楊明軒,王 槿,宋 峰

(1.北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871; 2.南京師范大學(xué)附屬中學(xué),江蘇 南京 210003;3.南開大學(xué) a.物理科學(xué)學(xué)院;b.基礎(chǔ)物理國家級實驗教學(xué)示范中心(南開大學(xué)),天津 300071)

第4屆歐洲物理奧林匹克競賽(European Physics Olympiad,EuPhO)于2020年7月20日至26日在線上舉辦,53個國家和地區(qū)的260名選手參加了比賽. 實驗試題為隱藏的電荷(Hidden charge)和黑盒子(Black box)[1]. 隱藏的電荷試題通過測量一系列電子的初動能和入射、出射位置,計算待測電荷的位置和電量,可應(yīng)用于理論力學(xué)、原子物理等教學(xué)與實驗. 本文主要介紹了隱藏的電荷的命題、虛擬實驗考試流程和解答,并結(jié)合物理背景知識和實際應(yīng)用分析了命題背景和參賽學(xué)生的答題情況.

1 試 題

1.1 實驗原理

如圖1所示,點電荷Q(電量Q未知)固定在空間某處,遠方平行于z軸射入的電子,受此電荷靜電散射后打到觀測屏上.虛擬實驗中,可以改變電子束的初始動能和初始位置坐標(xi,yi),并測量電子撞擊到垂直于z軸的平面屏幕上的最終坐標(xf,yf).將屏幕處的位置定為z=0,利用盧瑟福散射公式:

圖1 實驗原理圖1[1]

(1)

其中,b是碰撞系數(shù)(也稱為瞄準距離),E是電子的能量,電子電量q=-1.602×10-19C,k=8.99×109N·m2/C2,θ是散射角(電子在接近靶時的初速度和遠離靶后的末速度之間的夾角).瞄準距離定義為:假設(shè)電子不受靶影響而直線前進時電子到靶的最近距離.

1.2 仿真軟件說明

仿真程序可以設(shè)置不同的加速電壓和初始發(fā)射坐標(xi,yi),測量電子出現(xiàn)在屏幕的位置.其中加速電壓為U,取值范圍為1～10 000,xi和yi單位為cm,取值范圍為-20～20.在相應(yīng)的提示后,通過鍵盤依次輸入加速電壓U、初始發(fā)射坐標xi和yi后,程序界面出現(xiàn)“Electron beam fired with parameters(x,y,U) =”及輸入?yún)⒘恐?通過按Enter鍵確認所輸入的數(shù)值,程序運行后給出探測到的電子位置. 如果電子的位置超出屏幕的范圍,會提示“Electron not detected…”.

1.3 實驗任務(wù)

盡可能精確地確定固定的點電荷Q的正負、大小和位置(xQ,yQ,zQ),并估算這些結(jié)果的不確定度,其中xQ和yQ的數(shù)值與不確定度求解共4分,Q與zQ的數(shù)值與不確定度求解共計6分.出射線的初始位置的高斯誤差為0.5 mm.

注意事項:所有實驗都要清楚列出有表題的數(shù)據(jù)表、有圖題的作圖和足夠的公式推導(dǎo),以此說明測量什么和如何導(dǎo)出結(jié)果.

2 試題解答

2.1 預(yù)實驗:確定U的取值范圍

任取入射點,比如(0,0),跨數(shù)量級改變加速電壓的大小,記錄能否在屏幕上找到出射電子以及出射點位置(x1,y1).分別取U=10 000.0,1 000.0,100.0,10.0 V,將出射點位置記錄在表1內(nèi).發(fā)現(xiàn)U=10.0 V時出射電子超出屏幕范圍,補測U=20.0 V和U=50.0 V的數(shù)據(jù).表中“-”表示電子未被探測到.

表1 確定U的大致范圍實驗數(shù)據(jù)

從表1中可以發(fā)現(xiàn),加速電壓為10 000.0 V或1 000.0 V時,出射點與入射點過于接近;加速電壓為10.0 V時,出射電子超出屏幕范圍;加速電壓在20.0～100.0 V范圍內(nèi),出射點與入射點的距離在適合測量的范圍內(nèi). 在本實驗中,合理的加速電壓范圍可以初步確定為10.0～100.0 V數(shù)量級內(nèi).

2.2 求解xQ和yQ

電子入射后受到點電荷的庫侖力,如果把2個粒子間的力想象成1條線,這條線會掃出1個面,以直線投影在觀測屏上.利用入射點、出射點和點電荷Q三者的位置在xy平面上的投影三點共線進行測量.首先任取一入射點,例如(0,0),只改變加速電壓的大小,記錄屏幕上探測到的電子位置(x1,y1).這些位置近似分布在經(jīng)過(xQ,yQ)的直線上.改變?nèi)肷潼c,作出另一條直線.這2條直線會相交,交點為(xQ,yQ).為了減小誤差,另一個點應(yīng)當與(0,0)有足夠遠的距離,如(0,10).記錄入射點坐標為(0,10)時的出射點位置(x2,y2).

為了估計誤差,引入第3個入射點,并作出相應(yīng)的直線.此點要與前2個點相距足夠遠,如(0,-10).記錄入射點坐標為(0,-10)時的出射點位置(x3,y3).測得的數(shù)據(jù)如表2所示.多次測量時,表2中的數(shù)據(jù)會在誤差范圍內(nèi)變化,后面的所有實驗數(shù)據(jù)記錄也存在誤差項.

表2 求解xQ和yQ的實驗數(shù)據(jù)

繪制改變?nèi)肷潼c得到的出射點位置,如圖2所示. 通過2條直線的交點位置得到xQ=5.4 cm,yQ=-2.5 cm,ΔxQ=ΔyQ=0.2 cm.由于測量誤差,3條直線不會嚴格交于一點.把3條直線兩兩相交的交點之間的距離視為出射點位置的誤差.

圖2 改變?nèi)肷潼c屏幕上探測到的電子位置

2.3 求解點電荷Q的大小和位置zQ并進行誤差分析

由電子的運動軌跡圖和散射公式可以作很多種近似,因此有多種獲取Q和zQ的方法.設(shè)適當?shù)膮⒘?根據(jù)題目所給公式和圖中參量間的幾何關(guān)系,探究不同的解法.下面給出的5種解法中,方法1～3參考歐賽官方網(wǎng)站[1]上提供的解題思路作答,方法4～5為新的方法.

2.3.1 方法1:固定散射角θ

圖3 實驗原理圖2[1]

dcosθ=zsinθ+b,

(2)

固定Ub=100 V·cm,同時改變U和b,選定不同入射點,記錄入射電壓U和出射點,并計算b和d.實驗數(shù)據(jù)如表3所示.作d-b關(guān)系圖,如圖4所示.擬合得到直線的斜率K=1.50,截距c=10.0 cm,估算不確定度ΔK=0.10,Δc=0.5 cm.θ=48.2°,z=8.9 cm,|Q|=99 pC,Δz=0.7 cm,ΔQ=10 pC.

表3 方法1實驗數(shù)據(jù)

圖4 固定散射角的d-b關(guān)系圖

2.3.2 方法2:保持b固定且值較小

如圖3所示,δ=d-b,θ較大時,ztanθ≈δ.根據(jù)正切的二倍角公式

(3)

將式(1)代入式(3),得到

(4)

(5)

為了便于測量截距,將式(5)稍作變形,使斜率為負、截距為正,得到

(6)

表4 方法2實驗數(shù)據(jù)

圖5 固定b的關(guān)系圖

2.3.3 方法3:只得到z與Q的乘積

(7)

固定b=5.0 cm,改變U,記錄入射電壓U和出射點(x1,y1),并計算δ.測得的數(shù)據(jù)記錄如表5所示.做δ-U-1關(guān)系圖,如圖6所示.可以求出擬合直線的斜率K=1.9 m/V,估算不確定度ΔK=0.2 m/V.計算得到|zQ|=10.6 pC·m,Δ(zQ)=1.1 pC·m.

表5 方法3實驗數(shù)據(jù)

圖6 固定b的δ-U-1關(guān)系圖

2.3.4 方法4:采用雙曲線軌跡方程,固定散射角θ

粒子受庫侖力作用,其運動軌跡為雙曲線的1支,且軌跡與屏幕的交點P離漸近線有一定距離.如圖7所示,重畫題目給出的原理圖,作出電子軌跡的漸近線,設(shè)2條漸近線的交點為O,以QO為Y′軸,垂直QO并斜向右上為X′軸,建立X′OY′系.過Q點,以水平向右為X軸,豎直向上為Y軸,建立XQY系.根據(jù)式(1)和圖7中參量間的幾何關(guān)系,推導(dǎo)P點位置的相關(guān)公式.

圖7 實驗原理圖3

在X′OY′系中,電子的軌跡方程為

(8)

(9)

將式(9)代入式(8),化簡可得

(10)

對于屏幕上的P點,Y=d,X=z.代入式(10),并固定散射角θ進行線性化,得到

(11)

固定Ub=100 V·cm,同時改變U和b,選定不同入射點(x0,y0),記錄入射電壓U、 出射點(x1,y1),并計算b和d.實驗數(shù)據(jù)如表6所示.

表6 方法4實驗數(shù)據(jù)

圖8 固定偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系圖

2.3.5 方法5:采用雙曲線軌跡方程,綜合改變b和U

將式(1)代入式(11),可以得到:

(12)

(13)

分組固定U,改變b和入射點(x0,y0),測量出射點(x1,y1),并計算b和d.其中,選擇3組d隨b變化較大的電壓U,即20,40,60 V,在每個電壓下,b在4～10 cm間每隔2 cm等距設(shè)置1組.實驗數(shù)據(jù)如表7所示.作d2s2-s關(guān)系圖,如圖9所示.線性擬合得到斜率K=-0.611 V-1,截距c=6.86 V-2·m-2,不確定度ΔK=0.016 V-1,Δc=0.12 V-2·m-2.所以有z=11.7 cm,Q=84.9 pC,Δz=0.3 cm,ΔQ=1.0 pC.

表7 方法5實驗數(shù)據(jù)

圖9 d2s2-s關(guān)系圖

3 討論與分析

3.1 實驗結(jié)果分析

對于部分國際物理奧林匹克競賽(IPHO),比賽的評分細則可以分為解題方法闡述、數(shù)據(jù)測量、作圖、數(shù)據(jù)擬合、實驗結(jié)果5部分. 此次歐賽由于開放靈活,方法較多,其評分標準相對復(fù)雜.

試題分2部分,滿分為4分的第一部分難度較低,第二部分滿分6分,其評分標準分為3個模塊,分別為數(shù)據(jù)采集的科學(xué)性和規(guī)范性1分、實驗方法的選取2.5分和實驗結(jié)果的準確度2.5分.

第二部分實驗中,z的真值為11.5 cm,Q為負值,|Q|的真值為86 pC. 按照評分細則,實驗結(jié)果的滿分要求z的測量值要位于11～12 cm之間,|Q|的測量值要位于70～100 pC之間. 對比方法1,2,4,5的結(jié)果,可以看出,方法4和5的測量值與真值相當接近,并且其不確定度相對較小. 方法1和2具有較大的誤差.

歐賽評分細則對于不確定度評定有明確要求,即不確定度評定要兼顧系統(tǒng)誤差與隨機誤差,并清晰反映圖像處理和數(shù)學(xué)計算中的內(nèi)容. 本實驗中的誤差主要來源于以下5個方面:a.出射線的初始位置的高斯誤差0.5 mm;b.屏幕像素分辨率1 mm;c.切線近似;d.對于最終軌跡與漸近線的近似;e.漸近線與屏幕交點的近似. 其中,前2個方面屬于隨機誤差,后面3個屬于系統(tǒng)誤差.z和Q的測量值位于真值的2倍不確定度范圍內(nèi)可獲得滿分. 按照這一標準,方法1中,Q的不確定度符合要求,z由于系統(tǒng)誤差偏大而不符合要求;方法2中,z和Q二者的不確定度估計均不符合要求;方法4和方法5中,z和Q的不確定度估計均符合要求.

表8 固定Ub的系統(tǒng)誤差理論值

由表8中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),如果將方法1和方法2中的系統(tǒng)誤差減小到隨機誤差量級,則b的值需要減小到2 cm以下,但是此時d的隨機誤差會大大增加,導(dǎo)致無法輸出有效結(jié)果. 對b<2 cm有代表性的入射狀態(tài)為U=50 V,固定b=1.5 cm,重復(fù)測量10次出射點位置,并計算相應(yīng)的d,實驗結(jié)果如表9所示.

表9 估算d隨機誤差的實驗數(shù)據(jù)

從表9中可以看出,d的隨機誤差在1 cm數(shù)量級,影響測量.

方法3沒有得到最終的z和Q.按照評分標準,使用方法3最多只能獲得1.5分,該項滿分要求|zQ|位于9.9～10.1 pC·m之間.不確定度滿分要求|zQ|的真值位于測量值的2倍不確定度范圍內(nèi).按照這一標準,方法3的不確定度估計符合要求,但測量值不符合該方法的滿分要求.這是由于方法3本身要求θ值較小,從而導(dǎo)致d具有較大的相對誤差,進而導(dǎo)致測量值具有很大的誤差.

3.2 實驗命題背景簡介與分析

如果用盧瑟福的核式結(jié)構(gòu)模型考慮α粒子的散射[2],那么原子核與粒子之間的庫侖力可寫為

(14)

其中,Z1和Z2分別表示原子核和α粒子的電荷數(shù),ε0為真空介電常量,e為電子電荷,r為α粒子與原子核之間的距離.對于α粒子,Z2=2.

考慮到金屬原子核的質(zhì)量遠大于α粒子的質(zhì)量,近似認為原子核固定不動,由于α粒子受到平方反比斥力,故其軌跡為雙曲線,初末兩端漸近線的夾角為

(15)

利用式(15),可以推導(dǎo)出盧瑟福散射公式的另一種形式,即微分散射截面公式

(16)

其中,dσ為散射截面,dΩ為立體角元.式(16)的物理意義為:單位面積內(nèi)垂直入射1個粒子時,被該面積內(nèi)1個靶原子散射到θ角附近單位立體角內(nèi)的概率.

考慮到電子和原子核的精確位置難以測量,同時原子核和電子的熱運動都會對測量精度造成進一步的影響,實際實驗中利用式(17)而非式(16)測量大角度處的電子數(shù)量分布,進而驗證了核式原子結(jié)構(gòu)模型.dσ與單位時間內(nèi)所記錄到的粒子總數(shù)有關(guān),可以借助統(tǒng)計平均來減小實驗的測量誤差.目前實驗教學(xué)中,盧瑟福散射實驗可以利用步進電機調(diào)節(jié)觀測的散射角,并利用探測器和數(shù)據(jù)采集卡獲取數(shù)據(jù),可以較快得到足量數(shù)據(jù)進行驗證.在角度較大時,盧瑟福散射公式與數(shù)據(jù)吻合程度較好[3-4].也可以以虛擬方式進行實驗[5],但形式有很大區(qū)別.盧瑟福散射實驗提供了一種物質(zhì)結(jié)構(gòu)分析的方法及材料分析的手段.

競賽虛擬實驗中采用了電子散射,即1903年德國科學(xué)家勒納(P.Lenard)等采用的實驗方案. 歷史上,采用α粒子而非電子散射,主要是受到實驗條件的限制,天然放射性元素中的α粒子高于在當時實驗條件下能夠獲得的加速的電子動能,從而滿足軌道概念近似[6]. 虛擬實驗并沒有從實際實驗中采用的模型出發(fā),而是將式(16)中的物理模型簡化為式(1),基于此簡化模型,考察了學(xué)生實驗設(shè)計、數(shù)據(jù)分析與表達、誤差分析等方面的能力. 實驗設(shè)計上,需要進行預(yù)實驗,進而優(yōu)化實驗方案,選擇合理的初始參量,以控制變量進行多組實驗. 實驗數(shù)據(jù)處理上,需要熟悉列表法、作圖法、最小二乘法擬合曲線等.

試題1對學(xué)生的實驗設(shè)計能力和不確定分析的基礎(chǔ)知識提出了很高要求. 合理設(shè)置測量方案,根據(jù)已知公式進行合理近似才能順利進行實驗. 本文中提出的方法4和方法5,利用了嚴格的數(shù)學(xué)關(guān)系和坐標變換,準確度較高,同時由于放棄了部分理論近似,提高了難度.

本題解法的多樣性對實驗教學(xué)具有一定的借鑒意義. 在解題過程中,學(xué)生既可以通過合理近似簡化計算過程,也可以通過完善理論推導(dǎo)減小誤差. 這不僅避免了解法的單一化和同質(zhì)化,而且在實踐過程中綜合考查了學(xué)生對基本原理、誤差分析等的理解,一舉多得. 在分析試題的基礎(chǔ)上,可以設(shè)置合理的引導(dǎo),從而進一步完善探究層次,將其改為綜合實驗.

進行虛擬實驗教學(xué)時,也可以進行類比和討論,使學(xué)生明晰實際實驗和虛擬實驗的區(qū)別,認識虛擬實驗的局限性. 例如,本題2.3.1中采用固定散射角的方法,得到的散射角度為48.2°,恰好位于45°～150°較為合理的實驗參量區(qū)間,對于小角度入射的情況虛擬實驗中并未做限制,而實驗中會出現(xiàn)較大誤差[5]. 本試題中的虛擬實驗設(shè)計非常開放,網(wǎng)站上也提供了程序編寫使用的源代碼[1],基于此可以和實際實驗方案結(jié)合,進一步開發(fā)、拓展實驗.

3.3 參賽學(xué)生答題情況

260名參賽學(xué)生的答題情況:總平均分4.27分(滿分10分),29.6%的選手得分超過6分. 有52名選手得分在2分及以下,得分在2～4分、4～6分、6～8分的學(xué)生人數(shù)均在60～70人之間,還有8名選手得分超過8分. 該實驗不僅考查了傳統(tǒng)的選擇參量、數(shù)據(jù)計算等環(huán)節(jié),還考查了基于誤差理論合理進行實驗方案的設(shè)計,選擇合理的測量方案以獲取結(jié)果和減小誤差的能力,更是在各環(huán)節(jié)都強調(diào)了“數(shù)形結(jié)合”和空間想象的能力. 本實驗中,一部分選手因為設(shè)計不出實驗方案導(dǎo)致部分參量無法測量,從而失去分數(shù);教多的選手失分來自測量數(shù)據(jù)的不完整性、結(jié)果的獲取和不確定度的處理.

4 總結(jié)與展望

歐洲物理奧林匹克競賽摒棄了以往物理奧林匹克競賽中題量大的特點,題目簡約而不簡單,更加注重物理分析和物理思維,以及物理知識掌握和應(yīng)用能力. “隱藏的電荷”虛擬實驗也可用于理論力學(xué)、原子物理等理論課程的教學(xué)中. 虛擬實驗強調(diào)了利用誤差理論來指導(dǎo)實驗方案設(shè)計的重要性. 在實驗程序開發(fā)上,其提供的源代碼為虛擬實驗設(shè)計提供了參考,例如使用mt19937偽隨機數(shù)算法進行實驗誤差設(shè)計.

目前,南開大學(xué)基礎(chǔ)物理實驗中心已經(jīng)采用多項奧賽虛擬仿真實驗用于基礎(chǔ)物理實驗教學(xué). 根據(jù)2022年秋季學(xué)期針對物理伯苓班的歐賽虛擬實驗教學(xué)反饋,較多學(xué)生認為歐賽具有新穎性,對實驗設(shè)計能力和誤差理論的靈活應(yīng)用的挑戰(zhàn)較高,與目前的基礎(chǔ)物理實驗教學(xué)內(nèi)容能夠形成較好的互補,其后續(xù)的教學(xué)效果和相關(guān)研究等依然有較大的研究空間.