片角的要求,防止四點(diǎn)接觸球軸承因多點(diǎn)接觸而失效的情況發(fā)生,為四點(diǎn)接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計提供了參考。