楊子瑜,胡彥姍,王雪珍

(南京理工大學(xué) a.電子工程與光電技術(shù)學(xué)院;b.理學(xué)院,江蘇 南京 210094)

楊氏模量是材料抵抗彈性形變能力的標(biāo)志[1],也是工程設(shè)計(jì)中選擇機(jī)械構(gòu)件的重要依據(jù)之一. 固體材料楊氏模量的測(cè)量是理工院校物理實(shí)驗(yàn)中必做實(shí)驗(yàn)之一,測(cè)量楊氏模量的方法一般有靜態(tài)拉伸法[2]、梁彎曲法[3]、光杠桿法[4]、振動(dòng)法[5]、劈尖干涉法[6]等,也可以利用拉伸時(shí)金屬絲的電阻變化來測(cè)量楊氏模量[7].

傳統(tǒng)楊氏模量的測(cè)量方法大部分是對(duì)微小形變進(jìn)行直接測(cè)量,本文在動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)上結(jié)合邁克耳孫干涉的原理,利用材料的固有頻率與楊氏模量的關(guān)系,通過邁克耳孫等傾干涉條紋中心光斑強(qiáng)度的周期性變化來獲取材料穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)的固有頻率,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)楊氏模量的間接測(cè)量. 相對(duì)于光杠桿法1%左右的相對(duì)誤差,在相對(duì)誤差相差不大的前提下,該方法避免了裝置占地面積大、調(diào)節(jié)和觀測(cè)困難等問題. 同時(shí),區(qū)別于傳統(tǒng)邁克耳孫干涉法是對(duì)一定持續(xù)作用力下的微小形變的直接測(cè)量,導(dǎo)致人為觀測(cè)困難、受外界作用力變化干擾大,單次只能測(cè)得1組數(shù)據(jù)等問題. 本實(shí)驗(yàn)將測(cè)量對(duì)象轉(zhuǎn)換為振動(dòng)頻率進(jìn)行間接測(cè)量,振動(dòng)頻率的變化可以通過示波器直觀顯示. 另外,固有頻率振動(dòng)穩(wěn)定且起振操作簡(jiǎn)單,也可通過增加周期數(shù)量減小誤差.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 材料的楊氏模量與固有振動(dòng)頻率的關(guān)系

根據(jù)胡克定律,在物體的彈性限度內(nèi),應(yīng)力與應(yīng)變成正比,該比值稱為楊氏模量,基本公式為

(1)

將材料制作為如圖1(a)所示長(zhǎng)為L(zhǎng)、橫截面厚為a、寬為b的長(zhǎng)條棒狀,固定一端,對(duì)其運(yùn)動(dòng)過程中的受力情況進(jìn)行分析[8-9].取距離固定端為x、長(zhǎng)度為Δx的一小段材料,將其形變放大,由于兩端的形變程度不同,設(shè)其所受彎曲力矩分別為M和M+ΔM,兩端的截面受到切應(yīng)力分別為F和F+ΔF,如圖1(b)所示.可見該段材料中間層ghij(只有形變,無(wú)拉伸或壓縮,在振動(dòng)角度較小時(shí)可視為與xoz平面平行)上部被拉伸且下部被壓縮,取左側(cè)截面,求其力矩,分析距離中間層為y0的薄層,可以得到作用在該薄層截面的小元面積ds=bΔy上的總力為

(a)

(2)

其中,fs為作用在ds上的長(zhǎng)度形變應(yīng)力,Δφ為截面的彎曲形變角,Δx為L(zhǎng)上的微小段,y0為薄層與中間層的距離,如圖2所示.

圖2 材料gh側(cè)平面圖[8]

圖2為gh側(cè)的正視圖,OO′為該平面的中心線,作用在ds上的力對(duì)以O(shè)點(diǎn)的中心線(在中間層內(nèi)而垂直于紙面)為軸的彎曲力矩,對(duì)于整個(gè)截面積分記為截面張力對(duì)中心軸的彎曲力矩M為

(3)

由于振動(dòng)幅度十分微小,則有

(4)

其中,η(x,t)為距離固定端x的截面在t時(shí)刻振動(dòng)的位移,φ為角位移,φ1和φ2為O點(diǎn)和O′點(diǎn)側(cè)截面旋轉(zhuǎn)偏角,則

(5)

(6)

又因?yàn)榍袘?yīng)力的力矩和彎曲力矩平衡關(guān)系,加之Δx極小,所以可推知棒彎曲振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程為

(7)

根據(jù)式(7),可設(shè)彎曲振動(dòng)時(shí)棒中每點(diǎn)都做簡(jiǎn)諧振動(dòng),則

η(x,t)=Y(x)cos (ωt-φ),

(8)

其中,ω為振動(dòng)頻率,Y(x)為該點(diǎn)做振動(dòng)的振幅分布函數(shù),將式(8)代入式(7),解得分布函數(shù)為

(9)

其中,A～D均為常量.

根據(jù)邊界條件可求其簡(jiǎn)諧振動(dòng)的固有頻率,設(shè)固定點(diǎn)為原點(diǎn)o,其邊界條件為

將邊界條件代入式(9)中,可得頻率ω滿足:

(10)

利用式(10)通過圖解法確定其基頻為

(11)

于是得到楊氏模量與基頻之間的關(guān)系為

(12)

1.2 基于邁克耳孫干涉光路測(cè)固有頻率

實(shí)驗(yàn)光路如圖3所示,調(diào)整儀器使激光器發(fā)出的光通過邁克耳孫光路后形成的干涉中心對(duì)準(zhǔn)光電探測(cè)器的探頭.當(dāng)干涉條紋中心為亮斑時(shí),光程差為2d=kλ.中心點(diǎn)的干涉亮斑每涌出1次,相當(dāng)于平面鏡移動(dòng)半個(gè)波長(zhǎng),則Δd=Nλ/2,因此可以測(cè)量nm量級(jí)的微小位移.

圖3 實(shí)驗(yàn)光路圖

為了更好地展現(xiàn)光程差的變化,圖4給出了全反鏡與材料連接處的放大圖.為了避免全反鏡對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響,實(shí)際所用全反鏡的尺寸在滿足反射的前提下應(yīng)越小越好,待測(cè)材料與全反鏡的質(zhì)量比應(yīng)越大越好,以避免對(duì)材料的整體密度、慣性矩等產(chǎn)生較大影響.實(shí)驗(yàn)中,待測(cè)材料和全反鏡的體積比約為30(材料的體積為2 069 mm3,全反鏡的體積為68 mm3),質(zhì)量比約為85(材料的質(zhì)量為16.200 g,全反鏡的質(zhì)量為0.190 g),因此全反鏡對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響較小.

圖4 全反鏡與材料連接處的放大圖

為避免其他方向的諧振產(chǎn)生較大影響,通過夾具夾緊厚度方向,同時(shí)材料的寬厚比(即b/a)也需取較大值. 實(shí)驗(yàn)中,材料的寬厚比約為23(寬20.000 mm,厚0.862 mm).

待測(cè)材料(附全反射鏡)示意圖如圖5所示,觀察到在這些參量設(shè)置下示波器顯示圖形變化如圖6所示,與理論推導(dǎo)周期變化相符.

圖5 待測(cè)材料(附全反鏡)示意圖

圖6 簡(jiǎn)諧振動(dòng)位移、速度變化曲線和實(shí)際中心光斑光強(qiáng)隨時(shí)間變化示意圖

在待測(cè)材料下方(靠近固定端)沿著垂直于寬邊方向施加力,使材料自由端自由振動(dòng)(支架主要作用為使固定端不產(chǎn)生位移,其對(duì)自由端的作用力可以忽略),理論分析中已將該條件考慮進(jìn)邊界條件,此時(shí)的振動(dòng)頻率即為待測(cè)材料的固有頻率. 將待測(cè)材料與邁克耳孫干涉儀的固定反射鏡做硬性連接,則該點(diǎn)的位移信息將以光信號(hào)形式輸出.

采用光電探測(cè)器將光信號(hào)轉(zhuǎn)換成電信號(hào),并將電信號(hào)接入示波器進(jìn)行觀察,可以觀察到信號(hào)呈現(xiàn)周期調(diào)制的正弦規(guī)律變化. 根據(jù)式(8)可以推測(cè)板上任意一點(diǎn)振動(dòng)位移可近似為正弦函數(shù),而干涉級(jí)次變化ΔN又與移動(dòng)距離Δη成正比,即ΔN～Δη,本文定義示波器波形密度為單位時(shí)間內(nèi)干涉級(jí)次改變量,即P=ΔN/Δt,結(jié)合振動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)速度v=Δη/Δt,故而可推導(dǎo)得出波形密度與振動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)速度成正比,如圖6所示. 速度越大,波形越密,故而2次疏密交替結(jié)束,代表物體1次正弦運(yùn)動(dòng)周期,則固有頻率可以由最終采集到的電信號(hào)周期體現(xiàn).

2 實(shí)驗(yàn)過程

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器的安裝與調(diào)整

實(shí)驗(yàn)中主要用到器材:氦氖激光器、擴(kuò)束鏡、半透半反鏡、全反鏡、光電轉(zhuǎn)換、光電探測(cè)器、示波器(用于觀察現(xiàn)象)及數(shù)據(jù)采集卡(用于采集數(shù)據(jù)計(jì)算固有頻率),實(shí)驗(yàn)光路見圖3.

搭建邁克耳孫干涉光路,將儀器固定于防震臺(tái)上,并且保持激光器、擴(kuò)束鏡、全反鏡(一面與待測(cè)材料相連)和分束鏡的中心等高,使2個(gè)全反鏡相互垂直,產(chǎn)生干涉圓環(huán)并且用光電探測(cè)器接收(圖7). 自由振動(dòng)時(shí)可在示波器上看到明顯的振動(dòng)周期,由數(shù)據(jù)采集卡采集圓環(huán)光斑的光強(qiáng)信號(hào)數(shù)據(jù).

圖7 干涉圓環(huán)

為了獲取較好的信噪比,根據(jù)中心光斑尺寸在光電探測(cè)器探頭處加直徑為3～5 mm的光闌,使探測(cè)口僅接收中心光斑的信號(hào).

2.2 實(shí)驗(yàn)操作

1)給待測(cè)材料垂直于寬邊的初始振動(dòng),此時(shí)肉眼觀察不到材料的振動(dòng),但毛玻璃上會(huì)出現(xiàn)條紋的“涌出”或者“陷入”現(xiàn)象.

2)將光電探測(cè)器的接收孔對(duì)準(zhǔn)中心光斑并連接示波器,在示波器屏幕上可以觀察到周期變化的信號(hào).

3)將光電探測(cè)器通過數(shù)據(jù)采集卡連接電腦,并利用電腦對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理.

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及其處理

實(shí)驗(yàn)所用材料為45鋼,E=209 GPa,ρ=7.85 g/cm3,由直尺和千分尺測(cè)得L=12.00 cm,a=0.862 mm.

由數(shù)據(jù)采集卡收集數(shù)據(jù)(采集速率為50 kb/s),利用計(jì)算機(jī)軟件繪制出圖像,如圖8所示. 圖8最開始的區(qū)域?yàn)椴牧掀鹫耠A段,取材料穩(wěn)定振動(dòng)的階段放大后可以看見更明顯的周期變化,如圖9所示.

圖8 數(shù)據(jù)采集卡收集數(shù)據(jù)

圖8～9所示的觀測(cè)現(xiàn)象符合圖6所示位移、速度與波形密度的理論解釋. 利用信號(hào)采集卡采集信號(hào)并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算處理. 由信號(hào)波形圖可觀察到,起振后待測(cè)材料將產(chǎn)生有規(guī)律的振動(dòng),取穩(wěn)定后波段進(jìn)行處理. 計(jì)算材料的楊氏模量,測(cè)量結(jié)果見表1. 計(jì)算得E=(207.3±2.4) GPa.

表1 楊氏模量的測(cè)量結(jié)果(15個(gè)周期)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文所述方法適用于塑性片狀材料以及具有一定彈性的片狀金屬材料. 限制因素主要為材料的尺寸和性質(zhì),即材料的厚度會(huì)對(duì)推導(dǎo)過程中部分步驟產(chǎn)生影響,故而樣品的尺寸應(yīng)滿足寬度與厚度的比值大于10;若在加工過程中材料易斷裂或者不能制成所要求的形狀,則不適用于本方案. 因?yàn)樵黾恿宋⑿＄R面,當(dāng)材料與鏡面的質(zhì)量相差較大時(shí),基本不影響測(cè)量,但若是纖維等小密度復(fù)合材料,則需選取較大體積才能滿足要求,由于材料的體積過大,振動(dòng)產(chǎn)生的偏角增大,可能無(wú)法產(chǎn)生穩(wěn)定的等傾干涉條紋,因此對(duì)材料的密度有一定限制,同時(shí),要求材料的密度夠均勻(密度不均勻時(shí),不同的振動(dòng)方向可能測(cè)量的固有振動(dòng)頻率不同).